Loi gaussienne ( « normale » , Laplace Gauss)

(1)

1

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Terminologie anglais – français

Loi gaussienne ( « normale » , Laplace Gauss)

Approximation : binomiale loi gaussienne

Combinaisons de v. a gaussiennes

Autres lois : - uniforme - exponentielle

- gamma

- Khi2 (« khi-deux ») - Weibull

Bernard CLÉMENT, P h D

Chapitre 5 - Lois continues

2

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Classification des variables aléatoires

DISCRÈTES CONTINUES

MESURAGE COMPTAGE

LOIS binomiale

Poisson Hypergéométrique

autres …

LOIS uniforme exponentielle

Gaussienne gamma Weibull Log normale

autres …

3

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

• random variable ………. variable aléatoire

• normal distribution ……… loi gaussienne

• standard normal distribution …… loi gaussienne centrée -réduite

• exponential distribution ………….. loi exponentielle

• gamma distribution ……….. loi gamma

• cumulative distribution ……… fonction de répartition

• probability density function ……… fonction de densité de probabilité

• normality assumption ……… hypothèse de normalité TERMINOLOGIE anglais – français

4

Loi gaussienne ( normale , Laplace Gauss )

Cette loi (courbe en cloche) est la loi de probabilité la plus importante.

La place de cette loi vient du fait que cette v.a est très souvent observée à cause du résultat suivant:

si plusieurs facteurs distincts et indépendants influencent l’issue d’un processus chacun avec sa loi propre, alors la résultante tend vers une loi gaussienne.

Exemples :

- sommes de v.a uniformes, - sommes de v.a exponentielles, - sommes de v.a Binomiales, - sommes de v.a Poisson,

- sommes de v.a de lois diverses

- aussi : rôle pour faire l’approximation de d’autres lois comme la loi binomiale

(2)

5

Loi Gaussienne

densité en forme de cloche

Scatterplot (chap05.sta 10v*1000c)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U -0.02

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

GAUSS

paramètres caractéristiques µ(mu) : moyenne

centre de la distribution σ(sigma) : écart type

évasement de la distribution µ

Notation : X ~ N ( µ,σ²) σ

Densité f ( x) = 1 _ exp

(

-( x –µ)²

/

2 σ²

)

^_

∞ <

x

< ∞

σ

√

^2π

Répartition F (x) = P ( X ≤x ) = 1 exp

(

- ( t – µ )²/ 2 σ²

)

d t σ√2π

Intégration numérique seulement - voir une approximation plus loin-

∞

x

Moyenne (X) = E(X)= µ Variance (X ) = σ² Écart type (X) = ET(X) = σ

6

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U -0.02

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

GAUSS

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U 0.00

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

GAUSS-2

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U -0.02

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

GAUSS-3

Loi Gaussienne : exemples

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U -0.01

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

GAUSS-4

µ = 12 σ= 3 µ = 12 σ= 6

µ = 9 σ= 3 µ = 9 σ= 6

7

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Gaussienne centrée réduite : Z ~ N ( µ = 0, σ²= 1) Densité f ( z ) = 1 exp

(

-z ²

/

2

)

^_

∞ < z < ∞

√

^2π

Répartition Ф(z ) = P ( Z ≤z ) = 1 exp

(

- t ²/ 2

)

d t

√2π -

∞

z

Approximation de la fonction Φ( z ) ( peut remplacer la table ) Φ(z) ≈ 1/ [ 1 + exp ( -1,5976 z ( 1 + 0,04417 z ²) ) ] Approximation de la fonction inverse Φ^-1( p )

si 0.5 ≤ p < 1 a = ( - 2ln ( 1-p) ) ^{0 . 5} b = 2,30753 – 0,27061a______

1 + 0,99229a + 0,04481a² Φ^-1( p ) = a – b

si 0 < p ≤ 0.5 Φ^-1( p ) = -Φ^-1( 1 - p )

8

Table fonction Φ loi gaussienne centrée réduite N (0,1)

(3)

9

Quantile d’une loi gaussienne centrée réduite Z ~ N ( 0, 1)

Probability Density Function y=normal(x;0;1)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Probability Distribution Function p=inormal(x;0;1)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

quantile d’ordre p (0 <p< 1) de Z noté z _p : solution de Ф( z _p) = p Quantiles souvent utilisés

p 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 z _p- 3,09 -2,576 -2,326 -1,96 -1,645 -1,282 1,282 1,645 1,96 2,326 2,576 3,09

Φ^-1( p ) = Z _p

10

Transformation : de N ( µ, σ²) à N ( 0 , 1) Si X ~ N ( µ, σ²) alors Z = ( X – µ ) / σ

est une v.a gaussienne centrée réduite Z ~ N ( µ = 0 , σ² = 1) X ~ N ( µ , σ²) : X_p quantile d’ordre p ( 0 < p < 1 )

X _p= µ + σZ_p où Z _pquantile d’ordre p loi N (0,1) Évaluation Ф( - z ) = 1 – Ф( z )

P ( a < X < b ) = Ф( ( b –µ) / σ) ) -Φ[ ( a – µ ) / σ) ] P ( | X | ≤ a ) = 2 Φ( a ) - 1

X dans ( µ - σ, µ + σ) probabilité = 0.683 X dans ( µ - 2σ, µ + 2σ) probabilité = 0.955 X dans ( µ - 3σ, µ + 3σ) probabilité = 0.997 Exemple : X ~ N ( µ = 50 , σ²=16 )

(a) P ( X ≤ 55 ) = Φ[ ( 55 – 50 ) / 4) ] = Φ( 1,25) = 0,8925 (b) P ( X > 48 ) = 1 – P ( X < 48) = 1 -Φ[ ( 48 – 50 ) / 4 ]

= 1 - Φ( - 0,5 ) = 1 – ( 1 -Φ( 0,5 ) ) = Φ( 0,5 ) = 0,6915

11

la loi gaussienne : méthodes d’évaluation

Pourquoi ? beaucoup de procédures statistiques (chap. 6-7-8-9-10-11) reposent sur l’hypothèse que la variable de réponse du processus est gaussienne

Méthodes pour vérifier la loi

• histogrammes : au moins 50 observations

• comparaisons : effectifs dans xbar ±s , xbar ± 2s , xbar ± 3s

• diagramme quantile-quantile : valable même pour moins de 50 obs.

procédure : disponible dans Statistica

1- ordonner les observations x ( 1 ) ≤x ( 2 )≤ …. ≤ x ( n ) 2- calculer p _i= i / ( n + 1 ) i = 1, 2,…, n

3- calculer z _{p i} = Φ^-1( p _i) : quantile d’une loi gaussienne 4- droite de moindres carrés passant par ( x ( i ) , z_pi)

• tests d’ajustement : Khi-deux, Shapiro-Wilk ( chapitre 7 tests d’hypothèses)

12

Distribution: Normal X-ex5.8 = 120+22.4366*x

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Theoretical Quantile

0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

Observed Value

Exemples : graphiques quantile- quantile - lois gaussiennes

Exemple 1: OTHM p 151 ex 5.8 n=12 X = 104- 97- 83 -113- 107- 119-161- 123- 129-134- 124- 146

Normal Probability Plot of X-ex5.8 (chap05-V5.sta 21v*1000c)

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

Observed Value -2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Expected Normal Value

Graphique : quantile – quantile loi gaussienne

Graphique : normal probability plot

(4)

13

Exemples : graphiques quantile- quantile - lois gaussiennes

Exemple 2 : n = 100 - données simulées N ( mu=50, sigma=0,5) - X = 51,00- 50,37- ...- 50,05- 49,50

-3 -2 -1 0 1 2 3

Theoretical Quantile

0.01 0.05 0.25 0.50 0.75 0.90 0.99

48.5 49.0 49.5 50.0 50.5 51.0 51.5 52.0

Observed Value

14

Exemple 3 : on doit produire des composants dont la caractéristique qualité X doit avoir une valeur nominale de 3,500. Le procédé de fabrication est sujet à des variations : par expérience l’écart type σ (sigma) de X est 0,01 et le réglage à la valeur nominale peut se dérégler ( usure, … )

jusqu’à ∆= ± 1,5*σ autour de la valeur nominale visée 3,500

XL 3,500 XU 3,485 3,515

X

∆= ± 1,5* σ = ± 0,015 Questions

(a) déterminer les valeurs XL et XU de X qui engloberaient disons 99,5% de la production ?

(b) une client exige des composants situés dans l’intervalle de tolérance 3,500 ± 0,030 ( 3,47 ≤X ≤3,53 ).

On ne peut pas régler la valeur nominale mieux qu’en (a).

Quelle devrait être la valeur de σ pour que 99,5% de la production soit dans l’intervalle de tolérance désiré ?

15

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Exemple 3 : suite - solution

(a) ∆= - 0,015 P ( XL ≤ X ≤ XU ) = 0,995 XL = ? XU = ? P [ ( XL - 3,485 ) / 0,01 ≤ (X – 3,485 ) / 0.01 ≤( XU – 3,485 ) / 0,01] = 0,995 P [ ( XL - 3,485 ) / 0,01 ≤ Z ≤( XU – 3,485 ) / 0,01] = 0,995 P [ ZL≤ Z ≤ ZU ] = 0.995 Z suit loi N ( 0,1)

-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

gauss-std

ZL= - 2,81 ZU = 2,81

Selon la table N(0,1) ZL = -2,81

= ( XL - 3,485 ) / 0,01 XL = 3,485 -2,81*0,01

= 3,4569 ZU = 2,81

= ( XU – 3,485 ) / 0,01 XU = 3,485+2,81*0,01

= 3,5138

0,0025

0 0,995

16

Exemple 3 : suite ∆ µ XL XU__

avec σ = 0.01 0 3,500 3,4719 3,5281

∆= -1,5* σ -0,0075 3,485 3,4569 3,5138

∆= -1,5* σ 0,0075 3,515 3,4869 3,5431

(b) On veut que X ne soit jamais inférieur à 3,47 (avec probabilité 0,0025) et ne soit jamais supérieur à 3,53 (avec probabilité de 0,0025).

Quelle doit être la valeur de σ ?

Si ∆= 0 ( µ = 3,500 ) la condition est satisfaite.

Si ∆= ± 0,015 la condition n’est pas satisfaite avec σ= 0,01 On veut P ( 3,47 ≤X ≤3,53 ) = 0,995 pour 3,485 ≤µ≤3,515

et une valeur de σ à déterminer. Si µ = 3,485

P [( 3,47 – 3,485) / σ ≤ (X – 3,485) / σ ≤ (3,53 – 3,485) / σ] = 0.995 P ( -0,015 / σ ≤ Z ≤ 0,045 / σ ) = 0,995

Ф( 0,045 / σ) - Ф( -0,015 / σ) = 0.995

Mais σ ≤ 0,01 donc 0,045 / σ> 4,5 et Φ( 0,045 / σ) ≈Φ(4,5) = 1 1 - Φ( - 0,015 / σ) = 0,995 donne σ= 0,015 / 2,575 = 0,0058 Si µ = 3,515 on obtient aussi σ= 0,0058

(5)

17

Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)

binom

0 2 4 6 8 101214 16 182022 2426 2830

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

0.18 Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-2

1 3 5 7 9 11131517192123252729

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

BINOM-3

1 3 5 7 9 11131517192123252729

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

Approximation de la loi binomiale par une loi gaussienne Rappel: chapitre 4 – page 4 - masse loi binomiale est en forme de cloche

Possibilité: faire l’approximation des probabilités d’une loi binomiale avec une loi gaussienne

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-4

1 8 1522293643 505764717885 9299

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

BINOM-5

1 9 17 2533 4149 5765 7381 8997

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

BINOM-6

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

n = 30 θ= 0,3

n = 30 θ= 0,5

n = 30 θ= 0,9

n = 100 θ= 0,3

n = 100 θ= 0,5

n = 100 θ= 0,3

18

Une variable X binomiale ( n, θ) est discrète : x = 0, 1, 2, 3,…., n Une variable Y gaussienne « équivalente » a pour paramètres:

µ = n θ et σ² = n θ( 1 –θ)

Condition : il faut que n soit « assez grand » : n θ( 1 –θ) > 5 θ 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 n 105 50 32 24 21 20 21 24 32 50 105 Formules d’approximation : posons σ= [n θ( 1 –θ)]^0,5 et µ = n θ Binomiale Gaussienne Évaluation avec Φ_______________

P_B( X = x) P_G( x-0,5 ≤ X ≤ x+0.5) Ф[ (x + 0,5 - µ)/σ] -Φ[ (x - 0,5 - µ)/σ] P_B( X ≤x) P_G( X ≤ x+0,5) Φ[(x + 0,5 – µ )/σ]

P_B( a ≤X ≤b ) P_G(a -0,5 ≤X ≤b +0,5) Φ[(b +0,5 - µ) /σ] -Φ[(a- 0,5 - µ) /σ]

± 0,5 : correction de continuité

Exemple : loi binomiale ( n=100, θ= 0,4) n θ= 40 et n θ( 1 –θ) = 24 = 4,90² P(X =35) ≈ Ф[ (35 + 0,5 – 40) / 4,90] -Φ[ (35 - 0,5 – 40) / 4,90]

≈ Φ( -0,92 ) -Φ( - 1,12 ) = 0,1788 – 0,1314 = 0,0474

P( 22 < X ≤30 ) = P(23 ≤X ≤30) = Φ[( 30 + 0,5 – 40) / 4,90] –Φ[(23 – 0,5) / 4,90 ]

= Φ(-1,94) –Φ(-3,57) = 0,0262 – 0,0002 = 0,0260

19

Combinaison linéaire de v.a gaussiennes RÉSULTAT

Soient X ₁, X _2,, ….. , X _n des v.a indépendantes et X_i

~ N

(µ_{i ,}σi²) Soient a₀, a₁

,

a ₂_,, …. , a_n des constantes.

n

Posons

W = a

₀

+ ∑ a

_i

X

_i une combinaison linéaire des X i = 1

alors

W ~ N (

µ_W

,

σ

w

²^{) où}

µ_W = a₀ +

∑ a

_{i µ i} et σ_w²=

∑

_{a i}² σi2

20

Exemple 1 : X1 ~ N ( mu =2, var=9) X2 ~ N ( mu=1, var=16) Calculer : (a) P( X1- X2 > 1.5) (b) P(X1 > X2)

(c) P( X1 + X2 ≤1) (d) P( 2X1 + X2 > 6) Solutions:

(a) X1 – X2 ~ N ( mu =2 -1=1, var =9+16=25)

P(X1-X2 > 1.5) = 1 – P(X1-X2< 1.5) = 1-Φ((1,5 -1) / 5) = 1-Φ( 0,1 )

= 1 – 0,5398 = 0,4602

(b) P(X1 > X2) = P( X1 – X2 > 0) = 1 -Φ((0 - 1) / 5) = 1-Φ(-0,2) = 0,5793 (c) X1 + X2 ~ N ( mu = 2+1=3, var =9 + 16 =25)

P( X1 + X2 ≤1) = Φ((1 – 3) / 5) = Φ(-0,40) = 0,3446 (d) 2X1 + X2 ~ N ( mu = 2*2+1=5, var = 4*9+16=52)

P(2X1+X2 > 6) = 1 –Φ((6 – 5) / 52^0.5) = 1 –Φ(0,14) = 0,44443

(6)

21

Exemple 2 : OTHM p. 155 - insertion d’une tige dans un cylindre

X₁~N ( µ₁=1,005 , σ₁= 0,003 ) : diamètre intérieur cylindre

X ₂~ N ( µ₂=1 , σ₂= 0,002 ) : diamètre extérieur tige Quelle est la probabilité de faire l’insertion ?

Solution : W = X ₁– X ₂loi N ( 0,005,σ_W= √13 * 0.001 = 0,0036 ) P ( W > 0) = 1 – P ( W < 0 ) = 1 -Φ[ ( 0 – 0,005) / 0,0036 ]

= 1 - Φ( -1,39 ) = 0,92 ou 92%

que faire pour augmenter la probabilité à 0,99 ? réduire σ₁ ou σ₂

22

Exemple 3 : OTHM p. 155 - insertion d’une tige dans un cylindre ( suite )

X₁~N ( µ₁=1,005 , σ₁= ? ) : diamètre intérieur cylindre

X ₂~ N ( µ₂=1 , σ₂= 0,002 ) : diamètre extérieur tige Valeur de σ₁ pour faire l’insertion avec probabilité 0.99 ?

Solution : W = X ₁– X ₂ suit loi N ( 0,005, σ_W) on veut P ( W > 0) = 0,99

P ( W < 0 ) = 0,01 = 1 - P [( 0 – 0,005) /σ_W] ( 0 – 0,005) /σ_W = Z _0.01 = - 2,33 (table)

- 0,005 / σ_W = - 2,33 σ_W = 0,00215 σ_W = 0,00215 = (σ₁² + 0.002 ²)^0.5

σ₁ = 0,028

23

LOI UNIFORME

a b X f_X( x ) = 0 si x ≤a ou x ≥b

= 1 / ( b – a ) si a ≤ x ≤ b

Répartition F 0 si x ≤a F_X( x ) = ( x – a ) / ( b – a ) si a ≤ x ≤ b

1 si x ≥b

Moyenne = E ( X ) = ( a + b ) / 2 Variance = Var (X) = ( b – a )²/ 12 Quantile d’orde p ( 0 < p < 1 ) : X_p= a + p (b –a)

densité f

10%

8%

10%

11%

10%

11%

10%

11%

9% 9%

0.0009 0.1008

0.2007 0.3005

0.4004 0.5002

0.6001 0.6999

0.7998 0.8997

0.9995

UNIF 0

20 40 60 80 100 120

No of obs

Exemple: simulation de 1000 nombres sur l’intervalle ( 0, 1 ) avec la fonction Statistica : Rnd(x) loi uniforme sur (0, x)

24

LOI EXPONENTIELLE : X ~ Exp ( θ) X = nombre de réalisations processus de Poisson d’intensité λ

X ~ Po (λ) λ= nombre moyen de réalisation par unité de temps P( X= x) = λ^xexp (-λ) / x ! X = 0, 1, 2, 3, …

Y = nombre de réalisations processus de Poisson dans une fenêtre de longueur t : Y~ Po (λt ) T = temps d’attente avant la prochaine réalisation après une réalisation

v.a sur (o, ∞) P( T > t ) = P[ X=0 sur ( 0, t) ] = P( Y= 0 ) = exp ( -λt ) fonction de répartition de T : F_T( t ) = 1 - P ( T > t )

= 0 si t < 0

= 1 - exp (-λt ) si t ≥ 0 fonction de densité de T : f_T(t ) = 0 si t < 0

= λexp (-λt ) si t ≥ 0

Moyenne et écart type : E(X) = 1/ λ Écart type (X) = ET(X) = 1/ λ autre paramétrisation : f_T(t ) = 0 si t < 0

θ= 1/ λ = (1/ θ) exp (- t / θ) si t ≥0

E(X) = moyenne = θ ET(X) = écart type = θ quantile d’ordre p : T_p= -θln ( 1 – p ) modèle exponentiel ? (a) histogramme (b) moyenne = écart type ?

(c) graphique quantile -quantile

(7)

25

LOI EXPONENTIELLE : exemple 1

Un composant électronique est utilisé dans la protection des lignes à haute tension.

Des essais ont montré que le taux de défaillance est décrit par une loi de Poisson avec λ= 10 ^{- 5} par heure.

Quelle est la probabilité que le composant tombe en panne avant : 1 an - 5 ans - 10 ans ?

Solution: 1 an = 365 * 24 = 8760 heures 5 ans = 5 * 365 *24 = 43800 heures 10 ans = 10 * 365 * 24 = 87600 heures

T durée de vie du composant avant la première panne

P( T ≤ 1 an ) = P( T ≤ 8760 ) = 1 – exp( - 10^{- 5}*8760 ) = 1- exp ( -0,0876) = 0,084 P( T ≤ 5 ans ) = P( T ≤43800 ) =1 – exp( - 10^{- 5}*43800 ) = 1- exp ( -0,438) = 0,355 P( T ≤10 ans ) = P( T ≤87600 ) =1 – exp( - 10^{- 5}*87600 ) = 1- exp ( -0,876) = 0,583

26

Exemple 2 : les données suivantes proviennent-elles d’ une loi exponentielle ? 27 - 879 – 132 - 290 - 94 - 78 - 88 - 80 - 404 - 82 - 386 – 321 - 3 - 5 - 124

graphique Quantile-Quantile avec une loi exponentielle

-0.5 0.0 0. 5 1.0 1. 5 2.0 2.5 3.0 3. 5

Th eore tic al Quan tile

0.01 0.25 0.50 0.75 0.90 0. 95

-200 0 200 400 600 800 1000

Observed Value

27

Exemple 3 - comparaison de 2 procédés

Procédé taux de défaillance (heure) coût opér. ($) garantie (h.) pénalité A 0,005 C 400 ___P B 0,003 k C (k > 1) 400 P Quel procédé choisir ? pour quelle valeur de k on choisira B (A) ? Solution : les coûts d’opération et de garantie des procédés

C_A = C + P si t ≤400 et C_A= C si t > 400 C_B = k C + P si t ≤ 400 et C_B= k C si t > 400 coût moyen de A : E( C_A) = ( C+P)* P(T ≤ 400) + C * P( T > 400)

= C + P*( 1 – exp ( -400*0,005)) = C + 0,865 P coût moyen de B : E( C_B) = ( k C+P)* P(T ≤ 400) + k C* P( T > 400)

= k C + P*( 1 – exp (-400*0,003)) = k C + 0,699 P E( C _A) = E( C _B) si C + 0,865P = k C + 0,699P si k = k * = 1 + 0,166( P / C )

Si k < k* choisir le procédé B car son coût moyen est plus petit que celui de A Si k = k* les deux procédés ont des coûts moyens égaux : A ou B

Si k > k* choisir le procédé A car son coût moyen est plus petit que B

28

Exemple 4 : circuit électronique = 6 puces + 15 diodes + 20 condensateurs + 25 résistances placés en série. La fiabilité des composants suivent une loi exponentielle avec les taux de défaillance ( lambda ):

défaillances ( heure) défaillances ( an ) ( x 24x 365 ) puces 0,02 x 10 ^-7 175,2 x 10 ^-7

diodes 1,90 x 10 ^-7 16644 x 10 ^-7 condensateurs 0,50 x 10 -7 13140 x 10 ^-7 résistances 0,80 x 10 ^-7 7008 x 10 ^-7

Déterminer la fonction de fiabilité du système et faire son graphique.

Solution le circuit fonctionne si tous les composants sont opérants.

La probabilité que le circuit soit opérant jusqu’au temps t est : P ( T > t ) = P ( T₁> t ) * P ( T₂> t ) * . . . * P ( T _n> t )

= exp ( –λ₁t ) * exp ( –λ₂t ) * . . . * exp (-λ_nt ) = exp [ ( -∑λ_i) t ] Le taux de défaillance ( heure) du circuit est ∑ λ_i

=

( 6* 0,02 + 15 * 1,90 + 20 * 1,50 + 25 * 0,80 ) x 10 ^-7= 78,62 x 10 ^-7 Base annuelle, le taux de défaillance est = 24* 365 * 78,62 x 10 ^{- 7}= 0,688711

(8)

29

Exemple 4 ( suite) : la fonction de fiabilité (annuelle) du circuit est F _T( t ) = exp ( - 0,688711* t )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

FT

30

Autres lois continues : Gamma - Weibull Loi gamma : Γ( c , λ)

f_X(x) = [ 1/ Γ(c) ] λ^cx ^{c – 1}e -^λ^x x > 0 Γ(Gamma) est la fonction Gamma

c > 0 est le paramètre de forme λ > 0 est le paramètre d’échelle

Moyenne E ( X ) = c / λ Variance Var ( X ) = c / λ²

loi gamma avec c = 2 et lambda = 1

0 2 4 6 8 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

fonction répartition

0 2 4 6 8 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

31

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Loi gamma : relation avec la distribution de Poisson Résultat

Soit X un processus de Poisson d’intensité λ

( disons λ réalisations en moyenne par unité de temps )

Soit Y le nombre de réalisations du processus durant t unités de temps Y suit une loi de Poisson de paramètre λt

Soit T le temps d’attente jusqu’à la n-ième réalisation

T suit une loi gamma de paramètres α = n et θ = 1 /λ Cas particulier loi gamma : loi Khi-deux

Si λ= 0,5 et c = k / 2 où k est un entier : la loi porte le nom du Khi-deux.

employée dans les chapitres 6 à 11

32

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Loi Weibull : W ( c, λ)

f ( x ) = ( c / λ) ( x /λ) ^{c - 1}exp [ - ( x / λ) ^c] densité

répartition F ( x) = 1 – exp[ - (x / λ) ^c] x > 0 si β= 1 : loi Weibull = loi exponentielle Applications : fiabilité

quantile d’ ordre p : x _p= ln [ ln ( 1 / (1-p) ) ] c paramètre de forme - λ paramètre d’échelle

(9)

33 densité

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

répartition

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Loi Weibull : c =2, λ=1

34

Q uantile-Q uantile Plot of X-ex5.24 chap05.sta 24v*1000c) Distribution: Weibull(1)

X-ex5.24 = 649.8774+1139.6854*x

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 Theoretic al Quantile

0.01 0.25 0.50 0.75 0.90

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Observed Value

Exemple OTHM p 162 : graphique quantile - quantile X : 525 – 880 – 1200 – 1600 – 1980 – 2420 -3294

 Loi gaussienne ( « normale » , Laplace Gauss)

 Terminologie anglais – français

 Loi gaussienne ( « normale » , Laplace Gauss)

 Approximation : binomiale loi gaussienne

 Combinaisons de v. a gaussiennes

 Autres lois : - uniforme - exponentielle

- gamma

- Khi2 (« khi-deux ») - Weibull

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Classification des variables aléatoires

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

(

/

)

∞ <

< ∞

√

(

)

∞

(

/

)

∞ < z < ∞

√

(

)

∞

~ N

,

W = a

+ ∑ a

X

W ~ N (

,

w

∑ a

∑

=

Loi gaussienne ( « normale » , Laplace Gauss)

Terminologie anglais – français

Loi gaussienne ( « normale » , Laplace Gauss)

Approximation : binomiale loi gaussienne

Combinaisons de v. a gaussiennes

Autres lois : - uniforme - exponentielle