Contre-exemple dans le théorème limite central pour les champs aléatoires réels

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Contre-exemple dans le théorème limite central pour les champs aléatoires réels

Mohamed El Machkouri, Dalibor Volny

To cite this version:

Mohamed El Machkouri, Dalibor Volny. Contre-exemple dans le théorème limite central pour les champs aléatoires réels. Annales de l’Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques, Institut Henri Poincaré (IHP), 2003, 39 (2), pp.325-337. �hal-00488689�

les hamps aléatoires réels

Mohamed EL MACHKOURI, Dalibor VOLNÝ

Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR CNRS 6085, Université de Rouen

mohamed.elmahkouriuniv-rouen.fr

dalibor.volnyuniv-rouen.fr

11 Mai 2003

Abstrat

We onsiderthe ergodidynamialsystem (Ω,F, µ, T) ^{with positive entropy}

where Ω ^{is a Lebesgue spae,} µ ^{is a} probability measure and T ^{is a measure}

preserving Z^d-ation. We show that for any nonnegative real p^{, there is a real}

funtionf ∈L^p(Ω)^andaolletionA^{ofregular Borelsetsof}[0,1]^{d satisfyingan}

entropyonditionwithinlusionsuhthat(f◦T^k)_k∈Zd ^{isastationarymartingale}

dierenerandom eld but doesnot satisfythefuntional entral limit theorem

(orinvariane priniple)withregardto the family A^.

Keywords: martingaledierenerandomeld,metrientropy,funtionalentral

limittheorem, invariane priniple.

Résumé

Nousonsidéronslesystèmedynamiqueergodiqued'entropiestritementpos-

itive(Ω,F, µ, T)^oùΩ^{estunespaedeLebesgue,}µ^{estunemesurede}probabilité etT ^{estune ation de} Z^d. Nous montrons que pour toutréel p ^{positif, il existe}

uneappliation réellef ∈L^p(Ω)^etunefamille A ^{deboréliens réguliersde} [0,1]^d

vériantuneonditiond'entropiemétriqueaveinlusiontellesquelehampaléa-

toirestationnaire (f ◦T^k)_k∈Zd ^{soitde type} aroissement d'une martingalemais nesatisfassepaslethéorèmeentral limitefontionnel (oupriniped'invariane)

relativement à lalasseA^.

théorèmeentral limitefontionnel, prinipe d'invariane.

1 Introdution

Considéronsle système dynamique (Ω,F, µ, T)^où Ω^{est un espae de Lebesgue,} µ^est

une mesurede probabilitéet T ^{est une ation de} Z^d préservant la mesure µ^{(i.e. pour}

tousélémentsi^etj ^dansZ^d,T^{i et}T^{j sontdes}transformationsmesurablespréservantla mesure,déniesdeΩ^dansΩ^tellesqueTⁱ◦T^j =T^{i+j). Onappellehampaléatoireréel}

toute famille (X_k)_k∈Z^{d de variables aléatoires réelles dénies sur l'espae} probabilisé

(Ω,F, µ) ^{et on dit que} (X_k)_k∈Z^{d est} stationnaire si pour tout (k, n) ∈ Z^d × N^∗ et tout (i1, ..., in)∈Z^nd, lesveteurs (Xi1, ..., Xin) ^et(Xi1+k, ..., Xin+k) ^{ont mêmeloi. Un}

élément A ^{de la tribu} F ^{est dit invariant si pour tout élément} k ^de Z^d, T^k(A) = A

presquesûrement(p.s.). On noteI ^{la tribudes élémentsinvariantsde} F ^etonditque µ^{est ergodiquesi toutélément}A ^de I ^{est de mesure0ou1. On ditqu'unesous-tribu} M ^de F ^{est une tribu} T-invariante si pour tout élément k ^de Z^d, on a T^kM = M^.

Soit A ⊂ B([0,1]^d) ^{une olletion de boréliens de} [0,1]^{d, nous dirons qu'un élément} A

de A^{est réguliersi}λ(∂A) = 0 ^oùλ ^{est lamesure de Lebesgue sur}R^d. On munit A ^de

lapseudo-métrique d ^{déniepour tous éléments}A ^et B ^de A ^par d(A, B) = λ(A∆B)^.

On noteraC(A)^{l'espaevetorieldes fontions réellesontinues sur} A ^{quel'on munit}

de lanorme maximale déniepour toutef ∈C(A)^{, par}

||f||^A= sup

A∈A|f(A)|. (C(A),||.||^A)^{est alors un espae de Banah.}

Soit X = (Xk)_k∈Z^{d un hamp aléatoire réel} stationnaire. Le proessus de sommes partielles assoié à X ^{que l'on onsidère est déni pour tout} A ∈ A ^{et tout entier} n≥1^,par

Sn(A) = X

i∈{1,...,n}^d

λ(nA∩Ri)Xi

oùpour tout i= (i1, ..., id)∈Z^d,Ri =]i1−1, i1]×...×]id−1, id]^.

Pour ontrler la taille de la lasse A^{, on utilise} lassiquement l'entropie métrique : pourtoutǫ >0^{,onappelleentropiemétriquede}A^etonnoteH(A, d, ǫ)^{,lelogarithme}

népérienduplus petitnombredeboulesouvertes(pour lapseudo-métriqued^)derayon ǫ ^{néessaires pour reouvrir} A^.

Une notionplus strite est elle d'entropie métrique ave inlusion: pour tout ǫ > 0^,

on suppose qu'il existe une olletion nie A(ǫ) ^{de boréliens de} [0,1]^{d telle que pour}

tout A ∈ A^{, il existe} A⁻, A⁺ ∈ A(ǫ) ^{tels que} A⁻ ⊂ A ⊂ A^{+ et} d(A⁻, A⁺) ≤ ǫ^{. On}

appelle entropie métrique ave inlusion et onnote H(A, d, ǫ)^{, le logarithme népérien}

du plus petit ardinald'une telle olletion.

Notons que pour tout ǫ > 0^, H(A, d, ǫ) ≤ H(A, d, ǫ)^{. D'autre part, si} ρ ^{désigne la}

pseudo-métrique dénie pour tous éléments A ^et B ^de A^{, par} ρ(A, B) = p

λ(A∆B)

alors pour tout ǫ >0^{,on a}

H(A, ρ, ǫ) =H(A, d, ǫ²). ⁽¹⁾

On appellemouvement brownien standard indexé par A^{, le proessus Gaussien W de}

moyenne nulle, à trajetoires dans C(A)^{qui vérie pour tous} A ^et B ^dans A^,l'égalité

Cov(W(A),W(B))=λ(A∩B)^{, .}

On saitd'après Dudley([10 ℄, 1973) qu'un tel proessus est bien déni dès que

Z 1

0

pH(A, ρ, ǫ)dǫ <+∞. ⁽²⁾

A fortiori,si

Z 1

0

H(A, d, ǫ) ǫ

1/2

dǫ <+∞, ⁽³⁾

alors lemouvement Brownien standard W indexé par A ^{est bien déni.}

D'après (1^{), laondition (}3^{) est} équivalenteà la ondition suivante

Z 1

0

pH(A, ρ, ǫ)dǫ <+∞. ⁽⁴⁾

On dit que le théorème entral limite fontionnel (TCLF) (ou prinipe d'invariane)

a lieurelativement à la lasse A ^{si le proessus} {n^−d/2S_n(A) ;A ∈ A} ^{onverge en loi}

dans (C(A),||.||^A) ^{vers un mouvement Brownienstandard indexé par} A^.

Lespremiers résultats de type TCLF pour de tels proessus de sommes partielles ont

étéétablislorsqueleshampsaléatoiresonsidéréssontindépendantsetidentiquement

distribués(iid)etlorsque lalasse A^{oïnide avelalasse}Q^{d desquadrantsde} [0,1]^d

(i.e. lalasse{[0, t1]×...×[0, td] ;t ∈[0,1]^d}^{). Eneet, Wihura([18℄,1969)démontra}

e résultatlorsqueleshampsaléatoiresonsidéréssont de arréintégrableaméliorant

ainsi elui de Kuelbs([13℄, 1968) dans lequel des onditions plus restritives sont req-

uises au niveau des moments. Ces résultats se réduisent en dimension 1 au prinipe

d'invarianede Donsker([9 ℄, 1951).

Pyke([17 ℄,1983)démontraunrésultatsimilairepourdeslassesd'ensemblespluslarges

vériantlaondition(3^{). Cependant,lesmomentsrequisdépendentde lalasse}A^on-

sidérée. Bass([2 ℄, 1985) etsimultanément Alexander et Pyke([1℄, 1986) ont étendu le

résultatde Pyke([17℄,1983) auas oùseuls lesmomentsd'ordre2sont supposés nis.

Goldieet Greenwood([11℄, 1986) ontétendu laméthode de Bass([2 ℄, 1985) auas des

hamps aléatoires φ-mélangeants et β-mélangeants pour des oeients de mélange uniformes('est àdirequelesupremum estpris sur uneolletionde ouplesde tribus

(U,V^{) oùhaune des tribus} U ^et V ^{peut être engendrée par une innité de variables}

aléatoires).

Chen([4 ℄, 1991) a démontré également un prinipe d'invariane lorsque le proessus

de sommespartiellesest issu de hamps aléatoiresφ-mélangeantsoùles oeientsde

φ^{-mélangeonsidérés sont non uniformes (les oeients de} φ^{-mélangenon uniformes}

ontété introduit par Dobrushin etNahapetian([8℄, 1974)).

Enn,Dedeker([6℄,[7℄, 1998) adonnéun ritère projetif souslequel une versionnon

ergodique du priniped'invariane alieulorsque le proessusde sommespartiellesest

issu de hamps aléatoiresstationnairesbornés etindexé par une lasse d'ensembles A

dont la seule restrition est de vérier la ondition d'entropie métrique (2^{). En parti-}

ulier,e résultat est valablepour les hamps aléatoiresbornés de type aroissement

d'unemartingale. D'autrepart, un artileantérieur de Basuet Dorea([3℄, 1979) mon-

trequelepriniped'invarianealieupourdeshampsaléatoiresdearréintégrablede

type aroissementd'unemartingale, lorsquel'on onsidère lalasseQ^{d desquadrants}

de [0,1]^d.

Pour ettelassedes quadrants,leritèreprojetifde Dedeker([6℄,[7℄, 1998)entraîne

le prinipe d'invariane pour les hamps aléatoires réels stationnaires ayant des mo-

ments d'ordre 2+ǫ, ǫ > 0^{. De plus, e ritère projetif fournit de nouveaux ritères}

pourleshampsaléatoiresφ-mélangeantsbornés. Parailleurs,sousl'hypothèse(4)^,en

adaptantla méthode de Bass([2 ℄, 1985) et en établissant des inégalités exponentielles

de type Bernstein, Dedeker([6℄, [7℄, 1998) donne des ritères pour des hamps aléa-

toiresφ-mélangeantsnonbornés ayantdes momentsd'ordrestritementsupérieurà2.

Notre objetif dans e travail est de onstruire pour tout réel p ^{positif, un hamp}

aléatoireréel stationnaire(Xk)_k∈Z^{d de type}aroissement d'une martingale ave X0 ∈ L^p(Ω,F, µ) ^{et une lasse} A ^{de boréliens réguliers de} [0,1]^d satisfaisant la ondition (3) ^{d'entropie métrique ave inlusion tels que le prinipe} d'invariane n'ait pas lieu relativementà A^.

Autrement dit, nous mettons en évidene le fait que les hypothèses sur la lasse A

garantissantleTCLFpourleshampsaléatoiresréelsiid([1℄,[2℄) oude typearoisse-

aléatoiresréels non bornés de type aroissement d'une martingale.

Dorénavant, on suppose que µ ^{est ergodique et que l'entropie du système dynamique} (Ω,F, µ, T)^{est stritement positive.}

Sur le réseau Z^d, on dénit la relation d'ordre lexiographique <_lex ^{omme suit : si} m = (m1, ..., md) ^et n = (n1, ..., nd) ^{sont deux éléments de} Z^d distints, la notation

m <lex n ^{signie que, oubien} m1 < n1^{, oubien ilexiste} i ∈ {2, ..., d} ^{tel que} mi < ni

etmj =nj ^pour 1≤j < i^.

On dénit également une autre relation d'ordre < ^sur Z^d de la façon suivante : si

m = (m1, ..., md) ^et n = (n1, ..., nd) ^{sont deux éléments de} Z^d distints, la notation

m < n ^{signie quepour tout} i∈ {1, ..., d}^,mi < ni^.

Il existe plusieurs façons de dénir un hamp aléatoire de type aroissement d'une

martingale(AM). Soit X = (Xk)k∈Z^{d un hamp aléatoire réel. Nousdirons que} X ^est

un hamp aléatoirede type AM si etseulement si (ssi) pour tout m ∈Z^d,

E(Xm|σ(Xk; k <lex m) ) = 0 ^p.s.

Ce type de hamp aléatoire vérie le ritère projetif introduit par Dedeker([6℄, [7℄,

1998).

Une dénition plus strite est elle utilisée par Basu et Dorea([3℄, 1979) : X ^{est un}

hamp aléatoirede type AM ssipour tous éléments m < n ^de Z^d,

E(Xn|σ(X(i¹,...,id); ∃1≤s≤d is≤ms) ) = 0 ^p.s.

En eet, Basu etDorea([3 ℄, 1979) ont démontré leprinipe d'invariane relativement

àla lasse des quadrants de [0,1]^{d pour e type de hamps aléatoireslorsque seuls les}

momentsd'ordre 2sont supposés nis.

Enn,NahapetianetPetrosian([14℄, 1992)ontintroduitune notionenoreplus strite

: X ^{est un hamp aléatoirede type AM au sens fort(AMF) ssipour tout} m∈Z^d,

E(Xm|σ(Xk; k 6=m) ) = 0 ^p.s.

2 Résultat prinipal

Si n ^{un entier stritement positif,} A ^{un borélien de} [0,1]^{d et} f ^{une appliation réelle}

mesurable déniesur Ω^{, onadopte lanotation suivante} Sn(f, A) = X

i∈{1,...,n}^d

λ(nA∩Ri)f◦Tⁱ.

ThéorèmePour tout réel p ^{positif, il existe une appliation réelle} f ∈ L^p(Ω) ^{et une}

lasse A ^{de boréliens réguliers de} [0,1]^{d vériant la ondition} (3) ^{d'entropie métrique}

ave inlusiontellesque lehampaléatoire stationnaire (f◦T^k)_k∈Z^{d soit de type AMF}

et telles que le prinipe d'invariane n'ait pas lieu relativement à A^.

Autrement dit, le proessus de sommes partielles {n^−d/2Sn(f, A) ; A∈ A} ^{ne onverge}

pas en loi dans C(A)^.

Ce résultat montre que ontrairement aux hamps aléatoires iid de arré intégrable

étudiés par Bass([2 ℄, 1985) et simultanément Alexander et Pyke([1℄, 1986), la on-

dition (3^{) ne garantit pas le TCLF pour les hamps aléatoires (non bornés) de type}

AM. Néanmoins, si A ^{est la lasse} Q^{d des quadrants de} [0,1]^{d et si} p ^{est stritement}

supérieur à 2, le TCLF a lieu aussi bien pour les hamps aléatoires iid que pour les

hamps aléatoiresde type AM (voir Dedeker([6℄, [7℄, 1998)).

Rappelons que sous la ondition (4^{), le TCLF de Dedeker([6℄, [7℄, 1998) entraîne le}

prinipe d'invariane pour les hamps aléatoires bornés de type AM. Par onséquent,

ilest naturel de poser leproblème de la validité du TCLF pour les hamps aléatoires

de typeAM sous des hypothèses de moments exponentiels.

3 Démonstration

3.1 Constrution de l'appliation f

On abesoin du lemme suivant.

Lemma 1 Il existe deux sous-tribus T-invariantes B ^et C ^de F ^{et une fontion} B^-

mesurable g^{, dénie sur} Ω ^{et à valeurs -1, 0 ou 1 telles que les propriétés suivantes}

soient satisfaites :

1) les tribus B ^et C ^sont indépendantes,

2) le hampaléatoire (g◦T^k)_k∈Z^{d est iid et de moyenne nulle,}

3) le système dynamique (Ω,C, µ, T) ^est apériodique (ie: ∀k ∈(Z^d)^∗ µ({ω ∈Ω|T^kω =ω}) = 0^).

De plus, il existe 0 < a ≤1 ^{tel que} µ(g =−1) =µ(g = 1) = a/2 ^et µ(g = 0) = 1−a

et si l'entropie h(T) ^{du système} (Ω,F, µ, T) ^{est stritement supèrieure à 1, on peut}

hoisir a= 1^.

Preuve du lemme 1^{. Notons} h ^{l'entropie du système dynamique} (Ω,F, µ, T)^{. Soit} a∈]0,1] ^telque

h1 =−(1−a)log2(1−a)−a log2(a/2)< h.

PosonsΩ1 ={−1,0,1}^etnotonsν ^{lamesureproduit}(a/2,1−a, a/2)^⊗Zd. Considérons le système dynamique S1 = (Ω^Z₁^d, ν,(θk)_k∈Z^d) ^{où pour tout} k ∈ Z^d et tout ω ∈ Ω^Z₁^d, (θk(ω))i=ωi+k, i∈Z^d. S1^{estunhampaléatoiredeBernouillid'entropie}h1^([5℄,1972,

exemple2,page 18). Considéronsun autreBernouilli S₂ ^{d'entropieinférieureou égale}

àh−h₁^. S₁×S₂ ^{estalors unBernouillid'entropieplus petiteque}h^{. D'aprèslaversion}

multidimensionnelleduthéorèmedeSinai([15℄,1987),S1×S2^{estunfateurdusystème}

(Ω,F, µ, T)^{. Nousavonsdondanse systèmeuneopie}Se1^de S1^etuneopieSe2 ^de S2

quisontindépendantes. Cequifournitlessous-tribusB^etC^{. Soit}F : (Ω,B, µ)−→S1

une bijetion bimesurable et soit p0 : S1 −→ {−1,0,1}, (ωi)_i∈Z^d 7−→ ω0^{. On vérie}

alors queg =p0◦F ^{satisfait lespropriétés voulues.}

Ce qui ahève ladémonstrationdu lemme1^.

Dorénavant, pour simplier la onstrution, nous supposerons que h(T) > 1^{. On}

peutdonhoisirg ^{de sorteque}µ(g =−1) =µ(g = 1) = 1/2^(leas h(T)>0^setraite

de façon similaire). Fixons d ∈ N^∗. Sans perte de généralité, on peut supposer que p

est un entier naturelarbitrairement grand.

Pour tout réel r ≥1^{,on pose}

nr = 4×9^8rp2, Lr = n^d/2r

9^2(r−1)dp = 2^d×9^2dp×9^2rdp(2p−1), kr = n^d_r

9^4rdp2 = 4^d×9^4rdp2, Kr = nr

k^1/dr

= 9^4rp2, ǫr = L_r×K_r^d

n^d_r = L_r kr

= 9^2dp 2^d×9^2rdp.

Le leteur pourra vérier que si on pose α = (2p+ 1)⁻¹ ∈]0,1[^{, on a pour tout réel} r≥1^,

ǫr = Lαr

n^d_αr. ⁽⁵⁾

D'autre part, les suites (nr)r≥1, (kr)r≥1, (Lr)r≥1, (Lr/2)r≥1, (L^1/dr )r≥1 ^et(Kr)r≥1 ^sont

des suites roissantes d'entiers positifs tandisque (ǫr)r≥1 ^{est une suite de réels strite-}

ment positifs quidéroît vers zéro.

De plus, onpeut vérier que pour tout entier r≥2^, n^d/2r

Lr ≥2 Xr−1

s=1

n^d/2s

Ls

. ⁽⁶⁾

Soit (δr)r≥1 ^{une suite de réelsstritement positifstelle que}

r→+∞lim Lrδr = 0. ⁽⁷⁾

Puisque(Ω,C, µ, T)^estapériodique,laversionmultidimensionnelledulemmedeRokhlin([5℄, [12℄, 1972) assure que pour tout entier r ≥ 1^{, il existe} Fr ∈ C ^{tel que les éléments de} {T^−uFr}u∈{0,...,Kr−1}^{d soient deux àdeux disjointset}

µ

K[r−1

u¹=0

...

K[r−1

ud=0

T^{−(u1,...,ud)}F_r

!

≥1−δ_r. ⁽⁸⁾

Pour tout entier r≥1^,posons

fr = n^d/2r

Lr

g ¹1Fr.

Notons

f = X+∞

r=1

fr.

Ainsi,f ^{est une appliation réellenon bornée déniesur} Ω^.

De plus, pour tout entier r ≥1^,

||fr||^pp ≤µ(Fr)× n^d/2r

Lr

!p

≤ 1

K_r^d × n^d/2r

Lr

!p

= 9^−2(r+1)dp2.

On en déduit

||f||^p ≤ X+∞

r=1

9^−2(r+1)dp <+∞.

Par onséquent, f ∈L^p(Ω)^.

Soit k ∈ Z^d, on pose Fk = σ(g ◦Tⁱ; i 6= k)W

C ⊃ σ(f ◦Tⁱ; i 6= k)^{. En utilisant}

l'indépendane des tribusB ^etC^{,onmontre que} E(f◦T^k| Fk) = 0^{. Autrementdit, le}

hamp aléatoireréel (f◦T^k)_k∈Z^{d est du typeAMF.}