Cours de mathématiques
Chapitre 12
Loi normale
La loi normale est une des prinipales distributions de probabilité. Elle a été introduite
par le mathématiien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui an d'approherdes
probabilités assoiées à des variables aléatoires binomiales possédantun paramètre
n
trèsgrand.Cette loi aétémise enévidenepar Gaussau XIX sièleet permetdemodéliserde
nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une ourbe dite ourbe
en lohe ou ourbe de Gauss.
Aymar de Saint-Seine
Année scolaire 2011–2012
1.
Un exemple de variable aléatoire ontinue
1.1. Notion de ontinuité
Nousavonsétudiépourl'instantuniquementdesvariablesaléatoirespouvantprendredes
valeurs isolées, surtout des nombres entiers. Cependant, on est souvent amené dans les
domaines industriels et éonomiques à étudier des variables aléatoires pouvant prendre,
au moinsthéoriquement,n'importe quelle valeur dans R oudans un intervallede R. On
peut iter ommeexemples :
•
les dimensionsd'un objet;•
la duréede vied'un matériel;•
une distane parourue;•
une quantité de matièreou une masse.Dans e as, les évènements que l'on étudie sont dénis par des inéquations et non des
équations.
Exemples :
• (X > 20, 54)
signieX ∈ [20, 54; + ∞ [
.• ( − 5, 7 < X 6 15, 9)
signieX ∈ ] − 5, 7; 15, 9]
.• (X < 0)
signieX ∈ ] − ∞ ; 0[
.Les évènements du type
(X = 170, 48)
ou(X = − 5)
ne sont pas intéressants ar on peut estimer que leurs probabilités sont nulles. Par exemple, en interprétant lapremièreégalitéave latailled'un individu,onpeut onsidérerquela probabilitéqu'une personne
ne mesureexatement 170,48 m.
1.2.
Fontion de répartition
Lafontion derépartition delavariablealéatoireétudiéesera alorsessentielle.Tradition-
nellement notée
F
, elleest justement dénieparF (a) = P (X 6 a)
pour
a
dans l'intervallede dénition deX
.Exemples :
• P (X 6 0) = F (0)
;• P ( − 5, 7 < X 6 15, 9) = F (15, 9) − F ( − 5, 7)
;• P (X > 20, 54) = 1 − F (20, 54)
.On peut noter que les bornes n'ont auune importane, la probabilité d'un évènement
pontuelétantnulle.
1.3.
Densité de probabilité
La fontionde répartition est souvent donnée par une intégrale.Étudionspar exemple la
variablealéatoire
X
dont lafontion de répartition est
∀ x < 0 F (x) = 0 ;
∀ x > 0 F (x) = Z x
0
0, 002e −0 , 002 t dt.
Lafontionintervenantdansetteintégrale,notée
f
,estappeléedensité de probabilité de la variableX
.La fontion de répartitionF
est en fait une primitivedef
.Théorème 1 :
Si
a
etb
sont deux réels de l'ensemble de dénition deX
, alorsP (a 6 X 6 b) = F (b) − F (a) =
Z b a
f (t)dt.
Remarque : La probabilité de l'univers, 'est à dire de R ou de l'intervalle de R étudié
est forément égale à 1. Ainsi, pour une variable aléatoire dénie sur R, sa densité de
probabilité doit vérier
Z +∞
−∞
f (t)dt = 1.
On peut vérier ette propriété en étudiant séparément
R x
0 f(t)dt
etR 0
x f (t)dt
puis leurslimites respetivesquand
x
tend vers+ ∞
et−∞
.Théorème 2 :
L'espérane mathématique d'une variable aléatoire
X
dénie par une densité deprobabilité est donnée par la formule
E(X) = Z +∞
−∞
tf (t)dt.
2. Lois normales
2.1. Généralités
Définition 1 :
On dit qu'une variablealéatoire
X
suit laloi normaleN (m; σ)
de paramètresm
etσ
lorsque sa densité de probabilité est la fontionf
dénie parf (t) = 1 σ √
2π e
− 1
2
t − m σ
2
.
Théorème 3 :
On admet que si
X
est une variable aléatoire suivant laloi normaleN (m; σ)
alorsE(X) = m
etσ(X) = σ.
Ainsi les paramètres d'uneloi normale sonten fait son espérane mathématique et
son éart-type.
2.2.
Loi normale entrée réduite
N (0; 1)
Définition 2 : Loi normale centrée réduite
La loinormale laplus simpleest ellede moyenne
m = 0
et d'éart-typeσ = 1
. Onl'appelle loi normale entrée réduite.
Sa fontion de répartitionest souvent noté
Π
.Lesvaleursde lafontionde répartition,souventnotée
Π
,d'unevariablealéatoiresuivantetteloisontdonnées dansleformulaire.Envoiiun extraitpour omprendrelaméthode
de leture:
t
0,05 0,06 0,071,1 0,8749 0,8770 0,8790
1,2 0,8944 0,8962 0,8980
1,3 0,9115 0,9131 0,9147
Le nombre situé à l'intersetion de la olonne 0,06 et de la ligne 1,3 est la valeur de la
fontion de répartition de
X
pourt = 1, 3 + 0, 06 = 1, 36
. AinsiΠ(1, 36) = P (X 6 1, 36) = 0, 9131.
Théorème 4 :
Le formulaire ne donne les valeursde
Π(t)
que pourt
positif.Comme la densité de probabilité de la loi normale entrée réduite est une fontion
paire,on a :
Π( − t) = P (X < − t)
= P (X > t)
= 1 − P (X < t)
= 1 − Π(t).
Théorème 5 :
On déduitde laproposition préédente que
P ( − t < X < t) = P (X < t) − P (X < − t)
= Π(t) − Π( − t)
= Π(t) − (1 − Π(t))
= 2Π(t) − 1
2.3. Utilisation de la loi normale entrée réduite
La loi normale entrée réduite est essentielle ar toutes les autres lois normales peuvent
s'y ramener. C'est e qu'armele théorème suivant.
Théorème 6 :
Si une variable aléatoire
X
suit la loi normaleN (m; σ)
de moyennem
et d'éart-type
σ
alors lavariable aléatoireY = X − m σ
suit la loi normale entrée réduite
N (0; 1)
.C'estpour etteraisonqueleformulairenedonnequelesvaleursdelaloinormaleentrée
réduite.
Exerie résolu 1 :
Unevariable
X
suit laloinormalede paramètresm = 12
etσ = 3
.CalulerP (X < 16)
et
P (9 < X < 15)
.Solution : On pose
Y = X − σ m = X −12 3
.Selonlethéorème,Y
suitlaloinormaleentréeréduite.
L'événement
X < 16
est alors équivalent àY < 16 − 12
3 = 4
3
donP (X < 3) = P (Y <
1, 33) = Π(1, 33) = 0, 908 2
.L'événement
9 < X < 15
est alors équivalent à− 1 < Y < 1
, donP (9 < X < 15) = P ( − 1 < Y < 1)
= Π(1) − Π( − 1)
= Π(1) − (1 − Π(1))
= 2Π(1) − 1
= 0, 682 6.
2.4.
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Théorème 7 :
Si
n
est grand etp
est assez éloigné de 0 et 1 alors la loi binomialeB (n; p)
peutêtre approhée par la loi normale
N (m; σ)
, oùm = np
etσ = p
np(1 − p)
.L'intérêt de ette approximation est d'éviter d'eetuer des aluls etde pouvoir utiliser
latablede laloinormaleentréeréduite.Dansetteproposition,lesonditionsde validité
de l'approximationne sont pas àretenir,seuls lesparamètres de laloinormale utiliséele
sont.
3.
Exeries
3.1.
Variables aléatoires ontinues
12.1
Le but de et exerieest d'étudier lafontionf
déniesur R parf : t 7→ 1
√ 2π
e
− t2
2
qui sera essentielle lorsde toute hapitre de probabilités.
1
. Étudier laparité def
etinterpréter graphiquement lerésultat.2
. Calulerf (0)
.3
. Déterminer la limite def
en+ ∞
. Endéduire la limite en−∞
d'après la question1.
4
. Étudier les variations def
sur[0; + ∞ [
.En déduire lesvariationsdef
sur] − ∞ ; 0]
d'après laquestion 1.
5
. Traer lareprésentation graphiquedef
sur[ − 5; 5]
àl'éhelle10 mpour une unitéen ordonnée et1 mpour une unité en absisse.
6
. Caluler une valeur aprohée deZ 4 0
f(t)dt
. En déduire une valeur approhée deZ 4
−4
f (t)dt.
7
. Quelle semble être l'aire totale ompriseentre l'axe des absisses etla ourbe?12.2
SoitX
la variable aléatoiredont la fontionde répartition est
∀ x < 0 F (x) = 0 ;
∀ x > 0 F (x) = Z x
0
0, 002
e−0 , 002 t dt.
On note
f : t 7→ 0, 002
e−0,002t
ladensite de probabilitédeX
.1
. Construire la représentation graphique de la fontionf
sur l'intervalle[0; 1500[
, àl'éhelle 5 mpour 0,001 en ordonnée et1 mpour 100 en absisse.
2
. Caluleret représenter graphiquementles probabilités• P (X 6 400)
;• P (X > 1000)
;• P (450 < X 6 1200)
.3.2.
loi normale
12.3
Représenter graphiquement les densités de probabilités des lois normalesN (0; 1)
et
N (1; 2)
.12.4
Déterminer grâe à la table de la fontion intégrale de la loi entrée réduite les probabilités suivantes. On les exprimeraauparavantà l'aide de la fontionΠ
.1
.P (X 6 1, 27)
;2
.P (X > 0, 84)
;3
.P (X 6 − 1, 58)
;4
.P (0, 25 6 X 6 1, 25)
;5
.P ( − 0, 93 6 X 6 0, 93)
.12.5
ExprimerP (t 1 6 X 6 t 2 )
,P (X 6 − t)
etP ( − t 6 X 6 t)
àl'aidede lafontionΠ
.12.6
UnevariablealéatoireX
suitlaloinormaleN (20; 5)
.Caluler, enutilisantlatabledu formulaire:
1
.P (X 6 28)
;2
.P (X > 28)
;3
.P (X > 20)
;4
.P (X > 12)
;5
.P (12 6 X 6 28)
.12.7
Une variable aléatoireX
suit la loi normaleN (20; 5)
. Déterminer, en utilisant la table du formulaire,le nombre réela
dans lesas suivants:1
.P (X 6 a) = 0, 99
;2
.P (X > a) = 0, 05
;3
.P (X > a) = 0, 9
;4
.P (20 − a 6 X 6 20 + a) = 0, 95
.12.8
UnevariablealéatoireX
suit laloinormaleN (m; 0, 1)
.Déterminerlenombreréelm
dans les as suivants :1
.P (X > 2, 2) = 0, 05
;2
.P (X > 2, 2) = 0, 9
.12.9
La variable aléatoireX
suit la loi normaleN (2; σ)
. Déterminer le nombre réelσ
dans les as suivants :
1
.P (X 6 2, 2) = 0, 9
;2
.P (1, 8 6 X 6 2, 2) = 0, 9
.12.10
On admetquelavariablealéatoireX quiassoieàtouteampouleéletriqued'un type donné sa durée de vie, mesurée en heures, suit une loinormale de paramètresm
etσ
. Détermineres paramètres sahant que:P (X > 1100) = 0, 9332
etP (X 6 1600) = 0, 8413
.12.11
Uneentreprisede transport aun par totalde 150 amions.On désigneparX
lavariablealéatoirequi,àhaqueamionhoisiauhasarddanslepar,assoieladistaneen
kilomètres qu'il a parourue dans une journée. Une étude statistique permet d'admettre
que ette variable aléatoire
X
suit la loi normale de moyenne 120 et d'éart-type 14.Déterminerà
10 −4
prèslaprobabilitéqu'un amionparoureune distane ompriseentre 110 et 130 kilomètres.12.12
Un atelier produit des joints qui assurent l'étanhéité du palier d'arbre d'entrée d'un réduteur de vitesse.La variable aléatoire
X
qui assoie à tout joint pris au hasard sa durée de vie expriméeen heures suit laloi normalede moyenne 970 et d'éart-type 200.
1
. Déterminer laprobabilité qu'un joint pris auhasard dans la prodution de l'atelier ait une duréede vie ompriseentre 720 et 1000 heures.2
. Déterminer laprobabilité qu'un joint pris auhasard dans la prodution de l'atelier ait une durée de vie inférieure à 620 heures. Caluler le nombre présumé de telsjoints,jugés défetueux, dans un ensemblede 500 joints.
12.13
A haque personne vivant en Frane on assoie le temps qu'elle passe devant la télévision en une semaine, exprimé en heures. Une étude a montré que lamoyenne de lavariablealéatoire
X
ainsidénieestm =
20,3etquesonéart-typeestσ =
9,7.Onadmetque lavariablealéatoire
X
,dénie sur[0; + ∞ [
suit sur et intervalleune loinormale.1
. Quelleestlaprobabilitéqu'unepersonnehoisieauhasardregardemoinsde1heure de télévisionpar semaine?2
. Quelle est la probabilité qu'une personne hoisie au hasard regarde moins de 20,3 heures de télévision par semaine?3
. Quelle est laprobabilité qu'une personne hoisie auhasard regardeentre 10 heures et 30heures de télévision par semaine?4
. On onsidère qu'une personne est aro à la télévision si elle regarde plus de 35 heuresparsemaine.Quelleestlapartdelapopulationatteintedeettedépendane?5
. En onsidérant qu'il y a 60 000 000 habitants en Frane, aluler le nombre de personnes regardantla télévision•
moins de 1 heure par semaine;•
moins de 20,3 heures par semaine;•
entre 10 et30 heurespar semaines;•
plus de 35 heures.12.14
Un fabriant de matériel Hi-Fi produit des leteurs de CD. A haque leteur CD hoisi au hasard parmi la prodution on assoie sa durée de vie en semaines. Uneétude statistiquea permisd'admettrequelavariablealéatoire
X
ainsi déniesuitune loinormale de moyenne 150 etd'éart-type70.
1
. Quelleestlaprobabilitéquel'appareilfontionnependantplusde5ans?Cematériel étant garanti 1 an, quelle la probabilité qu'il tombe en panne au ours de ettepériode?
12.15
Une mahine fabrique des pièes. On désigne parX
la variable aléatoire qui àhaquepièe priseauhasard assoiesalongueur
x
.On suppose queX
suit laloinormalede moyenne
m = 54
etd'éart-typeσ =
0,2.Une pièeest onsidérée ommedéfetueusesi
x
est inférieure à53, 6
ou supérieureà54, 3
.1
. Calulerla probabilitép
qu'une pièe soit défetueuse.2
. Pour vérier que la mahine ne s'est pas déréglée, on détermine des otes d'alertem − h
etm + h
déniesparP (m − h 6 X 6 m + h) = 0, 95
.Déterminerunevaleurapprohée de
h
.12.16
On ajoute duSO 2
dans un vin pour le protéger d'une part des attaques deslevures et des batéries, d'autre part de l'oxydation.
Aprèsembouteillage,onprélèvedeséhantillonsde50bouteillessurlahained'embouteil-
lage et ondose dans haque bouteille laonentration en
SO 2
libre quisera exprimée enmg.L −1
.La prodution étant très importante, on assimile e prélèvement à un prélèvement non
exhaustif. Voiiles résultatsdu dosage de
SO 2
dans un éhatillon.Conentration Nbde bouteilles
[20; 20, 2[
3[20, 2; 20, 4[
9[20, 4; 20, 6[
20[20, 6; 20, 8[
13[20, 8; 21[
51
. Donner des valeurs approhées à10 −3
près de lamoyennem
etde l'éart-typeσ
deet éhantillon.
2
. Ahaqueprodutionobtenue aprèsavoirajoutéduSO 2
onassoielaonentration enSO 2
libre. On dénitainsi une variablealéatoireX
.On admet queX
suit leloinormalede moyenne
20, 5 mg.L −1
etd'éart-type0, 2 mg.L −1
.On estime que le vin est impropre à la onsommation si la onentration en
SO 2
libre est supérieure ouégale à
20, 9 mg.L −1
.Quel est, à
1%
près, sous es hypothèses, le pourentage de bouteillesimpropres à la onsommation?12.17
A haque trajet en train d'un voyageur, on assoie la diérene entre l'heure d'arrivée prévue et l'heureeetive, dénissant ainsi une variable aléatoireX
. On admetque
X
suit une loi normalede moyennem = 5
etd'éart-typeσ = 1, 2
.1
. Quelle est la probabilité quele train soitàl'heure ouen avane?2
. Le voyageur peut bénéier d'un remboursement partiel si le retard à l'arrivée est supérieur à 30minutes. Quelleest laprobabilité que et évènement se produise?3
. Auoursd'uneannée,levoyageuraeetué150trajets.Calulerlenombrethéorique de retardssupérieurs à30 minutes etde trainsarrivant àl'heure ouen avane.12.18
Unemahine fabriquedes pièesdeformeirulaireen série.A haquepièetirée auhasard,onassoieson diamètrex
expriméenmillimètres.Ondénitainsiune variable aléatoireX
. On suppose queX
suit la loi normale de moyennem = 32
et d'éart-typeσ = 1
(en mm).1
. Pour être utilisable, une pièe doit satisfaire à la norme suivante :31 6 x 6 33
.Quelle est la probabilité
p
qu'une pièe soitutilisable?2
. Leoût moyen de fabriationd'unepièe est notéf
.Dans un lotde 100 pièesfab-riquées dontleoût defabriationestdon
100f
,100p
d'entre elles sont utilisables; il en résulte quele prix moyenM
de fabriationestM = 100f 100p = f
p .
a
. Calulerle prixmoyen de fabriation ave la mahine préédente sif = 10, 8
euros.
b
. Pour diminuer le pourentage de pièes défetueuses, ou pourrait utiliser une mahineplusmoderne:l'éart-typeseraitde 0,5mmetX
suivraitalorsuneloinormale
N (32; 0, 5)
,maisleoût defabriationf 2
seraitalorsde 12eurospourette nouvelle mahine. Caluler, pour ette nouvelle mahine, la probabilité
p 2
qu'une pièe soitutilisable.c
. Déterminer le prix moyen de fabriationM 2
pour ette nouvelle mahine. Endéduirela mahineque l'on aurait intérêt à utiliser.
3.3.
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
12.19
On jettedix foisde suite une pièe de monnaieéquilibrée.On noteX
la variablealéatoirequi à haque partie assoiele nombre d'apparitionsdu té fae obtenu.
1
. Justier quelaloi de probabilitésuiviepar lavariable aléatoireX
est une loi bino-miale donton préisera les paramètres.
2
. Caluler la probabilité de l'événementE
: Le nombre d'apparitions du té fae est omprisentre 3 et 6inlus.3
. On déide d'approher laloide la variablealéatoiredisrèteX
par une loinormalede paramètres
m
etσ
.a
. Déterminerles valeurs appropriées dem
etσ
.b
. Enutilisantl'approximation,alulerde nouveau laprobabilitéP (E)
.4
.a
. Traer le diagramme en bâtons de la fontion qui àt
assoieP (X = t)
enutilisant une éhelle onvenable.
b
. Sur le graphiquepréédent, représenter la densitéde probabilité de la loinor- maleN (m; σ)
.Que onstate-t-on?12.20
Une usine fabrique en grande quantité un ertain type de pièes. La probabilité qu'une pièe prélévée au hasard dans la prodution d'une journée soit défetueuse estp = 0, 07
.Onprélèveauhasard250
pièesdanslaprodutiond'unejournée.Laprodutionest assezimportantepourqu'on puisseassimilere prélèvementàuntirageave remisede
250
pièes. On noteX
la variablealéatoirequi, àtout prélèvement de250
pièes,assoiele nombre de pièes défetueuses.
1
. Expliquer pourquoiX
suit une loibinomialedont onpréisera les paramètres.2
. On déide d'approher la loi de la variable aléatoire disrèteX
par la loi normalede paramètres
m = 17, 5
etσ = 4, 03
.On noteY
la variable aléatoiresuivant laloinormale
N (17, 5; 4, 03)
.a
. Justierles valeurs dem
etσ
.b
. Calulerla probabilitéqu'il y aitau plus20
pièes défetueuses.c
. Calulerla probabilitéque le nombre pièes défetueuses soitompris ausens large entre15
et20
('est à direP (14, 5 6 Y 6 20, 5)
).3.4. Annales
12.21
Frane 2011 - Groupement APartie A
Unesoureémet un signalbinaireomposéde aetde 1.Lors du transport, lesignalpeut
être déformé. Un
0
peut être transformé en1
ave une probabilité0, 1
et, de même, un1
peut être transforméen
0
ave une probabilité0, 1
.Pour toutelasuite, dans une série de hires, onlitde gauhe àdroite, lepremierhire
envoyé étant don elui érit le plus àgauhe.
On envoie lesignal 00.
On admet que les erreurs de transmission sont des évènements aléatoires indépendants
les uns des autres.
On onsidère lesévènements suivants :
• E 1
: les deux hires sont modiés• E 2
: le premierhire est modié mais pas le deuxième• E 3
: auun hiren'est modié• E 4
: au moinsun des hires est modiéPour haque armation, une seule des propositions est exate. Le andidat portera sur
sa opie, sans justiation, le numéro de laquestion suivi de laréponse hoisie.
Une bonne réponse rapporte
0, 5
point, une réponse inorrete ou l'absene de réponsen'enlève pas de point.
1
. La probabilité de l'évènementE 1
est égale à :•
0,01•
0,99•
0,09•
0,812
. Si l'évènementE 2
est réalisé, lesignal reçu est :•
00•
01•
10•
113
. La probabilité de l'évènementE 2
est égale à :•
0,19•
0,81•
0,09•
0,904
. La probabilité de l'évènementE 3
est égale à :•
0,01•
0,99•
0,09•
0,815
. La probabilité de l'évènementE 4
est égale à :•
0,19•
0,20•
0,11•
0,91Partie B
1
. On onsidèrel'expérienealéatoireonsistantàémettreunehaîneonstituéede 10 fois lehire1età observer lahaînereçue. OnappelleX
la variablealéatoirequi,àhaque haîneainsireçue,assoielenombred'erreursde transmission,'est-à-dire
le nombre de
0
obtenus.On rappelleque laprobabilité qu'un hiresoitmal transmisest
0, 1
.a
. On admet quela variable aléatoireX
suit une loi binomiale.Préiserles paramètres de ette loi.
b
. Calulerà0, 001
près laprobabilité qu'ilyaitexatementune erreurde trans- mission.c
. Montrer que la probabilité qu'il y ait au plus une erreur de transmission est égale à0, 74
à0, 01
près.2
. Estimant que la qualité des transmissions n'est pas assez bonne, les tehniiens proèdent à quelques réglages an de réduire les bruits à l'origine des erreurs.Laprobabilitéqu'un hiresoitmaltransmisdevraitainsiêtre fortementdiminuée.
Eetivement, à l'issue des réglages, on onstate que la proportion de hires mal
transmis est égale à
0, 002
.a
. On appelleY
la variable aléatoire égale au nombre de hires mal transmisdans une haîne de 1000 hires.
On onsidère que lavariablealéatoire
Y
suit une loi de Poisson de paramètreλ
.Justier que
λ = 2
.b
. Caluler à0, 001
près la probabilité qu'il y ait au moins une erreur de trans- missionparmi les 1000 hires envoyés.Partie C
La transmission des hires binaires est assurée par un signal életrique arré. Les im-
pulsions supérieuresà 2 voltsreprésentent le hire
1
, les autres lehire0
. Ne pouvantanerdavantage leursréglages,lestehniiensadmettentqueleserreurs de transmission
restantes sont duesàun bruit aléatoire.Celui-iest modélisépar un signalde tension
aléatoire
U
, exprimée en volts. On admet queU
suit une loi normale de moyenne0
etd'éart type
σ
.1
. Pour envoyer les hires 1, on envoie des impulsionsde 4 volts. Ces dernières sont modiées par le bruitaléatoire. Latension reçueest ainsi égale à4 + U
.Dans ette question, on suppose que
σ = 0 , 7
.a
. Montrer que la probabilité que ette tension représente lehire 1 est égale à laprobabilité queU
soit supérieureà− 2
.b
. Calulerette probabilité à0, 001
près.2
. Quelle ondition doit-on imposer à l'éart typeσ
pour que la proportion d'erreursde transmissiond'un hire
1
soitinférieureà 0,1%, 'est-à-dire pour que :p(U < − 2) < 0, 001?
Dans ette question toute trae de reherhe même inomplète ou non aboutie sera
prise en ompte.
12.22
Frane 2009Cet exerie se ompose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l'une
de l'autre.
On s'intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d'une grande entreprise, provenant
de lients dispersés sur le réseau Internet.
La réeption de trop nombreuses requêtes est suseptible d'engendrer des problèmes de
surharge du serveur.
Partie A
Dans ettepartie,on s'intéresse aunombrede requêtes reçuespar leserveur, auours de
ertaines durées jugées ritiques.
On désigne par
τ
un nombre réel stritement positif. On appelleX
la variable aléatoirequi prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervallede
temps de durée
τ
(expriméeen seondes). La variablealéatoireX
suit une loide Poissonde paramètre
λ = 500τ
.1
. Dans ette question,on s'intéresse auas oùτ = 0, 01
.a
. Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête auours d'une duréeτ
de 0,01 s.b
. En expliquant votre démarhe, déterminer le plus petit entier natureln 0
telque
p (X > n 0 ) < 0, 05
.2
. Dans ette question, on s'intéresse au as oùτ = 0, 2
. On rappelle que la loi dePoisson de paramètre
λ = 100
peut être approhée par la loi normale de moyenneµ = 100
etd'éart typeσ = 10
. Enutilisantette approximation, aluler:a
. laprobabilitéP (X > 120)
;b
. une valeur approhée du nombre réel positifa
tel queP (100 − a 6 X 6 100 + a) = 0, 99
.Partie B
Dans ette partie,on onsidère :
•
d'une part, que la probabilité pour le serveur de onnaître des dysfontionnements importantsauours d'une journée donnée estp = 0, 01
;•
d'autre part, que des dysfontionnements importants survenant au ours de journées distintes onstituent des évènements aléatoiresindépendants.1
. On appelleY
la variablealéatoire orrespondant aunombre de jours où le serveur onnaît des dysfontionnements importantsau ours d'un mois de 30 jours.a
. On admet quela variable aléatoireY
suit une loi binomiale.Préiserles paramètres de ette loi.
b
. Caluler,à10 −3
près, laprobabilitéqueleserveur onnaisse auplus2joursde dysfontionnements importantspendant un mois.2
. On appelleZ
la variable aléatoire orrespondant au nombre de jours où le serveur onnaît des dysfontionnements importantsau ours d'une annéede 365 jours.a
. Donner, sans justiation, la loide probabilité de lavariable aléatoireZ
.b
. Donner l'espéranemathématique etl'éart type de lavariablealéatoireZ
.Partie C
Dans ette partie.on s'intéresse àla duréeséparant deux requêtessuessivesreçues par
le serveur.
On appelle
T
la variablealéatoirequi prendpour valeurs lesdurées(exprimées en seon-des) séparant l'arrivée de deux requêtes suessives sur leserveur.
1
. On désigne part
un nombre réel positif. La probabilité queT
prenne une valeurinférieure ouégale à
t
est donnée par :p(T 6 t) = Z t
0
500
e−500x
dx
.a
. CalulerP (T 6 t)
en fontion det
.b
. Endéduirelavaleurdet
pour laquelleP (T 6 t) = 0, 95
.Ondonnera lavaleurexate puis une valeur approhée au millièmede seonde.
2
.a
. Caluler, à l'aided'une intégration par parties,l'intégraleI (t) = Z t
0
500x
e−500 x
dx.
b
. Déterminerla limitem
deI(t)
quandt
tend vers+ ∞
.Lenombre
m
estl'espéranemathématiquedelavariablealéatoireT
.Ilreprésenteladurée moyenne séparant laréeption de deux requêtes suessives.
Commentaire :
Ce modèle, très simple, intéresse les onepteurs de systèmes d'information ou de télé-
ommuniation ar il fournit des évaluations de ertaines performanes d'un système, en
partiulier au sens du sénario du pire des as.
12.23
Frane 2006Les diérentes parties de et exerie sont indépendantes.
Partie A
Une entreprise produit,en grande quantité, des appareils.Chaque appareilfabriqué peut
présenter deux défauts que l'on appellera défaut
a
et défautb
.On prélève un appareil auhasard dans laprodution d'unejournée.
On note
A
l'événement: l'appareilprésenteledéfauta
etB
l'événement:l'appareil présente le défautb
.Les probabilités des événements
A
etB
sontP (A) = 0, 03
etP (B) = 0, 02
; on supposeque es deux événements sont indépendants.
1
. Caluler la probabilité de l'événementE 1
: l'appareil présente le défauta
et ledéfaut
b
.2
. Caluler la probabilité de l'événementE 2
: l'appareil est défetueux, 'est-à-dire qu'il pr±ente aumoins un des deux défauts.3
. Calulerla probabilité de l'événementE 3
: l'appareilne présenteauun défaut.4
. Sahantquel'appareilestdéfetueux, quelleestlaprobabilitéqu'ilprésentelesdeux défauts?Le résultat sera arrondi au millième.
Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au entième.
Partie B
Les appareils sont onditionnés par lots de
100
pour l'expédition aux distributeurs de pièes détahées. On prélève au hasard un éhantillon de100
appareils dans la produ-tion d'unejournée. La produtionest susamment importantepour que l'on assimile e
prélèvementà un tirage ave remisede
100
appareils.Pour ette partie, on onsidère que, à haque prélèvement, la probabilité que l'appareil
soit défetueuxest
0, 05
.On onsidère lavariablealéatoire
X 1
qui,à tout prélèvement de100
appareils, assoielenombre d'appareils défetueux.
1
.a
. Justier que la variable aléatoireX 1
suit une loi binomiale dont on préiseralesparamètres.
b
. Donner l'espéranemathématique de la variable aléatoireX 1
.2
. Onsupposequel'onpeutapproherlaloideX 1
paruneloidePoissonde paramètreλ
.a
. On hoisitλ = 5
; justiere hoix.b
. Enutilisantetteloide Poisson,alulerlaprobabilitéqu'ilyaitauplusdeux appareilsdéfetueux dans un lot.Partie C
Les appareils sont aussi onditionnés par lots de
800
pour l'expédition aux usines de montage.On prélèveauhasardun lotde800
appareils. Ononsidère lavariablealéatoireX 2
qui,àtoutprélèvementde800
appareils, assoielenombre d'appareilsdéfetueux. On déide d'approher laloi de lavariable aléatoireX 2
par laloi normalede moyenne40
etd'éart-type
6, 2.
1
. Déterminer laprobabilité qu'ily aitauplus 50 appareilsdéfetueux dans lelot.2
. Déterminer leréelx
tel queP (X 2 > x) = 0, 01
.En déduire, sans justiation, leplus petit entier
k
telque la probabilité que lelot omporte plus dek
appareilsdéfetueux soitinférieure à0, 01
.12.24
Frane 2004 - IRISLes questions
1
,2
et3
peuvent être traitées indépendammentl'une de l'autre.Une entreprise fabrique des pièes. Ces pièes sont onsidérées omme onformes si leur
longueur est ompriseentre
79, 8
mmet80, 2
mm.1
. On noteL
lavariablealéatoirequi,àhaquepièe fabriquée,assoiesalongueur enmm.
On admet que la variable
L
suit une loi normale de moyenne80
et d'éart type0, 0948
.On prélève une pièe auhasard dans la prodution.
Déterminer, enutilisantlatablede laloinormaleentrée réduite,laprobabilitéque
ette pièe soitonforme.
2
. On admetque sionprélève,auhasard,une pièedans laprodution, laprobabilité que ette pièe ne soitpas onforme,estp = 0, 035
.a
. On noteX
, lavariablealéatoirereprésentant lenombre de pièesdéfetueuses dans un lot de100
pièes. Les pièes sont prélevées auhasard et le tirage estassimiléà un tirage ave remise.
Justierque
X
suit une loi binomialede paramètren = 100
etp = 0, 035
.b
. Le tableau i-dessous, donne la probabilité des événements "X = k
" pourk
variantde
0
à9
, àl'exeption de l'événement "X = 2
".k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P (X = k) 0, 0284 0, 1029 0, 2188 0, 1924 0, 1340 0, 0770 0, 0375 0, 0158 0, 0059
On onsidère les événements :
A
:"le nombre de pièes défetueuses du lot est égal à2
";B
:"le nombre de pièes défetueuses du lot est au moinségal à2
".Caluler
P (A)
audix millièmeprès, puisP (B)
au millièmeprès.c
. Un lot de100
pièes est envoyé à un lient, le lot est aepté s'il ontient auplus
4
pièesdéfetueuses.En utilisant le tableau i-dessus, déterminer au millième près, la probabilité
que lelientrefuse e lot.
d
. Enutilisantletableaui-dessus,déterminerlapluspetitevaleurentièren
telleque :
P (X > n) < 0, 03
3
. L'entreprisesouhaiteaméliorerlaqualitéde laprodution. Pour elaonprojettede hanger le proessusde fabriationdes pièes.On dénit alors une nouvelle variable
L 1
qui à haque pièe à onstruire selon lenouveau proessus assoiera sa longueur en mm.
Lavariablealéatoire
L 1
suit uneloinormalede moyennem = 80
etd'éarttypeσ ′
.Déterminer
σ ′
pour que,en prenantune pièe auhasarddans lafuture prodution,la probabilitéd'obtenir une pièe onformesoitégale à
0, 99
.1 Un exemple de variable aléatoireontinue . . . 1
1.1 Notion de ontinuité . . . 1
1.2 Fontion de répartition . . . 1
1.3 Densité de probabilité . . . 1
2 Loisnormales . . . 2
2.1 Généralités . . . 2
2.2 Loi normaleentrée réduite
N (0; 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Utilisation de la loinormaleentrée réduite . . . 3
2.4 Approximation d'uneloi binomialepar une loinormale . . . 4
3 Exeries. . . 4
3.1 Variablesaléatoiresontinues . . . 4
3.2 loi normale . . . 5
3.3 Approximation d'uneloi binomialepar une loinormale . . . 9
3.4 Annales . . . 9