CAPESA interne session 1996 Proposition de corrigé de l'exercice 2 Partie A Soit X la variable aléatoire "masse d'un élément de la fabrication". La loi de probabilité de X est la loi normale

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ENFA - Bulletin du GRES n°3 –juin 1996 page 26 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

CAPESA interne session 1996

Proposition de corrigé de l'exercice 2

Partie A

Soit X la variable aléatoire "masse d'un élément de la fabrication". La loi de probabilité de X est la loi normale

N( ; ) μ σ

donc la loi de probabilité de la variable

X

est la loi normale

N( ; μ σ )

n

et la loi de probabilité de la variable

U X n

= − μ

σ

est la loi normale centrée réduite

N( ; ) 0 1

.

La représentation graphique de la densité de la loi de probabilité de X, présentée à la fin du corrigé, permet de représenter les probabilités données :

prob( X > 252 8 , ) = 0 1587 , ; prob X ( < 244 4 , ) = 0 0228 ,

Notons Φ la fonction de répartition de U.

1°) Les systèmes suivants sont équivalents :

prob X

( , ) ,

> =

< =

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

252 8 0 1587 244 4 0 0228

;

prob X prob X

( , ) ,

≤ =

< =

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

252 8 0 8413 244 4 0 0228

prob U

n

prob U

n

≤ −

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ =

< −

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ =

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

252 8

0 8413

244 4

0 0228

, ,

μ σ

;

Φ Φ

252 8

1 244 4

2 , ( )

, ( )

⎛ −

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ =

−

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ = −

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

μ σ

n

n 252 8

1 244 4

2 ,

,

− =

− = −

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

μ σ

n

;

μ σ

+ =

− =

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪

n n

252 8

2 244 4

, ,

;

μ σ

=

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

250 n 2 8 ,

2°) Pour μ = 250 et n = 25, on obtient σ = 14.

Partie B

(2)

La loi de probabilité de la variable

X

est la loi normale

N( ; μ 15 )

16 U X

= − μ 15

16

est la loi normale

N( ; ) 0 1

.

1°) Il s’agit de calculer le risque de première espèce, c’est-à-dire la probabilité

[ ]

prob (X < 245,8) ∪ (X > 260,2 )

, dont une représentation graphique est présentée à la fin du corrigé. Notons α cette probabilité.

Sous l'hypothèse " μ = 253 ", la loi de probabilité de la variable

X

est la loi normale

N( 253 ; 15 )

16 U X

= − 253 15

16

est la loi normale

N( ; ) 0 1

.

( )

1 1 245 8 253

3 75

260 2 253 3 75

1 1 92 1 92

1 2 1 92 1 2 0 9726 1

0 0548

− = ≤ ≤

− = −

≤ ≤ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− = − ≤ ≤

− = × − = × −

= α α α α α

prob prob prob

245,8 X 260,2 U U ,

,

, ,

( , ) ,

,

Φ

Le seuil de décision est 0,0548.

2°) Il s’agit de calculer la probabilité

^{prob 245,8} ( ^≤ ^X ^≤ ^260,2 )

, c’est-à-dire le risque de seconde espèce, noté β, dont une représentation graphique est présentée à la fin du corrigé . Sous l'hypothèse " μ = 263 ", la loi de probabilité de la variable

X

est la loi normale

N( 263 ; 15 )

16 U X

= − 263 15

16

est la loi normale

N( ; ) 0 1

.

( )

β β β β β

= ≤ ≤

= −

≤ ≤ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= − ≤ ≤ −

= −

= prob prob prob

245,8 X 260,2 U U 245 8 263

3 75

260 2 263 3 75

4 59 0 75

4 59 0 75 0 2266

, ,

( , ) ( , ) ,

Φ Φ

(3)

La probabilité de décider que la moyenne de la fabrication est égale à 253 alors qu'elle est égale à 263 est 0,2266.

3°) Soit n la taille que doit avoir l’échantillon pour que le seuil de décision soit de 0,01.

Sous l'hypothèse "μ = 253", la loi de probabilité de la variable

X

est la loi normale

N( 253 ; 15 )

n

U X n

= − 253

15

est la loi normale

N( ; ) 0 1

.

La représentation graphique du seuil de décision 0,01 est présentée à la fin du corrigé.

( )

1 0 01 0 99

0 99 245 8 253

15 260 2 253 15

0 99 0 48 0 48

0 99 2 0 48 1

0 48 0 995 2 58 0 995

0 48 2 58 28 89

− = = ≤ ≤

= −

≤ ≤ −

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

= − ≤ ≤

= × −

= =

, ,

, , ,

, ( , )

' ( , ) , ( , ) ,

, , ,

prob

n n

prob n n

n

d où n or

donc n et n

245,8 X 260,2

U

U Φ

Φ Φ

Les fonctions Φ et "Racine carrée" étant croissantes,

Φ ( , 0 48 28 ) < 0 995 , et Φ ( , 0 48 29 ) > 0 995 ,

L'entier n est donc égal à 29.

Pour que le seuil de la décision soit de 0,01 la taille de l'échantillon à prélever doit être égale à 29.

(4)