Théorème des événements rares de Poisson

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Théorème des événements rares de Poisson

Leçons :218,241,249,261,262,264

[Ouv 1], théorème 7.1 [Ouv 2], théorème 14.20 Théorème (Événements rares)

Soit, pour toutn∈_N^∗, une famille finie A_n,j

16^j6^Mn d’événements indépendants.

On pose :p_n,j =_P A_n,j

etS_n =

Mn

j

∑

1A_n,j.

On suppose¹: max

16j6Mn

p_n,j −→

n→_∞0 et

Mn

j

∑

p_n,j −→

n→_∞λ>0.

Alors(S_n)_n∈N∗ converge en loi vers la loiP(λ).

On commence par montrer le théorème de Poisson, dont le théorème des événements rares est une généralisation.

Théorème (Poisson)

On considère(S_n)_n∈N∗ une suite de variables aléatoires de loisB(n,p_n). Si lim

n→_∞np_n =λ>_0,

Alors(S_n)_n∈N∗ converge en loi vers la loiP(λ)_.

Démonstration du théorème de Poisson : Commenpn −→

n→∞λ, on a :pn= ^λ n +o

1 n

. Soitk∈N, pourn>k:

P(Sn=k) = n

k

p^k_n(1−pn)^n−k= ⁿ(n−1). . .(n−k+1) k!

λ n +o

1 n

k 1−^λ

n +o 1

n n−k

Orn(n−1). . .(n−k+1) λ

n +o 1

n k

= ⁿ n

n−1

n . . .n−k+1

n [λ+o(1)]^k −→

n→∞λ^k Et

1− ^λ

n +o 1

n n−k

=exp

(n−k)ln

1−^λ n +o

1 n

=exp

(n−k)

−^λ n +o

1 n

n→−→∞e^−λ Par conséquent,P(Sn =k) −→

n→∞

λ^k

k!e^−λ, d’oùSn

−→L n→∞P(λ). Démonstration du théorème des événements rares :

On va utiliser le théorème de Lévy.

Soitn∈N^∗, par indépendance desAn,jpour 16j6Mn, on a, pourt∈R:

ϕ_Sn(t) =

Mn

∏

ϕ₁

An,j(t) =

Mn

∏

pn,je^it+1−pn,j

=

Mn

∏

1+pn,j

e^it−1

D’où, en posantz=_e^it−1 :

Log(ϕ_Sn(t)) =

M_n j=1

∑

Log 1+p_n,jz Par la formule de Taylor avec reste intégral, pour|z|<1 :

Log(1+z) =z+ Z 1+z

1

(1+z−v)¹ 1!

−1

v² dv=z+ Z ₁

0

(1+z−1−zu) −1

(1+zu)^2zdu=z−z² Z ₁

0

1−u (1+zu)^2du 1. Attention, certaines hypothèses dans le livre de Ouvrard sont inutiles.

Florian LEMONNIER 1

Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Comme max

16j6Mn

p_n,j −→

n→∞0 :∃N∈N,∀n>N, max

16j6Mn

p_n,jz < ¹

2. Soit alorsn>N,

Logϕ_Sn(t) =

M_n j=1

∑

"

p_n,jz−p²_n,jz² Z ₁

0

1−u 1+pn,jzu2du

#

=z

M_n j=1

∑

p_n,j−z²

M_n j=1

∑

p²_n,j Z ₁

0

1−u 1+pn,jzu2du Or, pouru∈[0, 1], par inégalité triangulaire :

1+p_n,jzu

>1−p_n,j|z|u>1−p_n,j|z|> ¹ 2. Donc

M_n

∑

p²_n,j Z 1

0

1−u 1+pn,jzu2du

6

M_n j=1

∑

p²_n,j Z 1

0

|1−u|

1+pn,jzu

2du6

M_n j=1

∑

p²_n,j4 Z 1

0

(1−u)du=2

M_n j=1

∑

p²_n,j

62

16j6Mmaxn

p_n,j M_n

j=1

∑

p_n,j

!

Ainsi lim_n→∞

M_n j=1

∑

p²_n,j Z ₁

0

1−u

1+pn,jzu2du=_{0 donc lim}

n→∞Logϕ_Sn(t) = _lim

n→∞z

M_n j=1

∑

p_n,j =λz.

Donc lim

n→∞ϕ_Sn(t) =exp λ

e^it−1

d’oùSn

−→L n→∞P(λ).

Références

[Ouv 1] J.-Y. OUVRARD–Probabilités 1, 2^eéd., Cassini, 2007.

[Ouv 2] J.-Y. OUVRARD–Probabilités 2, 3^eéd., Cassini, 2009.

Florian LEMONNIER 2

Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1