Théorème central limite
Leçons : 218, 261, 262,263 Théorème 1
Si(Xi)iest une suite de variables aléatoires iid etE(X02)<∞alors Sn−nE(X0)
pnσ converge en loi versN(0, 1)oùσ2=Var(X0)etSn=n−P1
i=0
Xi. Lemme 2
Si(zn)n est une suite de nombres complexes tendant vers 0, alors lim
n→+∞
1+zn
n n
=1.
Démonstration.On a
1+zn n
n
−1 =
Xn k=1
n k
znk nk
¶ Xn
k=1
n k
|zn|k nk =
1+|zn| n
n
−1.
On est donc ramené au cas où ∀n ∈ N,zn ∈ R. A partir d’un certain rang, zn > −1 et ln
1+zn
n n
=nln
1+zn n
=n zn
n +o zn
n
=zn+o(zn) Donc en passant à l’exponentielle, la limite de
1+zn
n n
est bien 1.
Démonstration(du théorème).Quitte à remplacerXiparXi−E(X0)
σ , on peut supposer que E(X0) =0 etσ=1. On noteX =X0. La fonction caractéristique de Sn
pn est ϕSn/pn(t) = ϕX/pn(t)n
= ϕX
t pn
n
par indépendance des Xi.
De plus on sait queϕX0(0) =i E(X) =0, ϕX00(0) =−E(X2) = −1. Donc selon la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de 0, on aϕX(t) =1− t2
2 +t2"(t)où lim
t→0"(t) =0.
Donc
ϕSn/p
n(t) = 1− t2
2n+ t2 n" t
pn
n
= 1− t2
2n
n
1+ t2 n
1− t2
2n
" t pn
n
Le premier terme tend verse−t2/2, et selon le lemme, comme
n→+∞lim t2 1− t2
2n
=1,
le second terme tend vers 1 quand ntend vers l’infini. Donc pour tout t ∈R,ϕSn/pn(t)→ e−t2/2, qui est la fonction caractéristique de N(0, 1). Selon le théorème de Paul-Lévy, on a le résultat voulu.
Gabriel LEPETIT 1 ENS Rennes - Université Rennes 1
Exemple.Dans le cadre d’un sondage pour le deuxième tour de l’élection présidentielle, on interroge n personnes pour savoir s’ils comptent voter pour le candidat A (nA personnes) ou le candidat B (nB personnes).Chaque personne est modélisée par une variable aléatoire Xi : Ω → {A,B} suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. On suppose que les Xi sont indépendantes. C’est ce paramètre pqui nous est inconnu et qu’on cherche à déterminer a posteriorià partir des données observables (les valeurs desXi). Cela est rendu possible par le théorème central limite.
Un intervalle de confiance à α près pour p est un intervalle aléatoire I de R tel que P(p∈I) =1−α.
Soit G une variable gaussienne de loi N(0, 1) de fonction de répartition φ. On note Xn= X1+· · ·+Xn
n (dans la modélisation ci-dessus,Xn correspond à nA
n). On sait que la loi de cette variable aléatoire estB(n,p)donc selon le TCL,Yn =p
n Xn−p
pp(1−p) converge en loi vers G.
De plus, selon la loi faible des grands nombres, Xn −−−−→n→+∞P p donc selon le lemme de Slutsky, (Yn,Xn) −−−−→L
n→+∞ (G,p) de sorte qu’en composant par des fonctions continues, on obtient
Yn
pp(1−p) q
Xn(1−Xn)=
pn(Xn−p) q
Xn(1−Xn)
−−−−→n→+∞L G×
pp(1−p) pp(1−p)=G.
Donc en vertu de la caractérisation de la convergence en loi avec les fonctions de répar- titions, pour tout a¾0,
P −a¶
pn(Xn−p) q
Xn(1−Xn) ¶a
!
−−−−→
n→+∞ Ca=φ(a)−φ(−a),
c’est-à-dire, avec Ia,n =
−a q
Xn(1−Xn)
pn +Xn,a q
Xn(1−Xn) pn +Xn
, P(p ∈ Ia,n) −−−−→
n→+∞
Ca.
En prenantCasuffisamment petit, à partir d’un certain rang,P(p∈Ia,n)¶1−α:Ia,n est un intervalle de confiance àαprès.
Complétons ce théorème par un autre théorème limite, le théorème des évènements rares de Poisson. Il faut faire attention car la preuve du Ouvrard présente une imprécision sur le logarithme complexe.
Théorème 3 (Théorème des événements rares)
Soit pour tout n∈N∗ une famille finie {An,j|1≤ j ≤Mn}d’évènements indépendants.
On posepn,j=P(An,j)et on noteSn=PMn
j=1
1An,j On suppose que la suite de terme général Mn tend en croissant vers+∞et que
sup
1≤j≤Mn
pn,j−−−−→
n→+∞ 0,
Mn
X
j=1
pn,j−−−−→
n→+∞ λ
oùλ >0. Alors la suite(Sn)n∈N∗converge en loi vers la loi de PoissonP(λ)de paramètre λ.
Gabriel LEPETIT 2 ENS Rennes - Université Rennes 1
Démonstration.Soit t ∈R. Par indépendance desAn,j, la fonction caractéristique deSn est ϕSn(t) =
Mn
Y
j=1
(pn,jei t + (1−pn,j)) =
Mn
Y
j=1
1+pn,j(ei t−1) . On posez=ei t −1. Comme sup
1≤j≤Mn
pn,j −−−−→
n→+∞ 0, il existe N ¾1 tel que pour n¾N, et j∈ {1, . . . ,Mn},|pn,jz|< 1
2 de sorte que 1+pn,jz=exp log
1+pn,jz où log désigne une détermination principale du logarithme complexe sur le plan fendu de CauchyC\R−.
Or, par la formule de Taylor avec reste intégral, si|w|<1, log(1+w) =w−w2
Z 1 0
(1−u) 1
(1+uw)2du Sin¾N, etu∈[0, 1], j∈J1,MnK,|1+upn,jz|¾1−upn,j|z|¾1−u
2¾1 2, d’où
Mn
X
j=1
p2n,j Z 1
0
1−u (1+upn,jz)2du
¶2
Mn
X
j=1
p2n,j
¶2
sup
1≤j≤Mn
pn,j Mn
X
j=1
pn,j
−−−−→
n→+∞ 0.
Donc par la formule de Taylor précédente et par hypothèse,
Mn
X
j=1
log(1+pn,jz) =z
Mn
X
j=1
pn,j−z2
Mn
X
j=1
p2n,j Z 1
0
1−u
(1+upn,jz)2du−−−−→n→+∞ λz.
Donc
exp
Mn X
j=1
log(1+pn,jz)
−−−−→
n→+∞ exp(λz) =exp(λ(ei t−1), fonction caractéristique d’une loi de PoissonP(λ).
Mais exp M
Pn
j=1
log(1+pn,jz)
=QMn
j=1
exp(log(1+pn,jz)) =QMn
j=1
1+pn,jz=ϕSn(t), donc selon le théorème de Lévy,(Sn)n∈N∗ converge en loi versP(λ).
Remarque.Pour compléter ce développement un peu court, on peut calculer la fonction caractéristique d’une loi normale (cf « Inversion de Fourier » ). Dans la leçon 218, il est bien- venu de mentionner le théorème des évènements rares de Poisson plutôt que la recherche d’un intervalle de confiance.
Références :
• Philippe BARBÉet Michel LEDOUX(2007). Probabilité. EDP Sciences, pp. 136-138.
• Jean-Yves OUVRARD (2009). Probabilités (Master Agrégation). T. 2. Cassini, p. 311 (évènements rares).
Gabriel LEPETIT 3 ENS Rennes - Université Rennes 1
