La loi normale I. Un peu d’histoire
À partir du 18ème siècle, les mathématiciens qui ont développé la théorie des probabilités (Bernoulli, de Moivre, Laplace, Gauss …) ont découvert que beaucoup de variables étaient distribuées suivant une courbe en cloche :
Ici, je n’ai pas mis d’échelle, l’axe vertical dessiné correspond à la valeur moyenne.
Que ce soit les tirages à pile ou face (Bernoulli et de Moivre), les erreurs de mesure en astronomie (Laplace et Gauss), mais aussi la distribution des longueurs des tirs d’un canon, les tours de poitrine des soldats écossais, le poids des pains chez un boulanger, toutes ces variables se représentaient par cette même courbe. On lui a donné le nom de loi normale.
II. La loi normale centrée réduite
1. Définition
On dit qu’une variable suit la loi normale centrée réduite si sa densité est la fonction ( ) =
√
La courbe de est justement la courbe en cloche, centrée sur l’axe des ordonnées La constante
√ sert à rendre l’aire sous la courbe égale à 1 2. Propriétés
Au vu de la symétrie de la courbe de , ( ≤ 0) = ( ≥ 0) = , et pour tout , ( ≥ ) = ( ≤ − )
( ) = 0 (elle est centrée) et ( ) = 1 (elle est réduite)
Ainsi, pour la loi normale, la moyenne est confondue avec la médiane 3. Calculs de probabilités
Le problème, c’est que la fonction n’a pas de primitive exprimable. Du coup, pour calculer des probabilités, on utilise une table (il y en a une dans votre livre) ou la calculatrice
Quelques valeurs à savoir (c’est le programme de TS qui le dit) (−1 ≤ ≤ 1) ≈ 0,68
(−1,96 ≤ ≤ 1,96) ≈ 0,95
(−2,57 ≤ ≤ 2,57) ≈ 0,99
Avec la calculatrice (TI) : 2nd distrib – normalFrep (a, b) donnera ( ≤ ≤ )
Pour avoir ( ≤ ) ou ( ≥ ), on a deux solutions : on prend comme borne manquante un nombre presque infini (1099 pour +∞ ou −1099 pour −∞) ou on utilise que ( ≤ 0) = ( ≥ 0) = , ainsi par exemple, pour ( ≤ 1,3), on fait 0,5 + normalFrep(0 ; 1,3) et pour ( ≤ −0,9), on fera 0,5−normal Frep(−0,9 ; 0)
Les tables donnent ( ≤ ) pour > 0.
Si on veut ( ≥ ), on fait 1 − ( ≤ )
Pour les valeurs de négatives, on utilise la symétrie Pour ( ≤ ≤ ), on fait ( ≤ ) − ( ≤ )
On note en général Φ la fonction de répartition de la loi normale, c’est-à-dire Φ( ) = ( ≤ ) =
√ ∫ . Φ a pour dérivée . 4. La loi normale inverse
La fonction Φ est la loi normale inverse, c’est-à-dire qu’étant donné une probabilité , Φ ( ) est le réel tel que ( ≤ ) =
Ainsi, par exemple Φ (0,5) = 0
À la calculatrice, c’est 2nd distrib FracNormale 5. (ROC)
Théorème : quel que soit le réel ∈]0 ; 1], il existe un unique réel positif noté tel que (− ≤ ≤ ) = 1 −
Preuve : il faut prouver l’existence d’une solution, donc on emploie le théorème des valeurs intermédiaires
Posons donc pour ≥ 0 : ( ) = (− ≤ ≤ ) =
√ ∫
On a donc ( ) = Φ( ) − Φ(− ), et est continue sur [0 ; +∞[
est continue comme différence de deux fonctions continues est strictement croissante. Je vous propose deux démonstrations
Première démonstration : Φ est dérivable, donc l’est aussi, par somme et composée.
( ) = Φ ( ) − −Φ(− ) = ( ) + (− ), et comme est strictement positive sur R, ′ est strictement positive sur R donc est strictement croissante
Deuxième démonstration : Soit , deux réels, avec 0 ≤ < . Comme l’événement − ≤ ≤ est strictement compris dans l’événement − ≤ ≤ , on a (− ≤ ≤ ) < (− ≤ ≤ ), c’est-à-dire ( ) < ( )
(0) = (0 ≤ ≤ 0) = 0, et lim
→ ( ) = lim
→ ( ≤ ≤ ) = 1
Comme 0 ≤ 1 − < 1, l’équation ( ) = 1 − admet une solution unique dans [0 ; +∞[, cqfd
Comment trouver ?
Comme (− ≤ ≤ ) = 1 − , les deux intervalles ] − ∞ ; − ] et [ ; +∞[
ont à eux deux une probabilité égale à . Du fait de la symétrie de la loi normale, ils ont chacun la même probabilité, .
On a donc ( ≤ ) = 1 − , donc = Φ (1 − ) Deux valeurs à connaître : , ≈ 1,96 et , ≈ 2,57
III. La loi normale quelconque
1. Définition
Malheureusement pour nous, les variables ne sont pas toujours centrées ou réduites.
On dit que suit la loi normale d’espérance et d’écart type si sa régularisée ∗ définie par ∗ = suit la loi normale centrée réduite.
La courbe a la même forme, à une translation et des dilatations près
2. Calculs de probabilités
À la calculatrice, normalFrep(a, b, , ) pour ( ≤ ≤ ) Avec une table : on se ramène à ∗
3. On recherche ou
On est obligé de se ramener à ∗ Exemple 1 :
On sait que suit la loi normale d’espérance 100 et que ( ≤ 130) = 0,6 On cherche : on passe à la régularisée
( ≤ 130) = ( − 100 ≤ 30) = ≤ = ∗ ≤ .
Comme ∗ suit la loi normale centrée réduite, ∗ ≤ = 0,6 est équivalente à
= Φ (0,6) et =
( , ) ≈ 118,41 Exemple 2 :
On sait que suit la loi normale d’espérance et d’écart type , d’autre part ( ≤ 8) = 0,7 et ( ≤ 10) = 0,8.
On écrit : ( ≤ 8) = ( − ≤ 8 − ) = ≤ = ∗ ≤
Comme ∗ suit la loi normale centrée réduite, l’égalité ∗ ≤ = 0,7 est équivalente à = Φ (0,7), soit 8 − = × Φ (0,7)
On obtient de même 10 − = × Φ (0,8) Il ne reste plus qu’à résoudre ce système :
Par différence, on obtient 2 = (Φ (0,8) − Φ (0,7)) donc on trouve puis Exemple 3 :
On sait que suit la loi normale d’espérance 15, et que (13 ≤ ≤ 17) = 0,8 On se ramène à la régularisée, et on obtient ≤ ∗ ≤ = 0,8
On a un intervalle symétrique autour de 0, c’est donc un problème de . Ici 1 − = 0,8 donc = 0,2, et = , = Φ (0,9) soit =
( , )
