Partie A – Le cas o` u m = 1

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Probl` eme – Une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire ` a param` etres

Partie A – Le cas o` u m = 1

A.1Pour m= 1,Em,β ´equivaut `a :

y⁰+y= 1 2e^βx.

La solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee s’´ecritx7→λe<sup>−x</sup>, o`uλd´ecritR.

Siβ =−1, une solution particuli`ere de cette ´equation estx7→ ^x₂e^−x(on a int´egr´e la partie polynomiale), de sorte que l’ensemble des solutions deEm,β est :

nx7→x 2 +λ

e^−x, λ∈R o.

Siβ6=−1, on cherche une solution particuli`ere sous la formex7→αe<sup>βx</sup>, pour un certain r´eelα. Apr`es un calcul simple, on constate queα=_2(β+1)¹ convient : la solution g´en´erale deEm,β est donc

x7→ 1

2(β+ 1)e^βx+λe^−x, o`uλd´ecritR.

A.2L’existence et l’unicit´e d’une telle solution `a ce probl`eme de Cauchy est assur´ee par le cours.

Dans le cas o`u β=−1, on trouvef_β :x7→ ^x₂+ 1 e^−x.

Dans le cas o`u β6=−1, on trouvefβ :x7→ _2(β+1)¹ e^βx+_2(β+1)^2β+1 e^−x. A.3

Premi`ere m´ethode :en utilisantEm,β. La fonctionfβ vaut 1 en 0 et, puisqu’elle est solution deEm,β : f_β⁰(0) +f_β(0) = 1

2e^β·0, d’o`uf_β⁰(0) =−¹₂.

Seconde m´ethode :en utilisant la question pr´ec´edente.

Dans le cas o`u β=−1, on trouve, pour tout r´eelx: f_β⁰(x) =

1 2 −x

2 + 1 e^−x,

doncf_β⁰(0) =−¹₂.

Dans le cas o`u β6=−1, on trouve, pour tout r´eelx: f_β⁰(x) = β

2(β+ 1)e^βx−(2β+ 1) 2(β+ 1)e^x; doncf_β⁰(0) =−¹₂.

Dans tous les cas, on a doncf_β⁰(0) =−¹₂.

Partie B – Le cas o` u m 6= 1

B.1Bien sˆur,ψest deux fois d´erivable, en tant que solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 2 (l’un au moins des r´eelsmet m⁰ est diff´erent de 1).

De plus, pour tout r´eel x:

(1) : (m−1)ψ⁰⁰(x) + 2mψ⁰(x) + (m+ 1)ψ(x) =e^βx et

(2) : (m⁰−1)ψ⁰⁰(x) + 2m⁰ψ(x) + (m⁰+ 1)ψ(x) =e^βx, puis, en effectuantλ(1) + (1−λ)(2)

(λ(m−1) + (1−λ)(m⁰−1))ψ⁰⁰(x) + 2(λm+ (1−λ)m⁰)ψ⁰(x) + (λ(m+ 1) + (1−λ)m⁰)ψ(x) = (λ+ 1−λ)e^βx, ce qui, apr`es simplification, montre queψest solution deEm⁰⁰,β.

B.2L’´equation caract´eristique associ´ee `aE<sub>m,β</sub> est (m−1)z<sup>2</sup>+ 2mz+ (m+ 1) = 0, de solutions−1 et <sup>1+m</sup><sub>1−m</sub>. On observe que ces solutions sont distinctes (peu importe la valeur dem), donc la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee `aE_m,β est

x7→λe^−x+µe^1−m1+mx, o`uλet µd´ecriventR.

B.3 L’existence et l’unicit´e d’une solution `a ce probl`eme de Cauchy est assur´ee par le cours. Il s’agit de d´eterminer la solutionϕde

y⁰⁰−y=−e^−x telle queϕ(0) = 1 etϕ⁰(0) =−¹₂.

On sait que cette ´equation admet une solution de la formex7→axe^−x, pour un r´eelaqu’il reste `a d´eterminer.

Apr`es calcul, on trouve que le choix a = <sup>1</sup><sub>2</sub> convient : la fonction x7→ <sup>x</sup><sub>2</sub>e<sup>−x</sup> est une solution particuli`ere de l’´equation ´etudi´ee.

Il existe des r´eels λet µtels que, pour tout r´eel x: ϕ(x) = x

2e^−x+λe^−x+µe^x.

Les conditions s’´ecriventλ+µ= 1 et ¹₂−λ+µ=−¹₂, ce qui conduit `a λ= 0 etµ= 1.

La fonction recherch´ee est donc :

ϕ :x7→x 2 + 1

e^−x.

B.4 Il se trouve que ϕ est ´egalement la solution de E1,β valant 1 en 0 (cf. A.3). La question B.1 permet d’affirmer que ϕ est solution de Em,β, pour tout r´eel m. Elle v´erifie par ailleurs ´evidemment les conditions initiales : d’apr`es le cours, c’est l’unique solution au probl`eme de Cauchy ´etudi´e.

B.5D’apr`es la question pr´ec´edente, il reste `a montrer que siβ v´erifie la propri´et´e demand´ee, alorsβ =−1.

Fixons donc un telβ, et soitgune solution commune. En particulier,gest solution deE0,β. D’apr`es la question B.1, cette fonction est ´egalement solution deE_1,β, doncg est solution de

(1) : y+y⁰= 1

2e^βx et (2) : y⁰⁰−y=−e^βx.

En d´erivant la premi`ere ´equation (c’est possible cargest ind´efiniment d´erivable), on observe quegest ´egalement solution de

(3) : y⁰+y⁰⁰=β 2e^βx. En formant (3)−(1), on d´eduit queg est solution de

(4) : y⁰⁰−y=β−1 2 e^βx.

En comparant (2) et (4), il apparaˆıt que, n´ecessairement,β=−1 : le r´esultat est d´emontr´e.

Remarque : on pouvait aussi observer (en prenant deux valeurs dem puis en formant la diff´erence) qu’une telle solution commune ´etait n´ecessairement solution de

y⁰⁰+ 2y⁰+y= 0,

donc de la formex7→(ax+b)e^−xpour certains r´eelsaet b, ce qui impose¹ β=−1.

1. ce n’est pas si ´evident `a montrer, je vous laisse y r´efl´echir