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Texte intégral

(1)

Cours de mathématiques

Chapitre 12

Loi normale

La loi normale est une des prinipales distributions de probabilité. Elle a été introduite

par le mathématiien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui an d'approherdes

probabilités assoiées à des variables aléatoires binomiales possédantun paramètre

n

très

grand.Cette loi aétémise enévidenepar Gaussau XIX sièleet permetdemodéliserde

nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une ourbe dite ourbe

en lohe ou ourbe de Gauss.

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2011–2012

(2)

1.

Un exemple de variable aléatoire ontinue

1.1. Notion de ontinuité

Nousavonsétudiépourl'instantuniquementdesvariablesaléatoirespouvantprendredes

valeurs isolées, surtout des nombres entiers. Cependant, on est souvent amené dans les

domaines industriels et éonomiques à étudier des variables aléatoires pouvant prendre,

au moinsthéoriquement,n'importe quelle valeur dans R oudans un intervallede R. On

peut iter ommeexemples :

les dimensionsd'un objet;

la duréede vied'un matériel;

une distane parourue;

une quantité de matièreou une masse.

Dans e as, les évènements que l'on étudie sont dénis par des inéquations et non des

équations.

Exemples :

• (X > 20, 54)

signie

X ∈ [20, 54; + ∞ [

.

• ( − 5, 7 < X 6 15, 9)

signie

X ∈ ] − 5, 7; 15, 9]

.

• (X < 0)

signie

X ∈ ] − ∞ ; 0[

.

Les évènements du type

(X = 170, 48)

ou

(X = − 5)

ne sont pas intéressants ar on peut estimer que leurs probabilités sont nulles. Par exemple, en interprétant lapremière

égalitéave latailled'un individu,onpeut onsidérerquela probabilitéqu'une personne

ne mesureexatement 170,48 m.

1.2.

Fontion de répartition

Lafontion derépartition delavariablealéatoireétudiéesera alorsessentielle.Tradition-

nellement notée

F

, elleest justement déniepar

F (a) = P (X 6 a)

pour

a

dans l'intervallede dénition de

X

.

Exemples :

• P (X 6 0) = F (0)

;

• P ( − 5, 7 < X 6 15, 9) = F (15, 9) − F ( − 5, 7)

;

• P (X > 20, 54) = 1 − F (20, 54)

.

On peut noter que les bornes n'ont auune importane, la probabilité d'un évènement

pontuelétantnulle.

1.3.

Densité de probabilité

La fontionde répartition est souvent donnée par une intégrale.Étudionspar exemple la

variablealéatoire

X

dont lafontion de répartition est

∀ x < 0 F (x) = 0 ;

∀ x > 0 F (x) = Z x

0

0, 002e −0 , 002 t dt.

(3)

Lafontionintervenantdansetteintégrale,notée

f

,estappeléedensité de probabilité de la variable

X

.La fontion de répartition

F

est en fait une primitivede

f

.

Théorème 1 :

Si

a

et

b

sont deux réels de l'ensemble de dénition de

X

, alors

P (a 6 X 6 b) = F (b) − F (a) =

Z b a

f (t)dt.

Remarque : La probabilité de l'univers, 'est à dire de R ou de l'intervalle de R étudié

est forément égale à 1. Ainsi, pour une variable aléatoire dénie sur R, sa densité de

probabilité doit vérier

Z +∞

−∞

f (t)dt = 1.

On peut vérier ette propriété en étudiant séparément

R x

0 f(t)dt

et

R 0

x f (t)dt

puis leurs

limites respetivesquand

x

tend vers

+ ∞

et

−∞

.

Théorème 2 :

L'espérane mathématique d'une variable aléatoire

X

dénie par une densité de

probabilité est donnée par la formule

E(X) = Z +∞

−∞

tf (t)dt.

2. Lois normales

2.1. Généralités

Définition 1 :

On dit qu'une variablealéatoire

X

suit laloi normale

N (m; σ)

de paramètres

m

et

σ

lorsque sa densité de probabilité est la fontion

f

dénie par

f (t) = 1 σ √

2π e

1

2

t − m σ

2

.

Théorème 3 :

On admet que si

X

est une variable aléatoire suivant laloi normale

N (m; σ)

alors

E(X) = m

et

σ(X) = σ.

Ainsi les paramètres d'uneloi normale sonten fait son espérane mathématique et

son éart-type.

(4)

2.2.

Loi normale entrée réduite

N (0; 1)

Définition 2 : Loi normale centrée réduite

La loinormale laplus simpleest ellede moyenne

m = 0

et d'éart-type

σ = 1

. On

l'appelle loi normale entrée réduite.

Sa fontion de répartitionest souvent noté

Π

.

Lesvaleursde lafontionde répartition,souventnotée

Π

,d'unevariablealéatoiresuivant

etteloisontdonnées dansleformulaire.Envoiiun extraitpour omprendrelaméthode

de leture:

t

0,05 0,06 0,07

1,1 0,8749 0,8770 0,8790

1,2 0,8944 0,8962 0,8980

1,3 0,9115 0,9131 0,9147

Le nombre situé à l'intersetion de la olonne 0,06 et de la ligne 1,3 est la valeur de la

fontion de répartition de

X

pour

t = 1, 3 + 0, 06 = 1, 36

. Ainsi

Π(1, 36) = P (X 6 1, 36) = 0, 9131.

Théorème 4 :

Le formulaire ne donne les valeursde

Π(t)

que pour

t

positif.

Comme la densité de probabilité de la loi normale entrée réduite est une fontion

paire,on a :

Π( − t) = P (X < − t)

= P (X > t)

= 1 − P (X < t)

= 1 − Π(t).

Théorème 5 :

On déduitde laproposition préédente que

P ( − t < X < t) = P (X < t) − P (X < − t)

= Π(t) − Π( − t)

= Π(t) − (1 − Π(t))

= 2Π(t) − 1

2.3. Utilisation de la loi normale entrée réduite

La loi normale entrée réduite est essentielle ar toutes les autres lois normales peuvent

s'y ramener. C'est e qu'armele théorème suivant.

(5)

Théorème 6 :

Si une variable aléatoire

X

suit la loi normale

N (m; σ)

de moyenne

m

et d'éart-

type

σ

alors lavariable aléatoire

Y = X − m σ

suit la loi normale entrée réduite

N (0; 1)

.

C'estpour etteraisonqueleformulairenedonnequelesvaleursdelaloinormaleentrée

réduite.

Exerie résolu 1 :

Unevariable

X

suit laloinormalede paramètres

m = 12

et

σ = 3

.Caluler

P (X < 16)

et

P (9 < X < 15)

.

Solution : On pose

Y = X σ m = X −12 3

.Selonlethéorème,

Y

suitlaloinormaleentrée

réduite.

L'événement

X < 16

est alors équivalent à

Y < 16 − 12

3 = 4

3

don

P (X < 3) = P (Y <

1, 33) = Π(1, 33) = 0, 908 2

.

L'événement

9 < X < 15

est alors équivalent à

− 1 < Y < 1

, don

P (9 < X < 15) = P ( − 1 < Y < 1)

= Π(1) − Π( − 1)

= Π(1) − (1 − Π(1))

= 2Π(1) − 1

= 0, 682 6.

2.4.

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Théorème 7 :

Si

n

est grand et

p

est assez éloigné de 0 et 1 alors la loi binomiale

B (n; p)

peut

être approhée par la loi normale

N (m; σ)

,

m = np

et

σ = p

np(1 − p)

.

L'intérêt de ette approximation est d'éviter d'eetuer des aluls etde pouvoir utiliser

latablede laloinormaleentréeréduite.Dansetteproposition,lesonditionsde validité

de l'approximationne sont pas àretenir,seuls lesparamètres de laloinormale utiliséele

sont.

3.

Exeries

3.1.

Variables aléatoires ontinues

12.1

Le but de et exerieest d'étudier lafontion

f

déniesur R par

f : t 7→ 1

√ 2π

e

t2

2

(6)

qui sera essentielle lorsde toute hapitre de probabilités.

1

. Étudier laparité de

f

etinterpréter graphiquement lerésultat.

2

. Caluler

f (0)

.

3

. Déterminer la limite de

f

en

+ ∞

. Endéduire la limite en

−∞

d'après la question

1.

4

. Étudier les variations de

f

sur

[0; + ∞ [

.En déduire lesvariationsde

f

sur

] − ∞ ; 0]

d'après laquestion 1.

5

. Traer lareprésentation graphiquede

f

sur

[ − 5; 5]

àl'éhelle10 mpour une unité

en ordonnée et1 mpour une unité en absisse.

6

. Caluler une valeur aprohée de

Z 4 0

f(t)dt

. En déduire une valeur approhée de

Z 4

−4

f (t)dt.

7

. Quelle semble être l'aire totale ompriseentre l'axe des absisses etla ourbe?

12.2

Soit

X

la variable aléatoiredont la fontionde répartition est

∀ x < 0 F (x) = 0 ;

∀ x > 0 F (x) = Z x

0

0, 002

e

−0 , 002 t dt.

On note

f : t 7→ 0, 002

e

−0,002t

ladensite de probabilitéde

X

.

1

. Construire la représentation graphique de la fontion

f

sur l'intervalle

[0; 1500[

, à

l'éhelle 5 mpour 0,001 en ordonnée et1 mpour 100 en absisse.

2

. Caluleret représenter graphiquementles probabilités

• P (X 6 400)

;

• P (X > 1000)

;

• P (450 < X 6 1200)

.

3.2.

loi normale

12.3

Représenter graphiquement les densités de probabilités des lois normales

N (0; 1)

et

N (1; 2)

.

12.4

Déterminer grâe à la table de la fontion intégrale de la loi entrée réduite les probabilités suivantes. On les exprimeraauparavantà l'aide de la fontion

Π

.

1

.

P (X 6 1, 27)

;

2

.

P (X > 0, 84)

;

3

.

P (X 6 − 1, 58)

;

4

.

P (0, 25 6 X 6 1, 25)

;

5

.

P ( − 0, 93 6 X 6 0, 93)

.

12.5

Exprimer

P (t 1 6 X 6 t 2 )

,

P (X 6 − t)

et

P ( − t 6 X 6 t)

àl'aidede lafontion

Π

.

(7)

12.6

Unevariablealéatoire

X

suitlaloinormale

N (20; 5)

.Caluler, enutilisantlatable

du formulaire:

1

.

P (X 6 28)

;

2

.

P (X > 28)

;

3

.

P (X > 20)

;

4

.

P (X > 12)

;

5

.

P (12 6 X 6 28)

.

12.7

Une variable aléatoire

X

suit la loi normale

N (20; 5)

. Déterminer, en utilisant la table du formulaire,le nombre réel

a

dans lesas suivants:

1

.

P (X 6 a) = 0, 99

;

2

.

P (X > a) = 0, 05

;

3

.

P (X > a) = 0, 9

;

4

.

P (20 − a 6 X 6 20 + a) = 0, 95

.

12.8

Unevariablealéatoire

X

suit laloinormale

N (m; 0, 1)

.Déterminerlenombreréel

m

dans les as suivants :

1

.

P (X > 2, 2) = 0, 05

;

2

.

P (X > 2, 2) = 0, 9

.

12.9

La variable aléatoire

X

suit la loi normale

N (2; σ)

. Déterminer le nombre réel

σ

dans les as suivants :

1

.

P (X 6 2, 2) = 0, 9

;

2

.

P (1, 8 6 X 6 2, 2) = 0, 9

.

12.10

On admetquelavariablealéatoireX quiassoieàtouteampouleéletriqued'un type donné sa durée de vie, mesurée en heures, suit une loinormale de paramètres

m

et

σ

. Détermineres paramètres sahant que:

P (X > 1100) = 0, 9332

et

P (X 6 1600) = 0, 8413

.

12.11

Uneentreprisede transport aun par totalde 150 amions.On désignepar

X

la

variablealéatoirequi,àhaqueamionhoisiauhasarddanslepar,assoieladistaneen

kilomètres qu'il a parourue dans une journée. Une étude statistique permet d'admettre

que ette variable aléatoire

X

suit la loi normale de moyenne 120 et d'éart-type 14.

Déterminerà

10 −4

prèslaprobabilitéqu'un amionparoureune distane ompriseentre 110 et 130 kilomètres.

12.12

Un atelier produit des joints qui assurent l'étanhéité du palier d'arbre d'entrée d'un réduteur de vitesse.

La variable aléatoire

X

qui assoie à tout joint pris au hasard sa durée de vie exprimée

en heures suit laloi normalede moyenne 970 et d'éart-type 200.

1

. Déterminer laprobabilité qu'un joint pris auhasard dans la prodution de l'atelier ait une duréede vie ompriseentre 720 et 1000 heures.

2

. Déterminer laprobabilité qu'un joint pris auhasard dans la prodution de l'atelier ait une durée de vie inférieure à 620 heures. Caluler le nombre présumé de tels

joints,jugés défetueux, dans un ensemblede 500 joints.

12.13

A haque personne vivant en Frane on assoie le temps qu'elle passe devant la télévision en une semaine, exprimé en heures. Une étude a montré que lamoyenne de la

variablealéatoire

X

ainsidénieest

m =

20,3etquesonéart-typeest

σ =

9,7.Onadmet

que lavariablealéatoire

X

,dénie sur

[0; + ∞ [

suit sur et intervalleune loinormale.

(8)

1

. Quelleestlaprobabilitéqu'unepersonnehoisieauhasardregardemoinsde1heure de télévisionpar semaine?

2

. Quelle est la probabilité qu'une personne hoisie au hasard regarde moins de 20,3 heures de télévision par semaine?

3

. Quelle est laprobabilité qu'une personne hoisie auhasard regardeentre 10 heures et 30heures de télévision par semaine?

4

. On onsidère qu'une personne est aro à la télévision si elle regarde plus de 35 heuresparsemaine.Quelleestlapartdelapopulationatteintedeettedépendane?

5

. En onsidérant qu'il y a 60 000 000 habitants en Frane, aluler le nombre de personnes regardantla télévision

moins de 1 heure par semaine;

moins de 20,3 heures par semaine;

entre 10 et30 heurespar semaines;

plus de 35 heures.

12.14

Un fabriant de matériel Hi-Fi produit des leteurs de CD. A haque leteur CD hoisi au hasard parmi la prodution on assoie sa durée de vie en semaines. Une

étude statistiquea permisd'admettrequelavariablealéatoire

X

ainsi déniesuitune loi

normale de moyenne 150 etd'éart-type70.

1

. Quelleestlaprobabilitéquel'appareilfontionnependantplusde5ans?Cematériel étant garanti 1 an, quelle la probabilité qu'il tombe en panne au ours de ette

période?

12.15

Une mahine fabrique des pièes. On désigne par

X

la variable aléatoire qui à

haquepièe priseauhasard assoiesalongueur

x

.On suppose que

X

suit laloinormale

de moyenne

m = 54

etd'éart-type

σ =

0,2.Une pièeest onsidérée ommedéfetueuse

si

x

est inférieure à

53, 6

ou supérieureà

54, 3

.

1

. Calulerla probabilité

p

qu'une pièe soit défetueuse.

2

. Pour vérier que la mahine ne s'est pas déréglée, on détermine des otes d'alerte

m − h

et

m + h

déniespar

P (m − h 6 X 6 m + h) = 0, 95

.Déterminerunevaleur

approhée de

h

.

12.16

On ajoute du

SO 2

dans un vin pour le protéger d'une part des attaques des

levures et des batéries, d'autre part de l'oxydation.

Aprèsembouteillage,onprélèvedeséhantillonsde50bouteillessurlahained'embouteil-

lage et ondose dans haque bouteille laonentration en

SO 2

libre quisera exprimée en

mg.L −1

.

La prodution étant très importante, on assimile e prélèvement à un prélèvement non

exhaustif. Voiiles résultatsdu dosage de

SO 2

dans un éhatillon.

Conentration Nbde bouteilles

[20; 20, 2[

3

[20, 2; 20, 4[

9

[20, 4; 20, 6[

20

[20, 6; 20, 8[

13

[20, 8; 21[

5

(9)

1

. Donner des valeurs approhées à

10 −3

près de lamoyenne

m

etde l'éart-type

σ

de

et éhantillon.

2

. Ahaqueprodutionobtenue aprèsavoirajoutédu

SO 2

onassoielaonentration en

SO 2

libre. On dénitainsi une variablealéatoire

X

.On admet que

X

suit leloi

normalede moyenne

20, 5 mg.L −1

etd'éart-type

0, 2 mg.L −1

.

On estime que le vin est impropre à la onsommation si la onentration en

SO 2

libre est supérieure ouégale à

20, 9 mg.L −1

.

Quel est, à

1%

près, sous es hypothèses, le pourentage de bouteillesimpropres à la onsommation?

12.17

A haque trajet en train d'un voyageur, on assoie la diérene entre l'heure d'arrivée prévue et l'heureeetive, dénissant ainsi une variable aléatoire

X

. On admet

que

X

suit une loi normalede moyenne

m = 5

etd'éart-type

σ = 1, 2

.

1

. Quelle est la probabilité quele train soitàl'heure ouen avane?

2

. Le voyageur peut bénéier d'un remboursement partiel si le retard à l'arrivée est supérieur à 30minutes. Quelleest laprobabilité que et évènement se produise?

3

. Auoursd'uneannée,levoyageuraeetué150trajets.Calulerlenombrethéorique de retardssupérieurs à30 minutes etde trainsarrivant àl'heure ouen avane.

12.18

Unemahine fabriquedes pièesdeformeirulaireen série.A haquepièetirée auhasard,onassoieson diamètre

x

expriméenmillimètres.Ondénitainsiune variable aléatoire

X

. On suppose que

X

suit la loi normale de moyenne

m = 32

et d'éart-type

σ = 1

(en mm).

1

. Pour être utilisable, une pièe doit satisfaire à la norme suivante :

31 6 x 6 33

.

Quelle est la probabilité

p

qu'une pièe soitutilisable?

2

. Leoût moyen de fabriationd'unepièe est noté

f

.Dans un lotde 100 pièesfab-

riquées dontleoût defabriationestdon

100f

,

100p

d'entre elles sont utilisables; il en résulte quele prix moyen

M

de fabriationest

M = 100f 100p = f

p .

a

. Calulerle prixmoyen de fabriation ave la mahine préédente si

f = 10, 8

euros.

b

. Pour diminuer le pourentage de pièes défetueuses, ou pourrait utiliser une mahineplusmoderne:l'éart-typeseraitde 0,5mmet

X

suivraitalorsuneloi

normale

N (32; 0, 5)

,maisleoût defabriation

f 2

seraitalorsde 12eurospour

ette nouvelle mahine. Caluler, pour ette nouvelle mahine, la probabilité

p 2

qu'une pièe soitutilisable.

c

. Déterminer le prix moyen de fabriation

M 2

pour ette nouvelle mahine. En

déduirela mahineque l'on aurait intérêt à utiliser.

(10)

3.3.

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

12.19

On jettedix foisde suite une pièe de monnaieéquilibrée.On note

X

la variable

aléatoirequi à haque partie assoiele nombre d'apparitionsdu té fae obtenu.

1

. Justier quelaloi de probabilitésuiviepar lavariable aléatoire

X

est une loi bino-

miale donton préisera les paramètres.

2

. Caluler la probabilité de l'événement

E

: Le nombre d'apparitions du té fae est omprisentre 3 et 6inlus.

3

. On déide d'approher laloide la variablealéatoiredisrète

X

par une loinormale

de paramètres

m

et

σ

.

a

. Déterminerles valeurs appropriées de

m

et

σ

.

b

. Enutilisantl'approximation,alulerde nouveau laprobabilité

P (E)

.

4

.

a

. Traer le diagramme en bâtons de la fontion qui à

t

assoie

P (X = t)

en

utilisant une éhelle onvenable.

b

. Sur le graphiquepréédent, représenter la densitéde probabilité de la loinor- male

N (m; σ)

.Que onstate-t-on?

12.20

Une usine fabrique en grande quantité un ertain type de pièes. La probabilité qu'une pièe prélévée au hasard dans la prodution d'une journée soit défetueuse est

p = 0, 07

.Onprélèveauhasard

250

pièesdanslaprodutiond'unejournée.Laprodution

est assezimportantepourqu'on puisseassimilere prélèvementàuntirageave remisede

250

pièes. On note

X

la variablealéatoirequi, àtout prélèvement de

250

pièes,assoie

le nombre de pièes défetueuses.

1

. Expliquer pourquoi

X

suit une loibinomialedont onpréisera les paramètres.

2

. On déide d'approher la loi de la variable aléatoire disrète

X

par la loi normale

de paramètres

m = 17, 5

et

σ = 4, 03

.On note

Y

la variable aléatoiresuivant laloi

normale

N (17, 5; 4, 03)

.

a

. Justierles valeurs de

m

et

σ

.

b

. Calulerla probabilitéqu'il y aitau plus

20

pièes défetueuses.

c

. Calulerla probabilitéque le nombre pièes défetueuses soitompris ausens large entre

15

et

20

('est à dire

P (14, 5 6 Y 6 20, 5)

).

3.4. Annales

12.21

Frane 2011 - Groupement A

Partie A

Unesoureémet un signalbinaireomposéde aetde 1.Lors du transport, lesignalpeut

être déformé. Un

0

peut être transformé en

1

ave une probabilité

0, 1

et, de même, un

1

peut être transforméen

0

ave une probabilité

0, 1

.

Pour toutelasuite, dans une série de hires, onlitde gauhe àdroite, lepremierhire

envoyé étant don elui érit le plus àgauhe.

On envoie lesignal 00.

(11)

On admet que les erreurs de transmission sont des évènements aléatoires indépendants

les uns des autres.

On onsidère lesévènements suivants :

• E 1

: les deux hires sont modiés

• E 2

: le premierhire est modié mais pas le deuxième

• E 3

: auun hiren'est modié

• E 4

: au moinsun des hires est modié

Pour haque armation, une seule des propositions est exate. Le andidat portera sur

sa opie, sans justiation, le numéro de laquestion suivi de laréponse hoisie.

Une bonne réponse rapporte

0, 5

point, une réponse inorrete ou l'absene de réponse

n'enlève pas de point.

1

. La probabilité de l'évènement

E 1

est égale à :

0,01

0,99

0,09

0,81

2

. Si l'évènement

E 2

est réalisé, lesignal reçu est :

00

01

10

11

3

. La probabilité de l'évènement

E 2

est égale à :

0,19

0,81

0,09

0,90

4

. La probabilité de l'évènement

E 3

est égale à :

0,01

0,99

0,09

0,81

5

. La probabilité de l'évènement

E 4

est égale à :

0,19

0,20

0,11

0,91

Partie B

1

. On onsidèrel'expérienealéatoireonsistantàémettreunehaîneonstituéede 10 fois lehire1età observer lahaînereçue. Onappelle

X

la variablealéatoirequi,

àhaque haîneainsireçue,assoielenombred'erreursde transmission,'est-à-dire

le nombre de

0

obtenus.

On rappelleque laprobabilité qu'un hiresoitmal transmisest

0, 1

.

a

. On admet quela variable aléatoire

X

suit une loi binomiale.

Préiserles paramètres de ette loi.

b

. Calulerà

0, 001

près laprobabilité qu'ilyaitexatementune erreurde trans- mission.

c

. Montrer que la probabilité qu'il y ait au plus une erreur de transmission est égale à

0, 74

à

0, 01

près.

2

. Estimant que la qualité des transmissions n'est pas assez bonne, les tehniiens proèdent à quelques réglages an de réduire les bruits à l'origine des erreurs.

Laprobabilitéqu'un hiresoitmaltransmisdevraitainsiêtre fortementdiminuée.

Eetivement, à l'issue des réglages, on onstate que la proportion de hires mal

transmis est égale à

0, 002

.

a

. On appelle

Y

la variable aléatoire égale au nombre de hires mal transmis

dans une haîne de 1000 hires.

On onsidère que lavariablealéatoire

Y

suit une loi de Poisson de paramètre

λ

.

Justier que

λ = 2

.

(12)

b

. Caluler à

0, 001

près la probabilité qu'il y ait au moins une erreur de trans- missionparmi les 1000 hires envoyés.

Partie C

La transmission des hires binaires est assurée par un signal életrique arré. Les im-

pulsions supérieuresà 2 voltsreprésentent le hire

1

, les autres lehire

0

. Ne pouvant

anerdavantage leursréglages,lestehniiensadmettentqueleserreurs de transmission

restantes sont duesàun bruit aléatoire.Celui-iest modélisépar un signalde tension

aléatoire

U

, exprimée en volts. On admet que

U

suit une loi normale de moyenne

0

et

d'éart type

σ

.

1

. Pour envoyer les hires 1, on envoie des impulsionsde 4 volts. Ces dernières sont modiées par le bruitaléatoire. Latension reçueest ainsi égale à

4 + U

.

Dans ette question, on suppose que

σ = 0 , 7

.

a

. Montrer que la probabilité que ette tension représente lehire 1 est égale à laprobabilité que

U

soit supérieureà

− 2

.

b

. Calulerette probabilité à

0, 001

près.

2

. Quelle ondition doit-on imposer à l'éart type

σ

pour que la proportion d'erreurs

de transmissiond'un hire

1

soitinférieureà 0,1%, 'est-à-dire pour que :

p(U < − 2) < 0, 001?

Dans ette question toute trae de reherhe même inomplète ou non aboutie sera

prise en ompte.

12.22

Frane 2009

Cet exerie se ompose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l'une

de l'autre.

On s'intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d'une grande entreprise, provenant

de lients dispersés sur le réseau Internet.

La réeption de trop nombreuses requêtes est suseptible d'engendrer des problèmes de

surharge du serveur.

Partie A

Dans ettepartie,on s'intéresse aunombrede requêtes reçuespar leserveur, auours de

ertaines durées jugées ritiques.

On désigne par

τ

un nombre réel stritement positif. On appelle

X

la variable aléatoire

qui prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervallede

temps de durée

τ

(expriméeen seondes). La variablealéatoire

X

suit une loide Poisson

de paramètre

λ = 500τ

.

1

. Dans ette question,on s'intéresse auas où

τ = 0, 01

.

a

. Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête auours d'une durée

τ

de 0,01 s.

b

. En expliquant votre démarhe, déterminer le plus petit entier naturel

n 0

tel

que

p (X > n 0 ) < 0, 05

.

(13)

2

. Dans ette question, on s'intéresse au as où

τ = 0, 2

. On rappelle que la loi de

Poisson de paramètre

λ = 100

peut être approhée par la loi normale de moyenne

µ = 100

etd'éart type

σ = 10

. Enutilisantette approximation, aluler:

a

. laprobabilité

P (X > 120)

;

b

. une valeur approhée du nombre réel positif

a

tel que

P (100 − a 6 X 6 100 + a) = 0, 99

.

Partie B

Dans ette partie,on onsidère :

d'une part, que la probabilité pour le serveur de onnaître des dysfontionnements importantsauours d'une journée donnée est

p = 0, 01

;

d'autre part, que des dysfontionnements importants survenant au ours de journées distintes onstituent des évènements aléatoiresindépendants.

1

. On appelle

Y

la variablealéatoire orrespondant aunombre de jours où le serveur onnaît des dysfontionnements importantsau ours d'un mois de 30 jours.

a

. On admet quela variable aléatoire

Y

suit une loi binomiale.

Préiserles paramètres de ette loi.

b

. Caluler,à

10 −3

près, laprobabilitéqueleserveur onnaisse auplus2joursde dysfontionnements importantspendant un mois.

2

. On appelle

Z

la variable aléatoire orrespondant au nombre de jours où le serveur onnaît des dysfontionnements importantsau ours d'une annéede 365 jours.

a

. Donner, sans justiation, la loide probabilité de lavariable aléatoire

Z

.

b

. Donner l'espéranemathématique etl'éart type de lavariablealéatoire

Z

.

Partie C

Dans ette partie.on s'intéresse àla duréeséparant deux requêtessuessivesreçues par

le serveur.

On appelle

T

la variablealéatoirequi prendpour valeurs lesdurées(exprimées en seon-

des) séparant l'arrivée de deux requêtes suessives sur leserveur.

1

. On désigne par

t

un nombre réel positif. La probabilité que

T

prenne une valeur

inférieure ouégale à

t

est donnée par :

p(T 6 t) = Z t

0

500

e

−500x

d

x

.

a

. Caluler

P (T 6 t)

en fontion de

t

.

b

. Endéduirelavaleurde

t

pour laquelle

P (T 6 t) = 0, 95

.Ondonnera lavaleur

exate puis une valeur approhée au millièmede seonde.

2

.

a

. Caluler, à l'aided'une intégration par parties,l'intégrale

I (t) = Z t

0

500x

e

−500 x

d

x.

b

. Déterminerla limite

m

de

I(t)

quand

t

tend vers

+ ∞

.

Lenombre

m

estl'espéranemathématiquedelavariablealéatoire

T

.Ilreprésente

ladurée moyenne séparant laréeption de deux requêtes suessives.

Commentaire :

Ce modèle, très simple, intéresse les onepteurs de systèmes d'information ou de télé-

ommuniation ar il fournit des évaluations de ertaines performanes d'un système, en

partiulier au sens du sénario du pire des as.

(14)

12.23

Frane 2006

Les diérentes parties de et exerie sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise produit,en grande quantité, des appareils.Chaque appareilfabriqué peut

présenter deux défauts que l'on appellera défaut

a

et défaut

b

.

On prélève un appareil auhasard dans laprodution d'unejournée.

On note

A

l'événement: l'appareilprésenteledéfaut

a

et

B

l'événement:l'appareil présente le défaut

b

.

Les probabilités des événements

A

et

B

sont

P (A) = 0, 03

et

P (B) = 0, 02

; on suppose

que es deux événements sont indépendants.

1

. Caluler la probabilité de l'événement

E 1

: l'appareil présente le défaut

a

et le

défaut

b

.

2

. Caluler la probabilité de l'événement

E 2

: l'appareil est défetueux, 'est-à-dire qu'il pr±ente aumoins un des deux défauts.

3

. Calulerla probabilité de l'événement

E 3

: l'appareilne présenteauun défaut.

4

. Sahantquel'appareilestdéfetueux, quelleestlaprobabilitéqu'ilprésentelesdeux défauts?

Le résultat sera arrondi au millième.

Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au entième.

Partie B

Les appareils sont onditionnés par lots de

100

pour l'expédition aux distributeurs de pièes détahées. On prélève au hasard un éhantillon de

100

appareils dans la produ-

tion d'unejournée. La produtionest susamment importantepour que l'on assimile e

prélèvementà un tirage ave remisede

100

appareils.

Pour ette partie, on onsidère que, à haque prélèvement, la probabilité que l'appareil

soit défetueuxest

0, 05

.

On onsidère lavariablealéatoire

X 1

qui,à tout prélèvement de

100

appareils, assoiele

nombre d'appareils défetueux.

1

.

a

. Justier que la variable aléatoire

X 1

suit une loi binomiale dont on préisera

lesparamètres.

b

. Donner l'espéranemathématique de la variable aléatoire

X 1

.

2

. Onsupposequel'onpeutapproherlaloide

X 1

paruneloidePoissonde paramètre

λ

.

a

. On hoisit

λ = 5

; justiere hoix.

b

. Enutilisantetteloide Poisson,alulerlaprobabilitéqu'ilyaitauplusdeux appareilsdéfetueux dans un lot.

Partie C

Les appareils sont aussi onditionnés par lots de

800

pour l'expédition aux usines de montage.On prélèveauhasardun lotde

800

appareils. Ononsidère lavariablealéatoire

X 2

qui,àtoutprélèvementde

800

appareils, assoielenombre d'appareilsdéfetueux. On déide d'approher laloi de lavariable aléatoire

X 2

par laloi normalede moyenne

40

et

d'éart-type

6, 2.

(15)

1

. Déterminer laprobabilité qu'ily aitauplus 50 appareilsdéfetueux dans lelot.

2

. Déterminer leréel

x

tel que

P (X 2 > x) = 0, 01

.

En déduire, sans justiation, leplus petit entier

k

telque la probabilité que lelot omporte plus de

k

appareilsdéfetueux soitinférieure à

0, 01

.

12.24

Frane 2004 - IRIS

Les questions

1

,

2

et

3

peuvent être traitées indépendammentl'une de l'autre.

Une entreprise fabrique des pièes. Ces pièes sont onsidérées omme onformes si leur

longueur est ompriseentre

79, 8

mmet

80, 2

mm.

1

. On note

L

lavariablealéatoirequi,àhaquepièe fabriquée,assoiesalongueur en

mm.

On admet que la variable

L

suit une loi normale de moyenne

80

et d'éart type

0, 0948

.

On prélève une pièe auhasard dans la prodution.

Déterminer, enutilisantlatablede laloinormaleentrée réduite,laprobabilitéque

ette pièe soitonforme.

2

. On admetque sionprélève,auhasard,une pièedans laprodution, laprobabilité que ette pièe ne soitpas onforme,est

p = 0, 035

.

a

. On note

X

, lavariablealéatoirereprésentant lenombre de pièesdéfetueuses dans un lot de

100

pièes. Les pièes sont prélevées auhasard et le tirage est

assimiléà un tirage ave remise.

Justierque

X

suit une loi binomialede paramètre

n = 100

et

p = 0, 035

.

b

. Le tableau i-dessous, donne la probabilité des événements "

X = k

" pour

k

variantde

0

à

9

, àl'exeption de l'événement "

X = 2

".

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P (X = k) 0, 0284 0, 1029 0, 2188 0, 1924 0, 1340 0, 0770 0, 0375 0, 0158 0, 0059

On onsidère les événements :

A

:"le nombre de pièes défetueuses du lot est égal à

2

";

B

:"le nombre de pièes défetueuses du lot est au moinségal à

2

".

Caluler

P (A)

audix millièmeprès, puis

P (B)

au millièmeprès.

c

. Un lot de

100

pièes est envoyé à un lient, le lot est aepté s'il ontient au

plus

4

pièesdéfetueuses.

En utilisant le tableau i-dessus, déterminer au millième près, la probabilité

que lelientrefuse e lot.

d

. Enutilisantletableaui-dessus,déterminerlapluspetitevaleurentière

n

telle

que :

P (X > n) < 0, 03

3

. L'entreprisesouhaiteaméliorerlaqualitéde laprodution. Pour elaonprojettede hanger le proessusde fabriationdes pièes.

On dénit alors une nouvelle variable

L 1

qui à haque pièe à onstruire selon le

nouveau proessus assoiera sa longueur en mm.

Lavariablealéatoire

L 1

suit uneloinormalede moyenne

m = 80

etd'éarttype

σ

.

Déterminer

σ

pour que,en prenantune pièe auhasarddans lafuture prodution,

la probabilitéd'obtenir une pièe onformesoitégale à

0, 99

.

(16)

1 Un exemple de variable aléatoireontinue . . . 1

1.1 Notion de ontinuité . . . 1

1.2 Fontion de répartition . . . 1

1.3 Densité de probabilité . . . 1

2 Loisnormales . . . 2

2.1 Généralités . . . 2

2.2 Loi normaleentrée réduite

N (0; 1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Utilisation de la loinormaleentrée réduite . . . 3

2.4 Approximation d'uneloi binomialepar une loinormale . . . 4

3 Exeries. . . 4

3.1 Variablesaléatoiresontinues . . . 4

3.2 loi normale . . . 5

3.3 Approximation d'uneloi binomialepar une loinormale . . . 9

3.4 Annales . . . 9

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