DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Sous-groupes ` a un param` etre dans GL(E) o` u E est un plan vectoriel complexe
E d´esigne unC-espace vectoriel de dimension finien∈N∗.
On ´etudie dans ce probl`eme –et dans des cas restreints– si, pour f ∈ GL(E), il existe un morphisme de groupes de (R,+) vers GL(E) dont la valeur en 1 estf : on dira alors dans ce cas quef v´erifie la propri´et´eK.
Partie A – Pr´ eliminaires
On consid`ere deux nombres complexes distinctsaet b, ainsi que trois endomorphismesf, p, qdeE tels que
IdE = p+q f = ap+bq f2 = a2p+b2q
On suppose ´egalement quef n’est pas une homoth´etie.
A.1Calculer (f−aIdE)◦(f −bIdE), et montrer que
E= ker(f −aIdE)⊕ker(f−bIdE).
A.2Etablir que´ p◦q=q◦p= 0, puis quepetq sont des projecteurs non nuls.
A.3V´erifier que pour toutn∈N,
(∗) fn=anp+bnq
A.4On suppose dans cette questionaet bnon nuls.
a Montrer que la formule (∗) reste valable pour toutn∈Z\N.
b Soitαet β des logarithmes complexes1 respectifs de a et b, i.e.des nombres complexes tels que exp(α) =aet exp(β) =b.
V´erifier que
ϕ :x∈R7→eαxp+eβxq est un morphisme de groupes de (R,+) vers (GL(E),·).
Ainsi,ϕv´erifie la propri´et´eK.
Partie B – Sous-groupes ` a un param` etre dans le cas o` u E est un plan
On suppose ici queE est de dimension 2, et on se donnef ∈GL(E).
On appellevaleur propredef tout scalaireλtel quef−λIdE ne soit pas injectif : ker(f−λIdE) est alors non trivial, et ses ´el´ements non nuls sont appel´esvecteurs propres def associ´es `a la valeur propreλ.
B.1On suppose quef admet deux valeurs propres distinctesaetb. Trouver des endomorphismespet qde E tels que l’on puisse appliquer la partie pr´ec´edente :f v´erifie la propri´et´eK.
On suppose dor´enavant quef admet une unique valeur propreλ, et on poseg=f−λIdE, etn= dim ker(g).
B.2On suppose quen= 2 : montrer quef v´erifie la propri´et´eK.
B.3On suppose quen= 1.
a V´erifier queg2= 0.
bCalculerfn pour toutn∈N, puis montrer quef v´erifie la propri´et´eK.
1. N’utilisez surtout pas la notation ln(z) sizn’est pas un r´eel strictement positif !
