Ln Lnan (z) /(e ~ (z) = ~a,z ~, 0RDRE DES POINTS SINGULIERS DE LA SI RIE DE TAYLOR.

0RDRE DES POINTS SINGULIERS DE LA SI RIE DE TAYLOR.

P A R

EUGI~YE FABRY

~k M O N T P E L L I E R .

r

:l:. M. HADA$IARD a d6fini l'ordre d'une s6rie de Taylor

[(z) = ~ a , z ~,

sur le 0

eerele de convergence, d e n t le rayon est suppos6 6gal ~ z (Journal de Math.

pures et appliqu6es r89e , p. z65). Si la reaction

/(e ~

est finie et continue sur un arc C, c'est $ dire entre deux valeurs de O; on dit qu'elle est s 6cart fini, si les modules des deux i n t 6 g r a l e s - - f ' n / ( e ~

inf6rieurs s un nombre I d~termin6, sur l'arc C, et sur t o u t arc int6rieur ~ C;

quelque soit n, qui peut augmenter ind6finiment.

Si cp(z)== ~)' a~ z~ est k 6cart fini sur un are C (ce qui suppose cf(e oi) fini et eontinu), pour t o u t e valeur positive de e; ~p(z) n'~tant pas k ~cart fini lors- que e < o ; oJ est l'ordre de

[(z)

sur cet arc. On en d6duit l'ordrc en un point du eercle de convergence, en supposant Pare C infiniment petit. L'ordre sur le cercle de convergence est le plus grand des ordres en ses points singuliers, il

L[nan[

est ~gal s la plus grande limite de

Ln

Nous supposerons cet ordre eo fini.

Dans les cas les plus simples, l'ordre en un point singulier est ~gal au degr~

d'infinitude. Mais M. BERYL a montr~, par un exemple, que l'ordre peut 6tre sup6rieur (S~ries h termes positifs, p. 77)- J ' a i montr~ (C. R. 6 ddeembre I9O9) qu'il ~tait n~cessaire de pr4ciser ees d~finitions. Je me propose ici de d~finir, dans ~ous les cas, l'ordre d'infinitude en un point singulier, et l'ordre d'infinitude dans le eercle de convergence; et de montrer que ces deux d~finitions doivent reposer sur des principes diff~rents. J'~tudierai ensuite les divers cas qui peuvent se prSsenter, et les propri~tSs qui en r6sultent.

I. Ordre d ' i n f l n i t u d e a u x p o i n t s s i n g u l i e r s .

z. Soit /(z) =

~ a n z n

une s~rie d e n t le r a y o n de convergence est I, et d e n t

0

l'ordre, sur le eerele de convergence, est fini; c'est s dire que la plus g r a n d e limite ~ de L I

L n na,~ I

n ' e s t 6gale ni ~ + ~ , ni h - - r 1 6 2

Soit q u n n o m b r e r6el, et e > o . Supposons qu'il oxiste u n n o m b r e positif fixe A, tel que

a2 aa an

a, +~+~+-.. +~=~%

air un m o d u l e inf~rieur h A, I S n [ < A, quelque soit n.

i I est eonvergente. "-~ nq + ~ = S~ + n~

L a s6rie n ~ (n +

1 1 2

oo

Sn (~s (n + r ~ ) est aussi une s6rie e~

1

I n v e r s e m e n t , si la s~rie

~an

n ~ est divergente, les sommes Sn ne r e s t e n t pas

1

t o u t e s finies.

co

an soit convergente, pour I1 existe done un n o m b r e p, tel que la s~rie

1

~. a~ ne r e s t e n t pas finies; de t o u t e valeur positive de ~; et que les sommes ,~np---- i

1

sorte que la s~rie ~ - ~ est divergente.

1

A r o u t e v a l e u r positive de ~ correspond u n r a n g s p a r t i r d u quel on a

l a n l < n ' ~ + ~

Done Ia s6rie ~ ~ - u a , est e o n v e r g e n t e D ' a u t r e part, il y a une

c a - - 1 ~ 2

an

infinit~ de termes tels que I an I > n . Done, la sSrie ~ n ~ : - i _ ~ est divergente.

I1 en r~sulte:

3. Supposons encore I S n l < A , quelque soi~ n;

Ordre des points singuliers de la s~rie de Taylor.

z = # e " , o<~<z, [ O--~[<k, b>o.

I ~ - - p l

71

De s o r t e q u e le p o i n t z p e u t se r a p p r o c h e r de z ~ i , p a r u n c o n t o u r ivt$- rieur, et n o n t a n g e n t , au eercle d e c o n v e r g e n c e , mais f o r m a n t a v e c l a t a n g e n t e a u cercle u n angle aussi p e t i t q u e l ' o n v o u d r a , si le n o m b r e fixe k est choisi assez g r a n d . N o u s allons ~ t u d i e r l ' o r d r e de g r a n d e u r d u p r o d u i t

(i--z)q](z),

e n s u p p o s a n t q > o. On a:

/(z)= ~_~a,,z =ao +

n

(S,,--Sn_~)nqz"=ao-~- 2S,,[nqz"--(n +

I)qz

TM]

0 1 1

p u i s q u e

S,,nqz '~

t e n d v e r s z~ro, p o u r n = co, si Q< I.

a o oo

l ( z ) - a 0

+ (:--e~)~S,~nqe"e

" ~ + ~ 8 , , [ n q e " - - ( n +

I)q e~+1]e ('+ ~~

1 1

II(~)l<laol+2A sin ~ n , e ' ~ + A In~e'~--l~+~)~e'~+~l.

I 1

nur ~ a u g m e n t e d ' a b o r d a v e e n, p u i s d i m i n u e l o r s q u e n > - - ~ Q , ou e n < e - q . Soit N le n o m b r e e n t i e r p o u r le quel nqQ n a la plus g r a n d e v a l e u r

On a :

e t :

L ~ I < N ( - - ~ - I ,

!V--1

2 ( ( n + I)qQn+l--nqQ n ) - ~ - N q ~ c - Q 1

~ ( n q O n - - ( n + I)qq T M ) = NqQ N N

1 [nqq"--(n + I)qe"+xl=2Nqo~--q<2

N--1 / N

1 1

~nqo'~ < xq~dx (

N+I N J

n~ O < N q ~ iv + = N q ( v + _ L q ) q +

= ~ e ~ + ~ - ~ + ~ < : : ) ~ ~ + - L-~ j - ~ ) , [ ( q ~ r ( q + ~ ) ] q ),

I / ( z ) l < l a ' [ + A[OI (L~o e) LQ + 2A (~eL~Q

( I - - q ) q l ] ( z ) l < lao~(I--Q)q + A k [ ( q ) q ( x - - Q ) + F (fl + I)] + 2A(q) q.

Le produit

(~-e)~l/(z)l

reste inf6rieur ~ un nombre fixe, lorsque

Izl=r

tend vers I .

= i + ( I - - o ) ' 2

Done, le produit (I - - z)q /(z) a aussi un module qui reste fini. Le produit ( i - - z ) q + a / ( z ) tend vers z6ro, si z tend vers I, par un contour non t a n g e n t au eerele de convergence.

4- Supposons q n6gatif: - - t < q < i - - ) ~ , )~ 6taut un hombre entier positif, et S~ restant fini (n ~ 2). La s6rie ~ n - q - ~ a n sera convergente. Nous suppo- serons:

2 a n = o , 2 n a , , = ~ 2 n ~ a " = ~ " ~ n Z - l a " = ~

0 1 1 1

C'est b. dire qua /(z) esr nul, pour z = I, ainsi que ses i - - i premieres d6riv6es.

On peut toujours remplir ees conditions en a j o u t a n t h ](z) un polyn6me de degr6 i - - i . On a alors:

0 0 1

Posons:

O n a :

c ~

](~)

^-

~b.="

q~ ( z ) = x - - z 0

b r , = - - a n + l - - a n + 2 . . . a o + at + "'" + a,,,.

b,~ = - - ~ nan ~- o,

0 O

s i l > x

2 n b , = - - n ( n - - I ) a , , = o , s i l > 2

0 1 2

Ordre des points singuliers de la s6rie de Taylor. 73 et ainsi de suite, j u s q u ' h

2 n ~ ' - 2 b , = - - 2 a , , ( I + 2~.-~+

3~.--~ + ... + ( n - - x)~--2) = o

0 2

c a r le coefficient

s6rie est u n e c o m b i n a i s o n lin6aire des ). s6ries suppos6es nulles.

D ' a u t r e p a r t , on a:

de an est 6gal h u n p o l y n S m e en n de degr6 ) ~ - - I ; et c e t t e

a n . m + l

E t c o m m e

a , , ~ n q ( S , , - - S . _ a ) ,

I S . l < A

~ S , , I I

"- - - 2 q S i + (n + x ) q . . . . ~q - -

1 - ~ n q + l

nq+l

1 1 1

m

- -

Sm+l((m +

I ) q - - ( m + 2)q) +

Sm+2((m +

2 ) q - - ( m + 3)q) + ...

nq+,

Cette expression reste finie, q u e l q u e soit m. E n effet, si o > q > - - I , on a :

m

m I '~" d x

1 0

- - q m q "

L a f o n c t i o n (I -~- ;~)q-- I --

qx

a u g r n e n t e X ~ , i on a :

avee x, a p a r t i r de x = o . Si

o < n q - - (n + I ) q < - - q n q - 1

V. - - ( , , +

( n + I ) q nq-+l - - n q I I r

~ q + l 7/,

1 1 1

o.

L e coefficient de S~ b r a n t positif, on a:

~ - ~ < 2 A ( m + ~ ) q ~ , i

~ n < < - - 9

1 1 - - ~

Si q < - - x , on a :

m + l

I

fdx

< J ~ ~ -

1 0

A c t a m a t h e m a t i c a , 36. Imprim6 le 14 f6vrier 1912.

- - q ( m + I)q

10

m

"

I f dx

~ > ~ -

1 t3 - - qmq

- - q n q - l > n q - - ( n + i ) q > - - q n q -1- q(q - - I ) n q _ 2 .

2 On en d ~ d u i t :

[ n q - - ( n + i ) q ] 2 i i n q

n ? ~ < n ~ < - - -

1 n n ~

n i I I - - q [nq - - (n + i)q] 2 ~-+-i > n 2 n 2

1

+ -q l n__t ~

> n n "~ln + I !

p u i s q u e o > q - I

2

n~ ~ < ( n + I ) q ndu

I

. . . . nu ~ - - < - - nq ..t-1

1

b~

n q + l

m I ( n ) q ra

< - A q ~ , ~ 4 ~ + A(,n + ~ ) , ~ ,~=--

~ z , < - - - -

~

1 1

~ i ( n ) q

A A q ~ ~

q 1

~0(z) e s t nul, p o u r z = i, ainsi q u e ses ) . - - 2 p r e m i e r e s d~riv~es, et les s o m m e s

~ r e s t e n t finies.

1

E n r 6 p 6 t a n t ~ fois les m ~ m e s t r a n s f o r m a t i o n s , on p e u t p o s e r :

/(z) = ~b,,z"

les s o m m e s ~ b,~ r e s t a n t finies. E t c o m m e q + ) ~ > o , le p r o d u i t ( i - - Q ) q / ( z )

1

r e s t e fini, ainsi q u e ( i - - z ) q / ( z ) , l o r s q u e z t e n d v e r s x, p a r u n c o n t o u r int~rieur, et n o n t a n g e n t , a u cercle de c o n v e r g e n c e . ( i - - z ) q + e / [ z ) t e n d v e r s z~ro.

5. q 6 r a n t positif, et o < e < q, s u p p o s o n s q u e l ' o n ait, p o u r r o u t e v a l e u r de z telle q u e I z ] = Q < I :

Is l

( i - - @ - ~ a,~z" < A .

0

I1 r~sulte d ' u n t h ~ o r g m e de C a u c h y q u e l ' o n a:

Ordre des points singuliers de la sdrie de Taylor. 75 (x --e)q -~ e"la.I < A.

J ' a i d o n n 6 une g6n6ralisation de ce th6or~me (C. R. 8 n o v e m b r e I9o9), en m o n - t r a n t que, quels q u e s o i e n t n e t it, on a:

( I - - (~)g-~la,,() '~ + a,~+ I Q T M + " ' ' J[- a,~+)`~'~+

~'{ < 2A (I + L<):-i-+,~ I!} < A'L(2 + I)

P o s o n s : e t

a n

U = n + +

~ T ~ nq~"

T z ⁼ an~ '~ + a n + l q " + l + , . . + a n + l r n+)`

a,~ + 1 .. a,, + )` ⁼ To + T I - - To + . . . +

(n .+ I ) q -~ " + (n + ,L)q nqQn (n + I ) q Q n'l-1

) (

( n + I ) q 0 T M -~ "'" -~ T ; - 1 (n -}- , ~ - - I ) q Q n + ) ' - I I

+ T)` (n + i)q~-+)`"

T~ - - T)`_ 1 (n + ).)q o " + ~"

,

)

(n + i)q q" + ~: +

nq~" a u g m e n t e a v e e n, s i n ^> q P r e n o n s r e - - - - - L Q

T I , " " Tn s o n t t o u s positifs, e t o n t p o u r s o m m e - - . I n g Q n

q

n + ) . Les coefficients de To,

I T o l = l a , , l r (I- ~)q--~' ^A' IT)`[ < ( I - - 0 ) g - ~ ^{A ~}

[ u [ <

A ' L ( i t + ~) nq~"(i - - r e"

L(it + i)

I --~--~

- -X diminue, s i x a u g m e n t e h p a r t i r d e z6ro. Si n + i t > I , on a:

q i - - e , - - q I - - Q - - - I - - e n + ) . > _ _ _ _

- - n + i t

A'eq tn + itl~ L(it + x) I UI < (~-- e-~)~/--~! Tn =;ifi"

Si i t < n - - , [ U [ < A " L ( i t § i ) ~ - 5 ~ 7 , off A " r e s t e fixe. D ~ c o m p o s o n s U en u n e s u i t e de

s o m m e s de t e r m e s successifs c o m m e n q a n t a u x v a l e u r s n o = n , n 1 = 2n, n~ ~ 2 ~ n , . . . n v _ l ~ 2 v - - l n , n + ) ~ 2 v n . On a u r a :

A " (L,~ L n + L 2 L n + 2 L 2 i n , + ( v - - I ) L 2 1

I u I < ( ~ ? ~ r + _-- + ,~,~ + ... + ~ _ ~ - ! <

< ~ - 7 - - ~ + ( 2 ~ < . . . + < i + . U reste fini, quels que soient n e t L

a2 a,~

I n v e r s e m e n t , si les sommes Sn = a~ + ~ + -.. + ~ ne r e s t e n t pas finies; c ' e s t s dire s'il existe des v a l e u r s de n telles q u e [Sn I soit plus g r a n d q u ' u n h o m b r e

o o

donn6 q u e l c o n q u e , le p r o d u i t ( i - - Q ) q - ~ ~ a , , z n a u r a un m o d u l e qui p e u t d6pas- 0

ser t o u t n o m b r e d o n n 6 ~ l ' i n t 6 r i e u r d u cercle de c o n v e r g e n c e . L e m o d u l e de

o o

( x - - z ) q - ~ ~ a , , z "~ p o u r r a 6 g a l e m e n t d6passer t o u t n o m b r e d o n n &

o

6. S u p p o s o n s que z = i soit le seul p o i n t singulier d u cercle d e c o n v e r - gence, ](z) r e s t e fini dans la p o r t i o n d u cercle de c o n v e r g e n c e e x t 6 r i e u r e ~ u n cercle de c e n t r e i, de r a y o n aussi p e t i t q u e l'on v o u d r a . S u p p o s o n s , en o u t r e , p > o (n o 2). L e m o d u l e d e ( I - - Z ) P - ~ / ( z ) p e u t d6passer t o u t n o m b r e d o n n 6 d a n s la p a r t i e d u eerclo de c o n v e r g e n c e i n t 6 r i e u r e ~ u n cerele de c e n t r e I, do r a y o n aussi p e t i t que l'on v o u d r a . D ' a u t r e p a r t ( I - - Z ) p + ~ / ( z ) t e n d vers z6ro (n~

p o u r z = I, sur t o u t c o n t o u r n o n t a n g e n t au cerc]o de c o n v e r g e n c e . Il semble n a t u r e l de consid6rer p c o m m e l ' o r d r e d ' i n f i n i t u d e de [(z) a u p o i n t singulier z = i.

C e p e n d a n t il p e u t a r r i v e r q u e ( i - - z ) ~ - ~ ] ( z ) ne d e v i e n n e infini q u e p o u r des c o n t o u r s t a n g e n t s a u cerele de c o n v e r g e n c e , e t t e n d e v e r s z6ro p o u r t o u t c o n t o u r n o n t a n g e n t au p o i n t I. D ' a u t r e p a r t , si on d 6 v e l o p p e /(z) d a n s u n cercle t a n - g e n t i n t 6 r i e u r e m e n t a u premier, au p o i n t I, il p e u t a r r i v e r q u e le n o m b r e p di- minue. I1 est d o n e n6cessaire d ' e x a m i n e r les c o n d i t i o n s o h c e t t e d6finition sera pr6eise.

P o u r 6 v a l u e r l ' o r d r e d ' i n f i n i t u d e a u p o i n t I, si on ne p r e n d q u e des con- t o u r s n o n t a n g e n t s a u eercle d e c o n v e r g e n c e , r o r d r e sera a u plus 6gal g p.

o o

7- Soit, en g6n6ral, / ( z ) - - - ~ a n z n 0

9 (z) i - - z o b n = a o + a t + . . . + a n .

0rdre des points singuliers de la sfirie de Taylor. 77 Soit to l'ordre de /(z), sur le cercle de convergence, c'est ~ dire la plus grande

Llnb,,I

limite de

Llna,,[.Ln

^, et .(2 l'ordre de ~(z), ou ]a plus grande limite de L n "

On a t o < ~ 2 .

E n effet, au n o m b r e e c o r r e s p o n d un r a n g & p a r t i r d u quel on a : [bn[ < n-~ ~

[ a , , l = l b , , - - b , , _ ~ l < 2 n -~-~+~, ou < 2 ( n - - i) ~-~+~,

s u i v a n t le signe de l ' e x p o s a n t ~ - - z + ~. C o m m e L ( n - - z ) t e n d vers z, on a, L n

d a n s t o u s les c a s : to < 52.

Si t o > o , on a ~ < t o + z. E n effet, au n o m b r e e c o r r e s p o n d u n r a n g q tel q u e

[ a , ] < n ~ - 1 + ~ , si n > q

b,~ ~ bq + a~ + l + aq + 2 + . . . + a,,

[ b n [ < [ b q [ + (q + :~)0)-1+~ + (q + 2 ) ~ - 1 + ~ + ... + n ~ - l + ~ . C o m m e co + ~ > o, q u e l q u e soit le signe de to + ~ - - z , o n a :

n + l

Ib.I < Ibql + f x ~ +~dx = I bql +

0

( n -4- I ) ~ o J + ~

Si, ~ et q r e s t a n t fixes, n a u g m e n t e ind6finiment, on v o i t q u e ~ < to + z + e, quel- que:*soit ~. D o n e : ~ < t o + z.

Si to < o, ~ p a r t i r d ' u n r a n g d6termind [an[ < n ~ - 1 + ~. On p e u t s u p p o s e r co + ~ < o ; o~

d o n e la s6rie ~ a n est c o n v e r g e n t e , et b. = ~ a , a une limite d6termin6e, p o u r

o o

n - - ~ oo. Supposons eette limite nulle, ou

A l o r s

r

b~, ~ a 0 - k a I + - - - -t- a ~ , ~ - - a n + l - - a n + 2 . . . . 9

A p a r t i r d ' u n e v a l o u r d~termin~e de n, on a u r a :

Ib.l<

n ~ - l + ~ <

x ~ - l + e d x to+e.

n + l

n

On a e n c o r e ~2<to + I. Mais il s u f f i r a i t de c h a n g e r la v a l e u r de a0, ou d ' a j o u t e r une e o n s t a n t e ~

/(x),

p o u r a v o i r ~ = z.

Ainsi, ~ c o n d i t i o n q u e / ( z ) = o, l o r s q u e to < o, o n a, d a n s t o u s l e s cas:

8. On a:

t o < ~ < t o + z.

a , , = b , , - - b n - l

as a~ b 0 + b l z - - ~ + . . - + b n - l

S ~ = a t + ~ + --- + n - - ~ = - - I)q ~ + n~"

Soit q - - ~ 2 + z - - - - 2 ~ > o . S i n est assez g r a n d , o n a:

b~ t e n d vers z6ro, p o u r n =

n q

Inql n~'

b, nq ( n + ~ - - n ~ q I - - + 2 n 2 . 3 nz . . .

s4rie - - h ~ _ ~ est c o n v e r g e n t e , ainsi q u e la s6rie ~ . S i p est le n o m b r e L a

d6fini a u n ~ 2, o n ^{a :}

p<~2--i.

D ' a u t r e p a r t , s u p p o s o n s q u e q air u n e v a l e u r p o s i t i v e ; e t que ] S n ] < A , q u e l q u e soit n. On a u r a :

D o n e :

b , = a , = a o + nqS, + 2 Sn(nq--(n + I)q)

0 1

n - - 1

]b,,]< A + Anq + A ~ ((n + i ) q - - n q ) = 2Anq.

1

Si p e s t positif ou nul, ~ < p + i.

~ < q + I.

P a r suite:

. Q = p + I.

Ordre des points singuliers de la s~rie de Taylor. 79 00

S i p e s t n6gatif, n o u s s u p p o s e r o n s ~ a . - - o . Soit p < q < o; on a u r a : 0

b ~ = ~ a . : - - ~ a ~ : ~ ( ~ n _ l - - S n ) ' r ~ q = (~% + I ' q ~ n - ~ ~ . . q n ( n q - - ( n + I ' q)

0 n + l n + l n + l

e a r

nqS,,

t e n d v e r s z6ro, p o u r n = oo. I1 e x i s t e un n o m b r e A, tel q u e ] S , ] < A, q u e l q u e soit n, et ] b ~ ] <

2A(n +

I)q.

On a e n c o r e ~ Q < p + I, e t ~Q ~ p + i.

D a n s t o u s l e s cas, ~ c o n d i t i o n q u e / ( i ) = o l o r s q u e p < o, o n a p = . Q - - I . Mais, l o r s q u e p < o, il s u f f i r a i t d ' a j o u t e r u n e e o n s t a n t e ~

/(z)pour

a v o i r

~ - ~ I > p + I.

A la f o n c t i o n f (z) c o r r e s p o n d u n n o m b r e P < ~2. Mais il p e u t a r r i v e r q u e I - - Z

l ' o n a i r P < ~ , ainsi q u e n o u s en d o n n e r o n s u n e x e m p l e .

9. Soit p le n o m b r e d6fini a u n ~ 2, qui p e u t 6 t r e positif, n6gatif, ou nul.

S u p p o s o n s p > o - - - . I 2 Soit

I q - - ( O I

q > w - - -

et ~ = + - > o .

2 2 4

Soit x u n n o m b r e r6el, o < x < i et ^{Z - - X - - y .}

I - - X F o r m o n s le d 6 v e l o p p e m e n t :

oo

[(z)---/(x+y(z--x))= y"!I--x)"i("l(x)=~b,,y".

I . 2 " ' ' ~ r b - - -

0 0

Si z = I e s t u n p o i n t singulier, le r a y o n de c o n v e r g e n c e e s t e n c o r e 1. Soit:

T . = ~.~ bm--~. (I-x)'n ~X*'--'na,~

m q - - ~ m q

v(v--,) ( r e + i ) =

I . 2 " " ( ~ - - m )

= x~a" x + 122 ~ + " " +

' v m l

+ i ) t i - x t - i /

N o u s allons 6 t u d i e r l ' o r d r e de g r a n d e u r de T . , en s u p p r i m a n t des t e r m e s d o n t la s o m m e r e s t e r a finie, q u e l q u e soit n. A p a r t i r d ' u n e v a l e u r d 6 t e r m i n 6 e de n,

1

o n a

la.l<n~ -~-~.

Les coefficients ~-:2~..~ a u g m e n t e n t a v e c M, t a n t q u c

# < ( I - - x ) ( v + I). S u p p o s o n s c e t t e c o n d i t i o n remplie, et v assez g r a n d . P o s o n s alors:

t=la, lx, ~v(v--z)...(v--u~ ,-2...,~7 + ~) l-~-!lx--xl" te~ ~ <

1

< vq-~-~x~, ~_2:.~ ,.~"

Si q > ^{I ,} I _ < ~ r e s t e fini.

1 # q

# + 1

Si q < z , ,t~q<

~ - - -

1 0

(!~ +

z) 1-q i - - q

Si q = I ,

~ I - - < I

= ~ + L~L.

3"," {

L e r a p p o r t 1 . 2 ' ' ' n

t e n d vers I, p o u r n---- cr II en r6sulte q u e

I 9 2 " ' ' ~ ' r . 2 . 9 . , , . z . z . . - ( v - - , . )

< A t v - t ' ~ v

,u t ! L ( v - - , . ) ' A r e s t a n t fixe, quels q u e s o i e n t les n o m b r e s e n t i e r s v e t u, v > ~. E t :

off A est u n a u t r e n o m b r e fixe; a = o si q > i , a = I - - q si q < I , e t a = e si q = I .

Soit ~ = v ( I - - x ) - - h , h t e n d a n t vers z~,ro, p o u r v = ce. On a u r a :

t < A v q - 5 - e I + vx! ^{- - I} r ( i - - x ^{! l} 2 I - I x =

A q-~

^{1 h 2} h ~ (1 - - 2 x ) , e 2 r x ( 1 - - x) +6v2x~(1 ~ ) 2

0rdre des points singuliers de la s6rie de Taylor.

Si h > V ~ , cette expression est de la forme

81

K A t ~ ~ - l - s + a ~ ( 1 - ~ )

qui sera le terme g~n6ral d'une s6rie convergente, si K est choisi assez grand.

II suffit que

2x(:--x)

K soit au moins 6gal au plus grand des deux n o m b r e s : et q. On p e u t ainsi supprimer, dans

T,,,

t o u s l e s termes tels que ~t< r ( : - - x ) - -

--V--K~,L~,;

la somme de ces termes reste toujours finie.

De m~me, soit ~ t =

v(:--x)+ h, h> KVK~Lv, h_

t e n d a n t vers z6ro. On a:

< ~ - ~ - ~ ~ ( ~ - - : ) . . . . ~ + : ) ~ I

< A ~ ~ _ ~ , ) ~ , 9 (~_,,,) <

A r q - l - ~ + a ( :

h ' h - v x

I

~ q - - l - - ~ + a e 2 v x ( 1 - x ) 6v2 x2(l - ~)2

- V x ( : ^{- -} x)

+ (~t + ~)~ + ... + <

h t --h--v(1--x)

+ ~(:

~x)/ =

h3(1 - - 2 x ) . . ,

expression de m6me forme, qui est le terme d'une s6rie convergente.

On p e u t ainsi remplacer T . p a r

T = ~ x~a~ 2 r(~--z)-:.(Z_--!t

+ : ) t : - - x t " zx :.2..-,u ~ x I ,.q

~ 1 fx

off ~t ne prend que les valeurs comprises entre

r ( z - - x ) - - V K r L v e t r ( I - - x ) +

+ / / K ~ L - ~ , ~el|es que ~t < n . De sorte que

v ( : - - z) - - V K ~ - ~ < n

~ < n + A : + + ---

l - - X (I l - - X 2(I--X)'

Les autres termes de ce d6veloppement t e n d e n t vers z6ro, pour n ~ ~ . Si ~ t = ~ ( z - - x ) + h

Avta m a t ~ i c a . 36. I m p r i m 6 le 15 f ~ v r i e r 1912.

11

i i ( qh q(q+i)h' )

,u~ v ~ ( I - - x ) q I r ( I - - x ~ + 2 v 2 ( i - : x ) ~ . . . .

off A reste fixe.

~v(v--I)...(v--. + i) {~_z x ).

^{( i} ) * = i .

f t i t - - 0

Si, dans T, on remplaee ~ par i la diff6renee des deux valeurs

,,q

rq(I-- x)q'

a un module plus petit que

vq vq ~ A 2

1 1

augment6 d ' u n nombre fixe, provenant des premiers termes a,,. Comme eette s6rie est convergente, on peut remplacer T , par

T'= 2x~'a,, ~ v~('~--~!'-2("--}'--+-!)-I . 2...u (I _-~x),'

V [r

,q(I--x)q"

A partir d'un rang r ddtermind, ehaque terme a un module inf4rieur

I I

]a,'l

v q ( z _ x)q < 1 (z - - x ) q ~ 2-+~

S i r > r __~, il ne reste q u ' u n nombre de termes de l'ordre de n dont la somme est inf6rieure

V

^{(I I ~ X '}

I V n

( x - - x ) ~ + i - ~ n ~

KL--.I__X

On peut done snpprimer ces termes, et supposer v < - De m6me, si

r ( I - - x ) + ~ v > n > r ( z - - x )

n I - - X

on a suppos6 ,u < n. Mais, pour les termes tels que l, > n, on a:

Ordre des points singuliers de la s~rie de Taylor. 83 , ( i - - x )

< n <!, < ~'(~--x) + VK,,Lr,

/

n > , ~ >

n V Kn L -~-- +

z - - - x ~ - - x ( z - - x ) ~ z - - x

n n

2 ( I - - X] ~

Si o n a j o u t e ces t e r m e s ~t T', s c h a q u e v a l e u r de ,~ c o r r e s p o n d e n t des t e r - rues d o n t l~ s o m m e a u n m o d u l e inf6rieur h i ~ r p r e n d u n n o m b r e

V K2~c)sL n

de t e r m e s est in-

de v a l e u r s de l ' o r d r e de (z z - - x L a s o m m e ^{c e s} f&rieure ~ u n e e x p r e s s i o n qui reste finie, et t e n d vers z6ro p o u r n = ~ .

On p e u t ainsi p r e n d r e

T'

a v e c t o u s l e s t e r m e s tels q u e

r < - - - ~ ,

n et ,u i

compris e n t r e les d e u x v a l e u r s

, ( I - x)~ VK,,L~,.

Mais, si on fait v a r i e r p de o s r ; on a j o u t e h T' les t e r m c s oh !~ varie de de o i

~,(i--x)--l/-K~,L~

et de ~ , ( I - - x ) +

V K r L ,

s r. Le coefficient de

a~, est a u g m e n t 4 d ' u n e s o m m e de ] ' o r d r e de

~q (I --x)q

1 K

~,- ~ - 2 ~ i "-~-)

K

ce qui d o n n e u n p r o d u i t de l ' o r d r e de ~,-1-~ 2 x ( 1 - x ) rues r e s t e finie, et l ' o n p e u t faire v a r i e r !t de o ~t ~.

L a s o m m e de ces ter-

Tfn ~ 2 3Cv av

92

I ~ r(,,--I)'..(,,--!, + I)(~_~xX)' ~_ I 2a~,

~ q ( I - - x)q I . 2 - . . , , (I ~ x ) i ~,q

Si q > p > r Sn reste fini, Tn r e s t e aussi fini.

r e s t e pas fini, mais le t e r m e g4n4ral ~ an t e n d vers z4ro.

unit4, N a u g m e n t e d ' u n n o m b r e limit6, S x ne r e s t e pas fini, et T~ ne p e u t pas r e s t e r fini. A la f o n c t i o n / ( x + y ( i - x)) = _~ b, y" c o r r e s p o n d le m ~ m e n o m b r c p.

off ~, p r e n d les valeurs e n t i 6 r e s inf~rieures ~ n

i SN a u n m o d u l e infdrieur h u n n o m b r e fixe, q u e l q u e soit n, T . (I -- x)q

s i n I < N < _ - - . n

I - - X I - - X

I IS.I ne Si

p>q>~o---,

2

Si n a u g m e n t e d ' u n e

S i p > w - - ~ , ce nombre p reste le m~me pour le d~veloppement dans t o u t I

cercle tangent int~rieurement au premier, au point z = i ; p peut alors ~tre con- sid~r~ comme l'ordre d'infinitude au point I.

S i p < o, cette d~finition suppose que

[(z)

est nul pour z : i, ainsi que ses d~riv~es d'ordre inf~rieur s - - p (n~ On peut toujours remplir cette condition en a j o u t a n t ~

](z)

un polynSme de degr~ inf~rieur ~ - - p .

Si

p<~o

- - - , ce nombre ne sera l'ordre d'infinitude, qu's condition qu'il

I

2

reste le m~me dans t o u t cercle t a n g e n t int6rieurement au premier, au point

Z ~ - I .

io. Au point z~--e ~ correspond un nombre

p,

tel que la s~rie ~ a , e,O~

soit convergente, et ~ n p - - e a , e n~i divergente. On peut ramener ce point h z ~ i par un ehangement de variable.

Si p reste lc m6me pour le d6veloppement de [(z) dans t o u t cercle t a n g e n t intgrieurement au premier au point z =

eOi, p

sera I'ordre d'infinitude en ee point.

Si p < o cela suppose qu'on a d'abord ajout6 ~ ](z) un polyn6me tel que

](z)

soit nul pour z ----

e 'n,

ainsi que ses dgriv~es d'ordre inf~rieur & ~ p. Si p < ~ - - [

2 '

ce hombre est l'ordre d'infinitude.

A chaque point du cercle de convergence correspond un nombre

p > c o ~ x .

Soit P le plus grand de ces hombres, ou leur plus grande limite s'il y e n a une infinitg supgricurs ~ ~ o - - L On a toujours

p < P ,

et il y a des points tels que

> P ~ s . Si P > w - - ~ , ce nombre P e s t l'ordre d'infinitude m a x i m u m aux P

points singuliers du cercle de convergence.

Si

P < ~ o - - ~ ,

il faudra consid4rer, en ehaque point singulier, des cereles tangents int6rieurement au premier, pour d~finir l'ordre d'infinitude.

II. Ordre d'inflnitude de la fonction.

i I . I1 existe un nombre Q tel que la s~rie ~ ~ - ~ Q + soit convergente, et la s6rie lanl divergente (n ~ 2). On a toujours:

P<Q<__w.

Ordre des points singuliers de la sdrie de Taylor. 85 Si P ~ Q, la s6rie ~ . an enOi est u n i f o r m 6 m e n t c o n v e r g e n t e , p o u r r o u t e va- leur de O; c e t t e f o n c t i o n de 0 a u n m o d u l e qui r e s t e plus p e t i t q u ' u n n o m b r e d6ter- rain6 fixe.

Mais, si P < Q, il p e u t a r r i v e r que la s6rie ~ml np+~

" ~ . - a ~ e n ~

ne soit pas unifor- m 6 m e n t c o n v e r g e n t e . C e t t e s6rie t r i g o n o m ~ t r i q u e p e u t ~tre u n e f o n c t i o n discon- t i n u e de O, a y a n t une v a l e u r d6termin6e p o u r c h a q u e v a l e u r de O. C e t t e fonc- tion p e u t alors a u g m e n t e r i n d 6 f i n i m e n t dans le voisinage d e ,9 = `90, bien que la s6rie ~ a . e "o0i soit c o n v e r g e n t e , et p r e n n e u n e v a l e u r finie. D a n s ce cas, la

a , zn

f o n c t i o n ~ ne r e s t e pas finie sur le cercle de c o n v e r g e n c e , son m o d u l e p e u t d6passer t o u t n o m b r e donn6. I1 f a u t ators d i s t i n g u e r l ' o r d r e d ' i n f i n i t u d e m a x i m u m a u x p o i n t s singuliers d u cercle de c o n v e r g e n c e , e t l ' o r d r e d ' i n f i n i t u d e d e la f o n c t i o n dans le cerele de c o n v e r g e n c e .

12. S u p p o s o n s q u e la s6rie

~ a n e n ~

nq soit u n i f o r m 6 m e n t c o n v e r g e n t e p o u r 0

o < O < 2 z ; c ' e s t s dire que, ~t t o u t e v a l e u r de , > o, c o r r e s p o n d u n n o m b r e n ~ I OOan

tel q u e

"~nq I < ~'

p o u r r o u t e v a l e u r n >

n ~,

et q u e l q u e soit `9. Ce n o m b r e n ~ n e d 6 p e n d q u e de e, il est i n d 6 p e n d a n t de `9. I1 e x i s t e alors u n n o m b r e A tel que ~a,~ n~i

nq e < A

q u e | q u e soit `9.

Si a > o, la s6rie ~ n - n ~ - e n~ est aussi u n i f o r m 6 m e n t c o n v e r g e n t e ; en effet, a,, ~ soit ,9 u n e v a l e u r d6termin~e, et .... e" ~' ~ Rn

n+l

nq

a n e n o i = n q ( R n _ l - - R . ) .

L a s6rie ~ n ~ 4 - ~ en~ est e o n v e r g e n t e (n ~ IO). S o i t : an

R ' n = ~ ( n -~- I ) a n a ( n + I) a "

n+l n+l

Si n _ > n ' , n o m b r e qui c o r r e s p o n d s ~, on a I R n [ < ~, e t

-,~

IR'.I<(-~+~)---~+~ ~ (~+~ =(n+~)."

n +,l l

S u p p o s o n s n > n' et n + x > 2 '~, on a u r a I Rr-I < e. n est i n d 6 p e n d a n t de O, la s4rie e s t u n i f o r m 4 m e n t e o n v e r g e n t e .

I I e x i s t e d o n e un n o m b r e q tel q u e la sbrie

~ a,~ enOi

soit u n i f o r m ~ m e n t c o n v e r g e n t e , q u e l q u e soit e > o la s~rie

~-~an--e'~#i

n ' 4 t a n t p a s u n i f o r m 4 m e n t c o n v e r g e n t e . On a:

P<_q<Q.

1

~ a , 0i] O.

Au n o m b r e e c o r r e s p o n d un n o m b r e A tel q u e

ng-g~e, ] < A

qelque soit

I~ an "l

I3. A 6tang un n o m b r e fixe, s u p p o s o n s i n v e r s e m e n t q u e l ' o n a i t - - e "~' < A

n q "

q u e l q u e soit O, ce qui s u p p o s e la s4rie ~ a , e, Oi c o n v e r g e n t e p o u r t o u t e v a l e u r de O. I1 e n r~sulte que, p o u r r o u t e s v a l e u r s de n e t ), > i , on a u r a (n ~ 5):

t

^O~ e n # i ~- a n + l e ( n + l ) O i

n~ ' (n + i)q + .... + an+;.--1 )q e(n+Z_l)Ol ][

^<

AtL;r ( n + ) ~ - - i

A' d t a n t d g a l e m e n t fixe.

D o n n o n s s O e t m d e s v a l e u r s d 4 t e r m i n d e s , e t p o s o n s :

m - - 1

a n e n 9 i ~ S n

n

Soit a < o , e t :

] S , , _ ~ ] < A ' ,

] S , ] < A ' L ( m ~ n ) .

rt~.-1

E a ,

r i g + a

--I S . ^{- -} 8n+1 S . I ^I

no n ~ S,, n - - x) a ,,,--1 a ! z A ' ~ ,

~ nq+a I

D 6 c o m p o s o n s la s o m m e 2 en u n e suite de s o m m e s de t e r m e s successifs e o m m e n g a n t a u x v a l e u r s

n o - n , n , ~ z n , . . . n , , ~ 2 V n

e t m < 2 V + l n . On a u r a :

0rdre des points singuliers de la sdrie de Taylor.

m a (

I.': ' ' ~ + ~ I < ~ A' ~ + (~,~)o + ... + ( ~ n)o I <

87

2A' ~ L n + v L 2

A t 2 T M (2 '~

~ I ) L n + L2

< ~ 2,',~ = n, ~ (2(~-- I) t

' v - - 0

[ ~). a,~ enO,[<A, L n [

^{. ~}

i n

A " d t a n t u n n o m b r e fixe, i n @ p e n d a n t de ~ e t de O, lorsque a est donn6.

n a

t e n d vers z6ro, p o u r n ~ ~ ; '~ r o u t e v a ] e u r d e E > o, on p e u t faire c o r r r e s p o n d r e u n n o m b r e n, h p a r t i r d u quel

A ' L n < t .

D o n e la s6rie ~ a , e, Oi est uniformd-

nr m e n t c o n v e r g e n t e .

I n v e r s e m e n t , si q est le plus p e t i t n o m b r e tel q u e la s6rie ~ an e~O~ soit n ~

u n i f o r m 6 m e n t c o n v e r g e n t e (n ~ I2); q u e l q u e soit ]e n o m b r e A, il y a u r a des va- leurs de O telles que an " > A. C e t t e f o n c t i o n de O p e u t p r e n d r e des v a l e u r s de m o d u l e aussi g r a n d q u e l'on v o u d r a , bien que, si P < q - - t , la s6rie

an e.Oi soit c o n v e r g e n t e p o u r t o u t e v a l e u r de 0

~4. Soit q un n o m b r e positif tel que la s6rie ~ , a ~ e n ~ s o i t u n i f o r m d m e n t

~ " n q

e o n v e r g e n t e . S i n > n', o n a u r a :

R . = 2~ a",,-+ i n q ~ , IR.I < t,

n + l

z ~ oe ~i, o < Q< I ,

n t

Za. . + - ' ( R ~

0 ~*+I

Z a . z " + (nr + I)qR,,,O'*'+l -4- Rn((n + i)~e"+'--nqo,).

0 n ~ + l

et n r r e s t a n t fixes, il existe u n n o m b r e A , tel q u e

a,,z n < A,

q u e l q u e soit O, si Q < I . Soit N le h o m b r e e n t i e r p o u r le quel nqQ" a la plus g r a n d e v a l e u r

q

( no 3); supposons I - - Q assez petit pour que N soit sup6rieur ~ n r, ou I > q> e s-n'.

On aura:

II(z)l<A + 2~N,~<A +2~ ~

(~--r < A(~--~)' + 2~(q) ~

expression qui reste finie.

Si q est le nombre d6fini au n ~ z, que nous supposons positif ou nul, (i - - r oi) tend vers z6ro, pour q = I, quelque soit la fagon dont varie $.

D ' a u t r e p a r t [(i--Q)~--~/(qeOq[ ne reste pas fini. En effet, s'il existait un nombre fixe A tel que l'on air, quelque soient O et q < i ,

(i --r I < A,

aux nombres A e t e correspondrait un hombre B (n ~ 5)tel que ] ~ a n end, ] < B I 1 n q-~

I

quelque soit n; [ ~1

n q-~an--~eneilresteraitfini'etlas6rie~a-~enoiseraitunifOr'n q'~

m6ment eonvergente.

On pout dire que q est l'ordre d'infinitude de

/(z) h

l'intdrieur du eerele de convergence.

an e, ~ est eonvergente pour toute va- S i q > P et o < , < q - - P , la s6rie

1

leur do O, mais son module peut d6passer tout nombre donn6. Quelque soit A, il existe des valeurs de z, int6rieures au eercle de convergence, telles que

](x--e)q-~/(qe~)l>A.

Cependant, quelque soit O, ce produit tend vers z6ro, si Q tend vers I . " , L ' o r d r e d'infinitude en un point quelconque du cercle de con- vergence est au plus 6gal s P , qui peut 6tre inf6rieur ~ l'ordre d'infinitude q

l'int6rieur du cercle de convergence.

I5. Supposons q n~gatif, - - ) , < q < I - - ~ (n ~ 4). Soit z 0 = e ~01 un point arbitraire du cercle de convergence, et

~.~1

( Z - Z o ) _ _ ~(~-,Iz q ~ ( z ) = l ( Z o ) + ( z - - z o ) l ' ( Z o ) + ... + ~ . 2 . . - ( Z - - ~ ) " , o , .

Les coefficients de ce polyn6me sont des s6ries uniform6ment convergentes.

Ordre des points singuliers de la s~rie de Taylor. 89

/(z)--r

s'annule, pour z ~ z , , ainsi que ses 4 - - I p r e m i e r e s d~riv6es.

P o u r la fonction

/ ' ( z ) ~ - ~ n a n z ,~-1,

on a r Les d e u x s6ries

1

~-~ et ~ ( n - - z ) p + 1 ~ 2 ~ I - - sont convergentes, ou divergentes, p o u r

n a ,

les m~mes valeurs de p. Les deux s~ries ~a~np en~ et ~ ( n ~ z ) p + 1 e ~n-l)oi s o n t u n i f o r m ~ m e n t c o n v e r g e n t e s pour les m6,mes valeurs de p. A la fonction

f(z)cor-

r e s p o n d e n t les n o m b r e s p' ~ p -~ x, P ' ~ P + z et q ' ~ q + x (n ~ 2, i o e t I2).

A la fonction

/{~(z)

correspond le n o m b r e

q x ~ q + 4 > 0 .

Supposons q > P , o < e < q - - P ₉ L a s~rie

~. a, e,,~ i

_~ n q - - ~ est convergente, sans 6tre u n i f o r m d m e n t convergente. On p e u t former des arcs de plus en plus p e t i t s sur les quels la convergence n ' e s t pas uniforme. Il y a u n p o i n t e ~r tel que cette s~rie puisse prendre une valeur de m o d u l e supdrieur ~ u n n o m b r e donn~

quelconque A sur u n arc aussi p e t i t que l'on v o u d r a termind en ce point. Il y a des valeurs de z te]]es que

(I

--e)q+~.--~{/a~(Qe~ > A .

(n ~ I4)

{{~)(z)

est u n e fonction continue. A chaque v a l e u r de O (entre certaines limites) c o r r e s p o n d e n t des valeurs de ~ < z, v~rifiant c e t t e in~galit~. L o r s q u e # t e n d vers O0, ~ t e n d vers x, et l'in6galit~ cesse d ' 6 t r e v~rifi~e h la limite. P o u r c e t t e suite de valeurs de z on a

!z -- z0)q+~.-~ Ip.~(z) l > A .

On p e u t encore dire que q est l ' o r d r e d ' i n f i n i t u d e de la fonction

](z)

d a n s le eercle de convergence, ce qui v e u t dire que q + i~ est celui de {(~-)(z), ou qu'il existe des valeurs de z ~ ee ~ et z0 ~ e ~ telles q u e le m o d u l e de

(Z--Zo)q--e (/(2)--](Zo)--(Z--Zo)f (Zo) . . . .

z. ~ . . . ( Z - - ~ )

(Z--ZO)'~'--I /().--i)(Zo) )

p u i s s e d~passer t o u t n o m b r e donn~.

zS. Supposons que O n e varie que sur u n arc d~termin~ 0 0 < O < O ~. I1 existe, de m~me, u n n o m b r c q~ tel que Ia s~rie ~ e "~i s o i t u n i f o r m 6 m e n t c o n -

1

v e r g e n t e sur cet arc, ~ an e~ ~ n ' 6 t a n t pas u n i f o r m ~ m e n t convergente.

1

Ar mathematlca. 36.

I m p r i m $ le 15 f~vTier 1912. 12

Au hombre ~ correspond un nombre A tel que ~ a , e n ~ [ < A pour ces

1 !

valeurs de O. Quelque soit A r, il existe des valeurs de 3, sur cet arc, telles que

ao I A,"

1

qf est r o r d r e d'infinitude de

/(z)

sur r a r c considerS, q t + ~ est celui de la d6riv6e d'ordre )~, /(xJ(z).

Si O~--#0 tend vers z4ro, l'arc a y a n t pour limite un point e oi, il peut arri- ver que q~ ait une limite plus grande que l'ordre d'infinitude en ce point. I1 faut alors distinguer deux ordres d'infinitude en ee point. L'un est l'ordre d'in- finitude au point e ~ consid6r~ iso]6ment, c'est le nombre p (n ~ 2) correspondant un cercle tangent int6rieurement au premier et de rayon aussi petit que l'on voudra. Mais, si p > ~ - - - , cet ordre d'infinitude reste 6gal ~ p. L ' a u t r e I

q f ~ p

2

est l'ordre d'infinitude de

[(z)

sur un arc infiniment petit comprenant le point

e ~ O n a toujours

p < q~ <__oJ ,

oh ~ est l'ordre au m6me point d~fini par M. I-IADAMARD.

III. E x e m p l e s .

17. L'ordre en un point p e u t changer avec le cercle de convergence. Con- sid~rons, par exemple, la f o n c t i o n / ( z ) = ~

a,,z c'~,

off c. repr~sente une s u i t e d e

n - - 0

nombres entiers tels que

c,~+1--cn >aVc,,Lc/,, a

dtant fixe. Pour cette fonction le cercle de convergence est une coupure. Soit ~o l'ordre sur le cercle de rayon

L (a.c.) Formons le d~veloppement : i, c'est ~ dire la plus grande limite de

L c,,

/(x +y(I--X))=2~b,,,ym,

o < x < I

b ' n ~ ( ~ - ~ ) m ~ c ' ~ ( c n - z ) ' ' ' ( c ' ~ - m I .

2 . - - m q- I) a n i o n 9

S o i t c ~ - - - t - h ; m le coefficient de a~ p e u t se m e t t r e s o u s la forme:

0rdre des points singuliers de la sdrie de Taylor. 91 tI ~ X t 'n c

t

Cn ]r /cn ~ mi r o l l Cn

X '* . . . . . I , I

A [ x I

{c,,--ml [--m I

- - 2 ~ m ( c . - - m ) :

- t , . - ~ ) Vz~m (c ._ ~).

A tend vers i , si m, c= et c ~ - - m a u g m e n t e n t ind6finiment.

m x cette expression peut s'derire:

si Ihl< _ ~ ,

h 2 {1--x) 2 h 3 ( l ~ x ) 2. :.

i// ^{C n} Y , f f ~ + - V & ~ - ~ - d ~ x ~ . . . .

A V 2~m(c,, ~ m ) e

i V ~ x m - L m , cette expression est de l'ordre de m - / ~ - 2 -- Le rapport 1

S i h = + i _ z

c , - - - ~ x , Clt de deux coefficients eons6cutifs de b.,, diminue s i c augmente. Mais comme c.+1 --c,, ~ h' - - h > a V c . L - ~ . , le rapport de deux coefficients cons6cutifs m -, et augmente ind6finiment si de termes non nuls tend vers zdro si c . > i _ x

I - - X

m _ . A partir d ' u n rang d6termin6 l a . I < c. ~-1+~. Si K > --S-x--aL ~ partir

C n + l < I - X

d ' u n rang ddt, ermin6 il restera un seul terme c. entre les rangs c I - - . ' C m ~:

+ j ~ V 2 K z m L m .

I I e n r6sulte:

[b,,,[ < A ' m ~-~ + ~ - x - ~ ,

A' r e s t a n t fixe. Cet~e expression est au plus de l'ordre do m ~

D ' a u t r e part, eonsid6rons une suite de termes tels que ] a . I > (c,,) ~ ~- % et soit:

( i - - z ) c . < m < r + ( i - - x ) c , . On a:

LIb,~l

On peut supposer 2 s < K ; il en r6sulte q u e - r m - - ~ a p ~ 2 3.

Sur le cercle de centre x , / ( z ) est d'ordre co-- 2, y : 1, z = 1 est le seul po- I

int singulier de ce eercte, iI est d'ordre ~ o - - - . I 2

18. Sur le premier cerele de convergence, de centre z = 0, le point z ~ 1 est d'ordre co. En effet, on a:

Vc-. + + . vc,,L .

expression qui augmente ind6finiment avec cn, et n. Quelque soit le mombre K , partir d'un rang d6termin6, on a:

w

Vc,, + 1 - - Vc, > K

V c - ~ + n > l / ~ + K p > n + p si p > K _ ~ ; n

en supposant n fixe, on voit qu'5. partir d ' u n rang d6termin6 on a Cn+p > (n+p)~;

ou cn > n ~ ~ partir d ' u n rang n ~.

Si ~ < I , - on peut supposer d < I _ _ , , la s~rie ~ J a n ] est convergente. L a s~rie

C n a) - -

2 2

~n ec,, ~ uniform6ment convergente. La fonetion ~ an eCn ~ est finie

0

et continue pour toute valeur de O. Formons l'expression:

/ ~ a m ~

x = m e - m O i ,An e e n O i = 2 a_~n s i n ( c n - - m ) O

C n ~ ~ - - ~ C n - - m

- - 0 0 0 c n ~

Soit m = cn,, off n' prend des valeurs telles que

[ ( ~ n ' [ :> C n / ~ - - 1 - - f 2 "

Le terme 2 an, ~9 a un module sup6rieur h 2 O c,~,~, qui augmente ind6finiment

a v e c n t.

Les autres termes de x ont une somme finie. En effet, s i n < n', on a une somme de module infdrieur /t

0rdre des points singuliers de la sdrie de Taylor.

C,~ ~ - ~ ( c , , , - - c . ) < 2 ~.~ c , l _ , _ , , ( v , ~ ' ~ c,,) ~--- 2 An Cn ~ + 0

93

la s6rie ~ c n *+*'-~ est eonvergente.

0

Si n d6passe un rang d6termin6

c,~, - - c . > K ( n ' - - n ) (V~,~, + V~c~) > K ( n ' - - n )

n ~ - 1 Cn e+e, I 1 n ' ~ l

r$ f l

I I + L n '

expression qui reste finie, et tend vers z6ro, pour n ' ~ ~o.

Si n > n', on a, dans x, une somme de termes de module inf6rieur

. ' + 1 c'~r cn,) <: On' 2 2

c,~ l - ~ - ~ ' ( c , ~ ~ c , e ) <

2 1

- ~ E m ~ r

.'

+ 1 K ( n - - n') c~ 2

<~ n ~ n , ) n l _ 2 , _ 2 e , <

~ K ( 2 2

~,g i

< n ~ n f ) 2 - 2 ~ - 2 e , - - ~ 2(I- E-el"

1

Done, quelque soit 0, x ne reste pas fini, s i m augmente ind6finiment. L a fonc-

2 a ~

tion ~z~,~ n'est pas ~ 6cart fini, sur un arc comprenant z ~ I , qui est un point singulier d'ordre ~o.

Tout point z ~ - e 9i est d'ordre ~ sur le cercle de convergence de centre o.

Mais il est d'ordro ~ - - - sur un cercle tangent intdrieurement au point e ~ . i

2

19. P o u r d6terminer l'ordre d'infinitude de / ( z ) ( n ~ soit q > w - - i , et

1 1

c,,(c,,-- ~).-.(c~ - - m + ~)

1 . 2 - . - m

-

-i: 2=: .,-; ( ~ - ! ,,~"

v u 0 p ~ l

Nous aliens 6$udier l'ordre de grandeur de T , , en supprimant des termes d e n t la somme restera finie, quelque soit n. Les calculs du n ~ montrent qu'on peut

ne donner ~, # que les valeurs comprises entre ( ~ x ) e , + ~ off est au moins 6gal au plus grand des deux nombres 3 et q + i ^{- - ,}

2 2

E t comme on a, en outre, ~ < n, on aura:

K 2x(I --:~)

n + - - L - - + - - I + L 9

(~v ( I - - X ( I - - X ) 3 I - - X 2 ( I - - X ) ' I X

II no reste, dans T . , qu'un nombre limit6 de termes a,., tels que c~ > ~ ; chacun donne une somme de module inf~rieur & A [a'l c ~ < Ac~ ~ expression qui reste finie, ainsi que A, car on peut supposer 0 < E < q - - w + I .

- - o

poser c ~ < i _ x

E n posant ~ ~ ( I --x)c~ + h, ^{o n a}

T=~x~,a~CJc~--z)...(c~--l,+i)ti--xt,'. z ~li-- qh

On peut ainsi sup-

q(q + ~)h ~ t + 2 c ~ ( i - - x ) ' ' ] "

Mais h < VK-c~ L c~, la s6rie

~~ la~l ~ ( ~ - I ) - . . ( ~ - l , +

~-o ~ : ~ : : . ~ c~q+ ~ x / ^{Cv q + ~} Cv q - o) + ~ - - ~ est convergente; il en r6sulte qu'on peut remplacer T par

u c,~(i --=)q"

On a suppos~ ~ < n lorsque

(~ --x)c~ + VK--i~Lv~ > n > (I - - x)c~

I ---X~ I ~ X ( I - - X)--'-"--'-~ L _{- - x} -{- 2 ( i - - x ) ' .-F i ~ - - x n "

Mais il ne reste qu'un nombre limit6 de termes a~ v~rifiant ces conditions, et si on ajoute les termes tels que le > n, leur somme reste finie, quelque soit n. Dans T', on a alors c,,< ~ n , et ,u reste compris entre ( i - - x ) c ~ + V ~ L c , .

Ordre des points singuliers de la sfrie de Taylor. 95 Mais, si tt varie de o h c~, on ajoute h T' des termes dont la somme a un module inf6rieur h une expression de l'ordre de

1 K < . 2 z l l - - x )

,, C~,q + ~ "1 ~ ( T - - x )

qui est une s~rie eonvergente. On a alors:

T ' , = ~ x , a . . . . - (3j,~ ( I - - X ) ~ "- ~,a ~-?~ - - 2 " " "it = ( i - - x c-,.~q"

Si n + I ~ N > n on a u r a c , . < N . Trn I q S N a u n m o d u l e q u i r e s t e f i n i .

i - - z - i - - z - - ( i - - x )

Done, siio > ~ o - - i , le hombre p reste le m6me sur t o u t eerele tangent au eerele de convergence au point z = I, p e s t l'ordre d'infinitude en ee point.

20. Soit, par exemple, ] ( z ) = ~ z ~n

n a - A <en < n ~ + A , A et a restant finis, a > 2 . On a:

I I I

(ha + A V < < A V"

La s6rie ~ - ~ n ~ est eonvergente si fl > ~, divergente si fl < ~ . I Au point z----I correspond le nombre 79 ~ ~, qui est l'ordre d'infinitude en ee point. 8ur un eerele tangent int~rieurement au point r, ee point est d'ordre I_ > 3 bien que

a

ee point i soit le seul point singulier du nouveau eerele de convergence. Tous les points du premier cerele de convergence sent d'ordre oJ = I, ils sent d'ordre _z z sur t o u t eercle tangent int6rieurement. L'ordre d'infinitude de la fonction dans ie premier cerele est ~,I puisque la s6rie ~_1I+_) est eonvergente. Mais l'ordre

Cn a

d'infinitude des divers points singuliers n'est pas le m~me. Supposons que l'on ait la fonetion partieuli6re

a o

o

ozl e 2 n 7 i 2 ~ i

Les points z =

e '*T,

, e n%-, o n t l'ordre d'infinitude i c o m m e Z = I . P o u r 3

.'zi ~i a'i

n ~ - n ~ e(2n + 1)~- (2n+l)

lea points z ---- e , e , , e on t r o u v e p = o.

Si r o n a c n - - A < c n < c" + A, c > i, la s6rie ~ + est e o n v e r g e n t e si f l > o . On a p = o en t o u t point d u cerele de convergence, l'ordre d'infinitude de e h a c u n d ' e u x est 6gal ou inf6rieur ~. z6ro.

o o

2z. P o u r une s6rie q u e l c o n q u e

/(z)= ~a,z",

d ' o r d r e co, s u p p o s o n s I S n I < A 0

q u e l q u e soit n, S , - - - - _ ~ . F o r m o n s le d d v e l o p p e m e n t : 1

b m = ( I

--X)mlara

](x+y(I--X))=2b~y "n,

o < x < I

~% + I (m + I ) ' " "(m + V) X, v + . . . ] = - - X + "." + a m + ~ ,

+ a m + l I I . 2 " . . v .1

ot~

= ( i - ~)" ~ ~ (m + I)-..(m + ~,)(m + ~,)q (8,,,+ ~ - - S , , + ~_~)=

I , 2 " ' ' ~

= ( I - - X ) ' n [ - - r n '~ S i n - l + i x " ( m + I . 2...vI)'"(m + v ) S , n + , ( ( m + v),l

t ..I I

( m + V - - I ) q ( m 4- r = ( m + v) q ( I 1 2 ~ / n + v q

v *' m + * '

v ( I - - X ) + r e ( I - - 2 x ) - - ~ - ^x m a : [ I

Si v - - i _ z > 2 ' o n a

L I I

I - - X - -

+

(m+v+i)q+t,,+I x)]

(m+v)q+lv x[

q(q--~) . . . . )

2 ( m + v) ~

I

< - -

2 2 9 n ~ + i - - ~

I - - X 2m + I ~ X

expression qui reste finie. Cette condition est remplie sauf p o u r une valeur de v.

I1 en r6sulte:

3

]b,,~[<Am~(i--x) '~ + A'mq-~- +

+ A,~x~_t(m + i)...(m + v--t)(m + v)~(x_x),~

^{I - - x}

Ordre des points singuliers de la s6rie de Taylor.

off A ~ reste fini.

97

m ~ m ~ g

Soit v = - - + h, I h I < - - .

I - - ~ I - - ~

x v _ l ( m + i ) - . . ( m + ~ , - - ]

- ' 1 . 2 " " ( r I ) ( I - - X ) m I

r e s t e d a n s u n r a p p o r t fini a v e c

m + ~ I

m m - I - v ~,

i - - - ~ - - I =

rnx I Ihlt~--x)Vm~,(m+~, / (I--X)' I~hsl ( I - h ~ - x ' V ~ 2rex- /' -"'-=" "'"-"~(~+~)

= + h ~ ( 3 + 2 x + 3 x ~ ) ( I - - X ) ~ + . . . l e - n ' ~ * " ~ - ~ . . . .

8 mZx ~

m~

I ~ 1 I h l

D a n s b,,,, on p e u t s u p p o s e r ] m l i n f 6 r i e u r s c a r s i l m ] > ~ , le r a p p o r t de d e u x t e r m e s cons6eutifs est inf6rieur ~ u n h o m b r e plus p e t i t q u e i, si h > o; e t s u p 6 r i e u r ~ u n n o m b r e plus g r a n d q u e I, si h < o. Les t e r m e s s o n t inf6rieurs ~ t o u t e p u i s s a n c e d e rn. On a doric, ~ p a r t i r d ' u n e v a l e u r d 6 t e r m i n 6 e d e m:

3 _ h2 (1 -- z) x

o h h = a + v, a r e s t a n t fixe, e t ~ p r e n a n t les v a l e u r s enti~res comprises e n t r e - - ~ m e t + ~m. C e t t e e x p r e s s i o n est d u m 6 m e o r d r e de g r a n d e u r q u e

q-~ F _h2tl___-')'hdh x

q-12

m - J e 2rex m ( I - - X ) ~ - - - ~ m o

I I e n r6sulte q u e la f o n c t i o n ~ bray '~ est a u plus d e l ' o r d r e q + i

2

S i p est le h o m b r e c o r r e s p o n d a n t a u p o i n t I (n ~ 2), sur u n eerele d t a n g e n t

9 I

i n t ~ r i e u r e m e n t a u p r e m i e r en ce p o i n t , l ' o r d r e de ]a f o n c t i o n est w ' < p + 2 . Soit u n cerele c 'r t a n g e n t a u p o i n t i, i n t 6 r i e u r e m e n t a u p r e m i e r et ext6ri- e u r e m e n t a u eercle d. S u r ce e e r c l e c" o n a u r a p " > oJ' i

2

P a r exemple, p o u r la f o n e t i o n f(z) d u n ~ 17, on a w ' = w ~ , p " > w - - i . Si

~4eta wmt~'m~iea. 36. Imprim6 le 15 f~vrier 1912. 13