Table des matières
I Introduction 3
I.1 Position du problème . . . 3
I.2 Rédaction . . . 3
I.3 Remarque . . . 3
II Interversion de limites 4 II.1 Double limite . . . 4
II.2 Transmission de la continuité . . . 4
II.3 Limite et somme de série . . . 6
III Limite et intégrale 7 III.1 Convergence uniforme sur un segment . . . 7
III.2 Convergence dominée . . . 7
a. Version habituelle . . . 7
b. Version continue . . . 7
IV Intégrale et série 8 IV.1 Sur un segment . . . 8
IV.2 Sur un intervalle quelconque . . . 8
V Continuité, dérivation sous le signeR 9 VI Séries et séries 10 VIIDérivation et primitivation de suites et de séries de fonctions 11 VII.1Suites de fonctions . . . 11
VII.2Séries de fonctions . . . 12
VIIIDéveloppements limités et primitivation 13 IX Théorème de Schwarz 13 X Problèmes de linéarité 13 X.1 Linéarité et dérivation . . . 13
X.2 Linéarité et intégration . . . 14
XI Une interversion avec l’espérance (Beppo-Levi) 16 XI.1 Enoncé . . . 16 XI.2 Corrigé . . . 17
I Introduction
I.1 Position du problème
Le machin de la chose n’est pas toujours la chose du machin. . .Mais au programme de cette année figurent de nombreux résultats permettant d’intervertir. On peut même dire que les théorèmes les plus techniques, parfois appelés « grands théo- rèmes d’analyse », sont majoritairement regroupables dans cette catégorie. Ce sont des théorèmes de chapitres C et S.
I.2 Rédaction
Une chose importante : lorsqu’aucun de ces résultats ne semble s’appliquer, ou lors- qu’on n’arrive pas à en vérifier les hypothèses, si on veut quand même procéder à une interversion, il ne faut pas passer en force, mais dire « j’admets que. . . ». Dans une copie, une interversion de
+∞X et d’R
sans aucune justification fait très mauvais effet, et rend le correcteur plus sévère. Un « j’admets que. . . » laisse votre réputation d’honnêteté intellectuelle intacte.
I.3 Remarque
Tous les résultats d’interversion ne sont pas énoncés dans ce qui suit : en algèbre, par exemple, on aurait pu écrire que le polynôme dérivé d’une combinaison linéaire de polynômes est la combinaison linéaire des polynômes dérivés, mais c’est une manière un peu sophistiquée d’envisager la linéarité de l’endomorphisme de déri- vation. On aurait pu aussi dire que la transposée de l’inverse d’une matrice carrée inversible est l’inverse de la transposée, etc. . .En probabilités, on peut aussi dire que la variance de la somme est la somme des variances pour des variables aléatoires deux à deux indépendantes. . .Bref, il y a d’autres interversions dans le cours.
II Interversion de limites
On pense généralement au théorème de la double limite.
II.1 Double limite
Théorème Soit (fn) une suite de fonctions définies sur une partieAd’un evn de dimension finieE, à valeurs dans un evn de dimension finieF. Soitf une fonction de AdansF, et soita est un point adhérent à A(éventuellement a= +∞oua= −∞siAest une partie non majorée ou non minorée deR).
Si
1. la suite (fn) converge uniformément versf surA 2. chaquefna enaune limitebn∈F,
alors
1. la suite (bn) converge ; 2. f a une limite ena; 3. lim
x→af(x)= lim
n→+∞(bn).
On peut donc écrire, sous les hypothèses du théorème,
x→alim
³
n→+∞lim
¡fn(x)¢´
= lim
n→+∞
³
x→alim
¡fn(x)¢´ ce qui justifie l’appellation « double limite ».
Attention, la convergence uniforme sur tout compact ne suffit pas. Mais siA=]0,+∞[ eta= +∞par exemple, la convergence uniforme sur [1515,+∞[ suffit.
On peut avoirA=Neta= +∞. Le théorème devient alors un théorème d’interver- sion pour une suite double : noterpà la place dex est plus éloquent dans ce cas.
Mais l’identification de ce genre de situation n’est pas forcément évidente.
II.2 Transmission de la continuité
Lorsquea∈Adans le théorème précédent, on obtient le théorème de transmission de la continuité par convergence uniforme.
Pourquoi alors peut-on se contenter de l’hypothèse de convergence uniforme sur tout compact (ou sur tout segment, si l’ensemble de départ est un intervalle deR) ? Parce que la continuité est une propriété locale : si on ne considère que les restric- tions des fonctions considérées à un voisinageV deadansA, cela suffit pour voir si elles sont continues ena. D’où la possibilité de se contenter d’une convergence
uniforme sur un voisinage deadansA. Prenons alors l’exemple d’un intervalleA, et d’un pointadeA. Il y a un voisinage deadansAqui est un segment (exemple : A=[1, 2[ ; un voisinage de 1 dans Aest par exemple [1, 3/2] ; un voisinage de 1/2 dansAest par exemple [1/4, 3/4]. . .). Donc on peut se contenter de l’hypothèse de convergence uniforme sur tout segment, ou sur tout compact (tout segment est un compact, tout compact est inclus dans un segment, la plupart des compacts ne sont bien sûr pas des segments). Pour une partieAd’un evn de dimension finie, il n’y a pas toujours un voisinage compact pour tout pointadeA, mais c’est souvent le cas, et quand ce n’est pas le cas, on s’en sort en utilisant la caractérisation séquentielle des limites et le résultat hors programme suivant : si (un) est une suite qui converge vers une limite`, la partie {un;n∈N}∪{`} est compacte.
II.3 Limite et somme de série
Un somme n’est pas infinie. Mais la somme d’une série est la limite d’une suite de sommes finies. Une interversion ici sera la conséquence de deux interversions consécutives : somme et limite d’abord (qui vient simplement de la linéarité), ap- pliquée aux sommes partielles, puis limite et limite. Le théorème suivant n’est donc qu’une transcription du théorème de la double limite.
Théorème : Soit (fn) une suite de fonctions définies sur une partieAd’un evn de dimension finieE, à valeurs dans un evn de dimension finieF. Soitf une fonction deAdansF.
Soitaest adhérent àA.
Si
1. chaquefna une limite`nena 2. Pfnconverge uniformément surA alors
1. la sérieP
`nconverge, 2. la somme
+∞X
n=0
fna une limite ena, 3. et cette limite est
+∞X
n=0
`n.
Autrement dit,sous les hyptohèses précédentes,
x→alim
+∞X
n=0
fn(x) =
+∞X
n=0
x→alimfn(x)
Ce résultat est plus souvent utilisé que la double limite « de base ». La convergence uniforme se montre en général par convergence normale ou par théorème des séries alternées.
III Limite et intégrale
Comment passer à la limite sous le signeR
?
III.1 Convergence uniforme sur un segment
Proposition Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues par morceaux sur un segment [a,b], à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. On suppose que la suite (fn) converge uniformément versf, et quef est continue par morceaux. Alors la suite³Z
[a,b]
fn
´
n∈Nconverge vers Z
[a,b]
f. Ce théorème n’est valable que sur un segment. Et demande une convergence uni- forme. Mais il est valable pour des fonctions à valeurs vectorielles. Par rapport au théorème suivant, un avantage parfois méconnu : les fn sont à peu près toujours continues, pas seulement par morceaux. Et alors la convergence uniforme dispense de se soucier de la continuité par morceaux def, carf est nécessairement continue.
III.2 Convergence dominée
a. Version habituelle
Théorème Soit (fn) une suite de fonctions continues par morceaux sur un inter- valleI, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose :
(i)que la suite (fn) converge simplement surI vers une fonctionf continue par morceaux,
(ii)qu’il existe une fonctionφcontinue par morceaux intégrable sur Itelle que
∀n∈N∀t∈I |fn(t)| ≤φ(t) (Hypothèse de domination.)
Alors lesfnetf sont intégrables surI, et Z
I
fn−−−−−→n→+∞
Z
I
f
Quand on est sur un segment, on peut utiliser ce théorème ou le précédent. L’avan- tage de ce théorème de convergence dominée est qu’il ne demande pas de conver- gence uniforme. Il ne faut bien sûr pas oublier la domination. On ne peut l’utiliser que pour des fonctions à valeurs réelles ou complexes.
b. Version continue
Théorème SoitΛ⊂R (au programme,Λ est un intervalle, mais cela importe peu), et soitλ0∈Λ(éventuellementλ0= ±∞).
Soit (fλ)λ∈Λune famille de fonctions continues par morceaux sur un inter- valleI, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose :
(i)∀x∈I fλ(x)−−−−→
λ→λ0
f(x) oùf est une fonction continue par mor- ceaux surI,
(ii)il existe une fonctionφcontinue par morceaux intégrable surI telle que
∀λ∈Λ∀x∈I |fλ(x)| ≤φ(x) (Hypothèse de domination.)
Alors lesfλetf sont intégrables surI, et Z
I
fλ−−−−→
λ→λ0
Z
I
f
Remarque Ce théorème n’est jamais indispensable. On peut le remplacer par le théorème de convergence dominée suivi de la caractérisation des limites par les suites. L’extension présentée ici permet seulement de raccourcir la rédac- tion.
Le théorème de continuité sous le signeR
(avec domination) est une conséquence du théorème de convergence dominée.
IV Intégrale et série
IV.1 Sur un segment
Proposition SoitX
fn une série de fonctions continues par morceaux sur un segment [a,b], à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. On suppose que la sérieX
fnconverge uniformément sur [a,b], et que sa somme
+∞X
n=0
fnest continue par morceaux. AlorsX Zb
a
fnconverge, et
+∞X
n=0
µZ b a
fn(t)d t
¶
= Z b
a
µ+∞
X
n=0
fn(t)
¶ d t
IV.2 Sur un intervalle quelconque
Théorème Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles ou complexes. On suppose :
(i)que la sériePfn converge simplement surI, et que sa somme
+∞X
n=0
fnest continue par morceaux surI, (ii)que chaquefnest intégrable surI, (iii)que la sérieX
Z
I|fn|converge.
AlorsX Z
I
fnconverge,
+∞X
n=0
fnest intégrable surI, et Z
I
µ+∞
X
n=0
fn
¶
=
+∞X
n=0
Z
I
fn.
Remarque: On note en généralN1(fn)= Z
I|fn|. L’hypothèse cruciale du théorème est alors la convergence deP
N1(fn).
Remarque: Ce théorème et le précédent sont d’une grande utilité. Lorsqu’on a des fonctions à valeurs vectorielles, seul le premier est applicable. Lorsqu’on n’est pas sur un segment, seul le second l’est. (Et si on a des fonctions à valeurs vectorielles sur un intervalle autre qu’un segment, on est hors-programme !).
Pour le premier, la convergence uniforme est généralement montrée par une conver- gence normale. On a alors intérêt à l’appliquer (rédaction légèrement plus courte) plutôt qu’à aller chercher le deuxième qui marche encore grâce à l’inégalité (sur un segment [a,b]) :N1≤ |b−a|N∞.
V Continuité, dérivation sous le signe R
Théorème Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie surX× I, où X est une partie d’un espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose :
1. f continue par rapport à la première variable : pour toutt∈I, la fonction f(.,t) : x7→f(x,t) est continue surX.
2. f continue par morceaux par rapport à la deuxième variable : pour tout x∈X,f(x, .) :t7→f(x,t) continue par morceaux surI.
3. Il existe une fonctionφcontinue par morceaux, positive et intégrable sur I, telle que
∀x∈X ∀t∈I |f(x,t)| ≤φ(t) (hypothèse de domination).
Alorsg:x→ Z
I
f(x,t)d test définie et continue surX.
On ne rappelle pas les extensions, avec domination locale ou domination sur tout compact.
Théorème SoitAetIdeux intervalles deR, etf : (x,t)7→f(x,t) une fonction définie surA×I, à valeurs dansK=RouCtelle que :
1. Pour toutx∈A,f(x, .) : t7→f(x,t) est continue par morceaux et inté- grable surI,(ne pas oublier cette clause)
2. f est dérivable par rapport à sa première variable surA×I, et ∂f
∂x vérifie les hypothèses du théorème de continuité sous le signeR
(avec hypothèse de domination ou hypothèse de domination sur tout segment)
Alors l’applicationg : x7→
Z
I
f(x,t)d test de classeC1surA, et sa dérivée est g0 :x7→
Z
I
∂f
∂x(x,t)d t.
On appelle parfois cette dérivation sous le signeR
« formule de Leibniz », mais ce n’est pas une dénomination du programme.
Rappel «f dérivable par rapport à sa première variable surA×I» signifie que, pour toutt ∈I, l’applicationx7→ f(x,t) est dérivable sur A. La dérivée est notée∂f
∂x.
Remarque Pourquoi peut-on considérer ce théorème comme un théorème d’in- terversion ? tout simplement parce qu’il aboutit à
d dx
µZ
I
f(x,t) dt
¶
= Z
I
∂f
∂x(x,t) dt
VI Séries et séries
On parle souvent de théorème de Fubini. . .mais le nom n’est pas dans le programme.
Proposition La « suite double » (terminologie h.p., on parle de la famille) de réels positifs(am,n)(m,n)∈N2 est sommable si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :
(i) pour toutn,X
m
am,nconverge et, notant alorssn=
+∞X
m=0
am,n, (ii)X
n
snconverge.
La suite double (am,n)(m,n)∈N2de réelspositifsest sommable si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :
(i’) pour toutm,X
n
am,nconverge (ii’) et, notantσm=
+∞X
n=0
am,n,X
mσmconverge.
Et, dans le cas de sommabilité,
+∞X
n=0
µ+∞
X
m=0
am,n
¶
=
+∞X
m=0
µ+∞
X
n=0
am,n
¶
Proposition La suite double de nombres réels ou complexes (am,n)(m,n)∈N2 est sommable si et seulement si la suite double (|am,n|)(m,n)∈N2 l’est. . .voir pro- position précédente. Et,si la suite double(am,n)(m,n)∈N2est sommable,
+∞X
n=0
µ+∞
X
m=0
am,n
¶
=
+∞X
m=0
µ+∞
X
n=0
am,n
¶
= X
(m,n)∈N2
am,n
VII Dérivation et primitivation de suites et de séries de fonctions
On ne fait que broder sur le théorème d’interversion de limite et d’intégrale sur un segment. Ce qui ne veut pas dire que les résultats suivants soient inutiles, bien au contraire ! Notons qu’ils ont tous été généralisés aux fonctions à valeurs dans un evn de dimension finie.
VII.1 Suites de fonctions
Proposition Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues sur un intervalle I, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose que la suite (fn) convergeuniformément sur tout segment inclus dansIvers une fonctionf (qui est donc continue). Soita∈I, on définit pourx∈I:
F(x)= Z x
a
f(t)d t , Fn(x)= Zx
a
fn(t)d t
Alors la suite (Fn) converge uniformément sur tout segment inclus dansIvers F.
Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI 2. La suite (fn)n∈Nconverge simplement surI
3. La suite (fn0)n∈Nconverge uniformément sur tout segment inclus dansI Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalleI, à
valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose : 1. Les fonctionsfnsont de classeCksurI
2. Chaque suite (fn(j))n∈N(0≤j≤k−1) converge simplement surI
3. La suite (fn(k))n∈Nconverge uniformément sur tout segment inclus dansI Alors f, limite de la suite (fn), est de classeCksurI. Sa dérivée j-ième est, pour toutjentre 1 etk, la limite de la suite (fn(j)).
Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC∞surI 2. La suite (fn)n∈Nconverge simplement surI
3. Chaque suite (fn(j))n∈N(j≥1) converge uniformément sur tout segment inclus dansI
Alorsf, limite de la suite (fn), est de classeC∞surI. Sa dérivéej-ième est, pour toutj, la limite de la suite (fn(j)).
VII.2 Séries de fonctions
Proposition SoitX
fnune série de fonctions continues sur un intervalleI, à va- leurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose que la sérieX
fn convergeuniformément sur tout segment inclus dansI. Soit a∈I;X
µ x7→
Z x a
fn(t)d t
¶
converge uniformément sur tout segment inclus dansIversx7→
Z x a
µ+∞
X
n=0
fn(t)
¶ d t. Proposition SoitX
fnune série de fonctions définies sur un intervalleI, à va- leurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI 2. Pfnconverge simplement surI
3. Pfn0 converge uniformément sur tout segment inclus dansI Alors
+∞X
n=0
fnest de classeC1surI. On a : µ+∞
X
n=0
fn
¶0
=
+∞X
n=0
fn0. Et la convergence deP
fnest uniforme sur tout segment.
Proposition SoitPfn une série de fonctions définies sur un intervalleI, à va- leurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeCksurI 2. Chaque sérieX
n
fn(j)(0≤j≤k−1) converge simplement surI 3. La sérieX
n
fn(k)converge uniformément sur tout segment inclus dansI Alors
+∞X
n=0
fnest de classeCksurI. Et, pour toutjentre 1 etk,
µ+∞
X
n=0
fn
¶(j)
=
+∞X
n=0
fn(j)
Proposition SoitPfn une série de fonctions définies sur un intervalleI, à va- leurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC∞surI 2. La sérieX
fnconverge simplement surI
3. Chaque sérieX
n
fn(j)(j≥1) converge uniformément sur tout segment in- clus dansI
Alors
+∞X
n=0
fnest de classeC∞surI. Et, pour toutj∈N∗, µ+∞
X
n=0
fn
¶(j)
=
+∞X
n=0
fn(j)
VIII Développements limités et primitivation
Théorème : Soitf une application d’un intervalleIdeRà valeurs dans un es- pace de dimension finieE, continue surI et admettant un développement limité à l’ordrenena(a∈I) :
f(x)=
n
X
k=0
(x−a)kAk + o
x→a
¡(x−a)n¢
SoitF une primitive de f surI. AlorsF admet un développement limité à l’ordren+1 ena:
F(x)=F(a)+
n
X
k=0
(x−a)k+1
k+1 Ak + o
x→a
¡(x−a)n+1¢
IX Théorème de Schwarz
Théorème Sif est de classeC2surU, pour tout couple (i,j) on a, surU
∂2f
∂xj∂xi = ∂2f
∂xi ∂xj
X Problèmes de linéarité
La continuité des applications linéaires définies sur un espace vectoriel normé de dimension finie a des applications intéressantes.
X.1 Linéarité et dérivation
SiGest un espace vectoriel normé de dimension finie, siuest une application li- néaire deF dansG, sif, définie surI et à valeurs dansF, est dérivable ena, alors l’applicationu(f) : x7−→u¡
f(x)¢
, définie surIet à valeurs dansG, est dérivable en a, et sa dérivée enaest
¡u(f)¢0 (a)=u¡
f0(a)¢ .
Qui peut servir pour utiliser une autre interversion célèbre et beaucoup plus utili- sée : les composantes de la dérivée sont les dérivées des composantes. Plus précisé- ment, sif est définie surIet à valeurs dansF, siB=(e1, . . . ,en) est une base deF,
et si on notefklak-ième composante def sur B, définie par
∀x∈I f(x)=
n
X
i=1
fi(x)ei
alorsf est dérivable enasi et seulement si chaquefi l’est, et si c’est le cas, f0(a)=
n
X
i=1
fi0(a)ei
Ce dernier résultat étant aussi une conséquence directe de « les composantes de la limite sont les limites des fonctions composantes ».
Proposition Soit f une application d’un ouvertU deEdansF,hune applica- tion linéaire deFdansG.
Sif est différentiable ena, alorsh◦f l’est, et d(h◦f)(a)=h◦df(a) .
Sif est de classeC1surU, alorsh◦f est de classeC1surU.
X.2 Linéarité et intégration
Si f est continue par morceaux surJ, à valeurs dans un evn de dimension finie, si uest une application linéaire deE dans l’evnF(lui aussi de dimension finie), alors u◦f est continue par morceaux surJ(et à valeurs dansF), et
Z
J
u◦f = u¡ Z
J
f¢
(image de l’intégrale par une application linéaire) On a aussi : sif est continue par morceaux sur un segmentJ, à valeurs dansF, siB=(e1, . . . ,en) est une base deF, et si on notefklak-ième composante def sur B, définie par
∀x∈J f(x)=
n
X
i=1
fi(x)ei
alors les intégrales des composantes def sont les composantes de l’intégrale def : Z
J
f =
n
X
k=1
µZ
J
fk
¶ ek
Remarquons que la généralisation à un intervalle quelconque ne peut être donnée que dans le cas complexe, dans le cadre du programme. Il est forcément un peu plus lourd à énoncer : contrairement au cas d’un segment, il faut faire des hypothèses de convergence des intégrales. Sif est continue par morceaux sur un intervalleI, à valeurs dansC,f est intégrable surIsi et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont, et le cas échéant :
Z
I
Re(f)=Re µZ
I
f
¶ ,
Z
I
Im(f)=Im µZ
I
f
¶
De même, et ce n’est pas exactement le même résultat,R
If converge si et seulement siR
IRe(f) etR
IIm(f) convergent, et le cas échéant : Z
I
Re(f)=Re µZ
I
f
¶ ,
Z
I
Im(f)=Im µZ
I
f
¶
XI Une interversion avec l’espérance (Beppo-Levi)
On peut regretter l’absence de théorèmes d’interversion avec l’espérance. Par des moyens détournés, on peut quand même faire des choses. Voici un schéma d’exer- cice retrouvé quelquefois à l’oral, le principe étant celui du théorème de Beppo- Levi :
XI.1 Enoncé
On admet le résultat suivant, qu’il n’est pas inutile de savoir démontrer : SiXest une variable aléatoire à valeurs dansN,
E(X)=
+∞X
k=1
P(X≥k)∈R∪{+∞}
On considère une suite (Zn) de variables aléatoires définies sur un univers probabi- lisé (Ω,A,P), à valeurs dansN, croissante :
∀n∈N Zn≤Zn+1 On suppose de plus que la suite (E(Zn)) converge.
On noteZ=lim(Zn) :Zest à valeurs dansN∪{+∞}. On admet queZest bien une variable aléatoire.
1. Montrer que, pour toutj∈N,
P(Zn≥j)−−−−−→n
→+∞ P(Z≥j)
2. En déduire queZest p.s. finie (autrement dit, queP(Z= +∞)=0).
3. Montrer queZest d’espérance finie, et queE(Z)=lim (E(Zn)).
[Indication : On pourra introduire les fonctionsφj définies surNpar φj(n)=P(Zn≥j)]
XI.2 Corrigé
1. Par croissance, pour tout entierj, (Z≥j)=
+∞[
n=0
↑(Zn≥j)
(pour toutω∈Ω, la suite (Zn(ω)) est une suite croissante d’entiers naturels, sa limite est≥jsi et seulement si il y a un rang à partir duquel elle est≥j). Il suffit alors d’utiliser la continuité croissante. Remarquons que par ce moyen on peut conclure que pour toutj(Z≥j) est un évènement, il n’est alors pas très dur de montrer queZest une variable aléatoire.
2. Or, par inégalité de Markov,
P(Zn≥j)≤E(Zn) j
La suite (E(Zn)) est convergente, elle est croissante, elle est donc majorée par sa limite`. On obtient, par passage des inégalités larges à la limite,
P(Z≥j)≤` j or
(Z= +∞)=
+∞\
j=1
↓(Z≥j) et la continuité décroissante cette fois nous donne
P(Z= +∞)=0 3. On akφjk∞=P(Z≥j). Pour toutN,
N
X
j=1
P(Zn≥j)−−−−−→n
→+∞
N
X
j=1
P(Z≥j)
Mais le membre de gauche est majoré pour toutnparE(Zn), donc par`. Donc
on a N
X
j=1
P(Z≥j)≤` pour toutN, doncX
j
φjconverge uniformément car normalement surN, ce qui permet d’appliquer le théorème de la double limite pour conclure.
