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2)(1 pt.) Soient E~ et B~ des champs vectoriels qui, dans la r´egion o`u y et z sont strictement positifs, sont d´efinis par E

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Texte intégral

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Paris 7 DEUG SSM QA 215-216

–

EXAMEN PARTIEL D’ELECTROMAGNETISME t0= Samedi 17 Mars, 9h.

∆t= 3h., sans documents

Les probl`emesI et III repr´esentent le minimum de ce que nous estimons ˆetre maintenant en droit d’attendre de vous ; ils peuvent vous assurer la moyenne. Les probl`emesIIet IVexigent un peu plus de jugement. Les commentaires explicatifs, montrant que vous avez compris, seront appr´eci´es. Bon courage.

I. Equations de Maxwell-Lorentz(5,25 points)

1)(1,25 pt.) Ecrire les ´equations de Maxwell et Lorentz constituant l’´enonc´e formel de l’´electro- dynamique classique.

2)(1 pt.) Soient E~ et B~ des champs vectoriels qui, dans la r´egion o`u y et z sont strictement positifs, sont d´efinis par

E(~~ r, t) =E0e(

y D+t

τ)

ˆ y B(~~ r, t) =B0D

zyˆ+B0D yz ,ˆ

o`u t repr´esente le temps, (x, y, z) les composantes cart´esiennes du vecteur position ~r, (ˆx,y,ˆ z) lesˆ vecteurs unitaires associ´es, et o`uE0,B0,D etτ sont des constantes non nulles. Le couple de champs (E, ~~ B) peut-il repr´esenter un champ ´electromagn´etique et, si oui, pr´eciser les densit´es volumiques de charge et de courant qui lui sont associ´ees ?

3)(0,5 pt.) D´eterminer, par la m´ethode qui vous paraˆıt la plus rapide, la circulation deE~ le long du chemin ferm´e triangulaire PQRP d´efini par les points P, Q et R, de coordonn´ees respectives P(0, D, D),Q(0,2D, D) etR(0,2D,2D), lorsque ce chemin est parcouru dans le sensPQRP.

4)(1 pt.) Calculer la circulation deB~ le long du mˆeme chemin, parcouru dans le mˆeme sens.

5)(0,5 pt.) Calculer le flux deB~ `a travers la surface planePQRorient´ee par le vecteur unitaire ˆx.

6)(1 pt.) Calculer effectivement le flux de ∇ ∧~ B~ `a travers cette mˆeme surface et comparer le r´esultat obtenu avec celui de la question4.

II. Vu au labo (2 points)

Expliquer clairement (avec des phrases et des dessins) comment l’on peut d´eterminer exp´erimenta- lement la valeur de la composante horizontale du champ magn´etique terrestre en utilisant seulement une r`egle gradu´ee, une boussole, un rh´eostat, un amp`erem`etre , une batterie et du fil ´electrique.

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III. L’un dans l’autre(7,75 points)

Un cˆable dit coaxial, “rectiligne”, “infini”, est constitu´e de deux conducteurs concentriques, le conducteur central, de rayon R1, et le conducteur ext´erieur, faisant retour, de rayons R2 et R3. On suppose que les densit´es de courant se r´epartissent `a peu pr`es uniform´ement dans les sections de ces conducteurs.

1)(0,5 pt) On d´esire faire passer l’intensit´eIdans ce cˆable. Pour des raisons

´

evidentes, le module de la densit´e de courant est limit´e `a la valeur maximalejM. Quel valeur minimale doit-on donner au rayonR1 du conducteur central ? On adoptera cette valeur pour la suite.

2)(0,5 pt) Le rayon int´erieur du conducteur ext´erieur vaut R2 = 2R1. Quelle valeur minimale doit-on donner au rayon ext´erieurR3du conducteur ext´erieur ? On adoptera cette valeur pour la suite.

3)(1,75 pt) Analyser soigneusement toutes les cons´equences — en ce qui concerne le champ magn´etique cr´e´e — des sym´etries et invariances de cette source de courants.

4)(1 pt) Enoncer, soigneusement, le th´eor`eme d’Amp`ere.

5)(2 pt) Achever — `a l’aide du th´eor`eme d’Amp`ere — de d´eterminer enti`erement (direction, sens et module) le champ magn´etique en tous points.

6)(1 pt) Repr´esenter graphiquement le module du champ magn´etique en un point, en fonction de la distance de ce point

`

a l’axe du cˆable.

7)(1 pt) Calculer le flux du champ magn´etique `a travers le circuit carr´e, de cˆot´e 0,6R1, repr´esent´e orient´e ci-contre.

IV. Pour celles, et ceux, qui ont compris(6 points)

Une plaque “infinie”, d’´epaisseura, est le si`ege d’une densit´e de courant~j(~r) uniforme, `a savoir

~j(x, y, z) =

½jˆz, siy∈]−a/2, a/2[ ; 0, autrement.

1)(1,75 pt.) Analyser soigneusement les sym´etries et les inva- riances dont jouit cette source, et leurs cons´equences sur le champ magn´etique cr´e´e.

2)(2,25 pt.) En d´eduire, au moyen du th´eor`eme d’Amp`ere, les valeurs des composantes cart´esiennes du champ, Bx(x, y, z), By(x, y, z) etBz(x, y, z), en tous points.

3)(0,75 pt.) A l’aide de ces expressions, calculer les com- posantes de∇ ∧~ B. Comparer ces derni`~ eres aux composantes de~j.

4)(0,5 pt.) Un circuit carr´e, de cˆot´e c, parcouru par le courant I, est dispos´e parall`element `a la plaque et `a sa densit´e de courant, comme indiqu´e ci-contre. Calculer les composantes des forces magn´etiques s’exer¸cant sur chacun des cˆot´es du circuit.

5)(0,5 pt.) Qu’en concluez-vous en ce qui concerne la r´esul- tante et le moment des forces magn´etiques s’exer¸cant sur ce circuit ?

6)(0,25 pt.) Pouviez-vous pr´evoir ces derniers r´esultats, sans gu`ere de calculs, `a l’aide de formules que — quoiqu’elles aient ´et´e r´ecemment d´emontr´ees en cours — vous devriez d´ej`a connaˆıtre par cœur.

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