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P r o b l è m e : D a n s u n r e p è r e o r t h o n o r m é ( O , I , J ) O I = O J = 1 c m o n c o n s i d è r e l e s p o i n t s A ( - 2 ; - 3 ) ; B ( - 4 ; 4 ) ; C ( 3 ; 6 ) . 1 ) F a i r e u n f i g u r e q u e l ' o n c o m p l ê t e r a t o u t a

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Problème :

Dans un repère orthonormé (O,I,J) OI=OJ=1cm on considère les points A(-2;-3) ; B(-4;4); C(3 ; 6).

1) Faire un figure que l'on complêtera tout au long du problème.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs AB BC→ → →AC 3) Calculer AB ; BC ; AC

Quelle est la nature du triangle ABC ? Pourquoi ?

4)Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.

Quelle est la nature de ABCD ? Pourquoi ?

5) Montrez que le triangle est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6) Montrez que D appartient au cercle.

7) Soit E l'image de C par la translation de vecteur AB→ Calculr les coordonnées de E

8) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ? 9) Calculez l'aire de ABEC ?

Problème :

Dans un repère orthonormé (O,I,J) OI=OJ=1cm on considère les points A(-2;-3) ; B(-4;4); C(3 ; 6).

1) Faire un figure que l'on complêtera tout au long du problème.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs AB BC→ → →AC 3) Calculer AB ; BC ; AC

Quelle est la nature du triangle ABC ? Pourquoi ?

4)Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.

Quelle est la nature de ABCD ? Pourquoi ?

5) Montrez que le triangle est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6) Montrez que D appartient au cercle.

7) Soit E l'image de C par la translation de vecteur AB→ Calculr les coordonnées de E

8) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ? 9) Calculez l'aire de ABEC ?

Problème :

Dans un repère orthonormé (O,I,J) OI=OJ=1cm on considère les points A(-2;-3) ; B(-4;4); C(3 ; 6).

1) Faire un figure que l'on complêtera tout au long du problème.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs AB BC→ → →AC 3) Calculer AB ; BC ; AC

Quelle est la nature du triangle ABC ? Pourquoi ?

4)Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.

Quelle est la nature de ABCD ? Pourquoi ?

5) Montrez que le triangle est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6) Montrez que D appartient au cercle.

7) Soit E l'image de C par la translation de vecteur AB→ Calculr les coordonnées de E

8) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ? 9) Calculez l'aire de ABEC ?

(2)

Problème : Correction Dans un repère orthonormé (O,I,J) OI=OJ=1cm on considère les points :

A(-2;-3) ; B(-4;4); C(3 ; 6).1) Faire un figure que l'on complêtera tout au long du problème.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs AB BC→ → →AC

3) Calculer AB ; BC ; AC Quelle est la nature du triangle ABC ? Pourquoi ?

4)Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.

Quelle est la nature de ABCD ? Pourquoi ?

5) Montrez que le triangle est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6) Montrez que D appartient au cercle.7) Soit E l'image de C par la translation de vecteur AB→ Calculer les coordonnées de E8) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ? 9) Calculez l'aire de ABEC ?

J I

A B

C

D E

y'

x x'

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

AB x x y y AB AB

BC x x y y BC BC

AC x x y y AC AC

B A B A

C B C B

C A C A

→ − − →

− + + →

→ − − →

+ + →

→ − − →

+ + →

; ; ;

; ; ;

; ; ;

4 2 4 3 2 7

3 4 6 3 7 9

3 2 6 3 5 9

AC BC AB

= + = + =

= + = + =

= − + = + =

5 9 25 81 106

7 2 49 4 53

2 7 4 49 53

2 2

2 2

2 2

( )

AB = BC = 53 donc ABC est un triangle isocèle De plus :AC²=106

AB²+BC²=53 +53 = 106 Donc AC²=AB²+BC²

D'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle et isocèle.

4) Soit D(x ; y) tel que ABCD soit un parallélogramme.

( ) ( )

ABDC AB DC xC x yD C yD DC x y

= → →

− →

− − →

− −

( 2 7; ) ; 3 ;6

Si deux vecteurs sont égaux alors leurs coordonnées sont égales 3-x = -2 et 6-y = 7

-x=--3-2 et -y = 7-6

-x = -5 et -y = 1 x = 5 et y=-1

D(5 ; -1)

ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit donc abcd est un rectangle de plus

BC = AB. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même mesure alors c'est un carré donc ABCD est un carré

5) ABC est un triangle rectangle en B donc ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AC]

Le rayon du cercle est donc 106

2 Le centre du cercle est M le milieu de [AC] donc M x x y y

A+ C A+ C M

 



− + − +

 

 

  2 2 

2 3 2

3 6 2

3

; ; M 1;2

2

ABC est inscrit dans le cercle de centre M et re rayon 106

2

6) Dans un carré les diagonales sont égales et se coupent en leur milieu donc MA = MD = 106 2 donc

D ∈C(M ; 106 2 )

7) Soit E(x ; y) l'image de C par la translation de

vecteurAB donc AB =CE AB

(

2 7;

)

CE x

(

3;y6

)

x -3 = -2 et y - 6 = 7 x = -2+3 = 1 et y = 7+6 = 13 E(1 ; 13)

(3)

8) D'après le 7) ABCE

= →

donc ABEC est un parallélogramme

L'aire d'un parallélogramme est égale au produit d'un côté par la hauteur correspondante. Donc Aire(ABEC)

= BC×AC car (CB) et (BA) sont perpendiculaires.

Aire ABEC( )= 53× 53=53cm²

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