E6904. Bavardages inutiles
Zig choisit un nombre entier N positif et indique à Puce que la somme des chiffres de N est égale à 13.
Puce cherche alors à trouver N en posant une série de questions. A chacune d’elles, Puce choisit un nombre entier X et Zig lui répond en donnant la somme des chiffres de |N – X|, à savoir la somme des chiffres de la valeur absolue de la différence de X avec N.
Déterminer le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour être absolument certain de trouver le nombre de Zig.
Solution proposée par Rémi Planche
Notons n(I)....n(i)...n(2)n(1) l’écriture décimale de N et appelons S(N) la somme des chiffres de N. Par
hypothèse S(N) = 13. Un nombre indéfini de n(i) autres que n(I) pouvant être des zéros, le nombre N n’est pas borné : il suffit que les chiffres des P positions non nulles totalisent 13. Par contre P est limité à 13, soit 13 fois le chiffre 1.
Le tableau ci-dessous présente la soustraction N-X pour 1 ≤ X ≤ 9.
On a donc dans tous les cas S(N-X)-S(N) = -X+9r, c’est-à-dire que la quantité [S(N-X)-S(N)+X]/9 donne le nombre de retenues r.
De plus,
. r = 0 signifie que X ≤ n(1) et que le n de la position voisine n(2) est quelconque ; . r > 0 signifie que X > n(1) et détermine la position du prochain n(i) non nul.
Stratégie proposée
De ces constatations découle la stratégie proposée, présentée dans ce qui suit.
.A. Tester si le n de la position est nul
On fait ce test en posant la question X = 1(*) et en calculant le r de la réponse : .- si r = 0 on sait seulement que n > 0 et on va à .C. pour préciser n ;
.- si r > 0 on sait que n = 0 et on passe à la suite.
.B. Passer à la prochaine position n > 0
On détermine la prochaine position non nulle à partir du dernier r calculé.
.C. Préciser le n > 0 de la position et vérifier si on connait tous les n
Il est inutile de poser la question X = 1 puisque on traite seulement des cas n ≥ 1.
On pose dans l’ordre les questions X = 2 à X = 9 et on s’arrête au premier X tel que .- soit r > 0 car on connait alors n, soit n = X-1, qui est une valeur de 1 à 8,
.- soit r = 0 et X = 9 car on connait n, soit n = 9.
Dans le premier cas, la nouvelle position à examiner est la prochaine position non nulle déterminée par r et on va à .B. Dans le deuxième cas, r = 0 n’apporte aucune information sur les positions situées à gauche et c’est la position voisine, on va donc à .D.
Parallèlement on surveille le total T des n connus et du X courant et on arrête les questions :
.- soit si r > 0 et T = 12 car on sait qu’on a atteint l’avant-dernière position, on connait la dernière position par r et on sait qu’elle contient un 1 ;
.- soit si r = 0 et T = 13 car on sait qu’on a atteint la dernière position et que n = X.
.D. Passer à la position voisine
Il s’agit de la position i+1. Ensuite on va à .A. puisque le nouveau n est quelconque.
Nombre de questions Les questions sont
.- la question initiale X = 1 pour la position 1 (en .A.) ;
.- les n(i) questions X = 2 à n(i)+1 pour les positions où 0 < n(i) < 9 (en .C.) ; .- les 8+1 questions pour les positions où n(i) = 9, soit X = 2 à 9 (en .C.) et X = 1 pour la position voisine (en .A.) ;
.- moins la question qu’on économise à la fin quand T devient 12 ou 13 (en .C.).
Le nombre total de questions est donc Q = 1+Σn(i)-1 = S(N).
Pour un S(N) donné, c’est une constante indépendante de N et par conséquent, pour la stratégie proposée, le nombre minimal de questions est Q* = S(N) = 13.
Optimalité
La stratégie proposée produit une suite de s réponses r = 0 ou r > 0 (une “signature”) qui caractérise le nombre N. Il y a correspondance entre
.- les réponses r > 0 et les position non nulles (par .B.(**)),
.- la valeur de r > 0 et le nombre de 0 successifs à droite de la position non nulle (par .B.),
.- le nombre de réponses r = 0 précédant la réponse r > 0 et le chiffre de la position non nulle (par .C.).
Avec les s questions de la stratégie proposée, il y a autant de signatures possibles que de N possibles. Avec moins de s questions, il y a moins de signatures et on est incapable de couvrir tous les N possibles, ce qui signifie que la stratégie proposée est optimale.
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Notes
(*) Les questions X = 1 à 9 sont décrites pour la position 1. Dans le cas d’une position i différente, il faut en fait poser des questions X’, où X’ est composé
.- des chiffres n déjà connus placés aux positions qu’ils occupent dans N, .- du chiffre X à la position i,
.- de zéros partout ailleurs.
Tout se passe alors comme si on avait tronqué N des chiffres n et 0 déjà connus à droite, que la position i était devenue la position 1 et qu’on avait posé la question X, ce qui justifie la présentation simplifiée ci-dessus.
(**) ou par .C. pour la dernière position dans le cas où on termine dès que T = 12.
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