DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire ` a param` etres
Soit (m, β)∈R2. On introduit l’´equation diff´erentielle :
(Em,β) : (m−1)y00+ 2my0+ (m+ 1)y=eβx. On s’int´eresse `a ses solutions d´efinies surRet `a valeurs r´eelles.
Partie A – Le cas o` u m = 1
On suppose dans cette partiem= 1 : c’est un cas particulier puisque l’´equation est alors d’ordre 1.
A.1R´esoudre l’´equationEm,β.
A.2D´eterminer l’unique solutionfβ `aEm,β valant 1 en 0.
A.3V´erifier quefβ0(0) est une valeur ind´ependante deβ, et d´eterminer cette valeur.
Partie B – Le cas o` u m 6= 1
B.1Soitm0 ∈R, distinct dem. On suppose disposer d’une solution communeψ`aEm,βetEm0,β. Soitλ∈R. Montrer queψest solution deEm00,β, o`um00=λm+ (1−λ)m0.
Cela montre (inutile de d´etailler) que pour β fix´e, une fonction est solution commune `a tous lesEm00,β, o`u m00d´ecritR, si et seulement si c’est une solution commune `a deux de ces ´equations.
On suppose d´esormaism6= 1 : l’´equation est donc d’ordre 2.
B.2R´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee `a l’´equationEm,β.
B.3 On suppose dans cette questionβ =−1 et m= 0. D´eterminer l’unique solution ϕ de Em,β telle que ϕ(0) = 1 etϕ0(0) =−12.
B.4 On suppose ici β = −1. V´erifier que l’unique solution au probl`eme de Cauchy associ´e `a Em,β et les conditions initialesy(0) = 1 ety0(0) =−12 est la fonctionϕ.
B.5Montrer que −1 est la seule valeur deβ pour laquelle toutes les ´equationsEm,β, o`u m d´ecritR\ {1}, admettent une solution commune.
