EXERCICE 4 Partie A Etude d’un cas particulier 1) a)

EXERCICE 4

Partie A Etude d’un cas particulier 1) a)

−a

b − a = −1 − i √ 3 1 − √

3 + ! 1 + √

3 "

i − 1 − i √ 3

= −1 − i √ 3

− √

3 + i = (−1 − i √ 3)(− √

3 − i) (− √

3 + i)(− √

3 − i) =

√ 3 + i + 3i − √ 3 (− √

3)

²

+ 1

²

= i.

−a b − a = i.

b) AO

AB = |0 − a|

|b − a| =

#

#

#

#

−a b − a

#

#

#

#

= |i| = 1 et donc AO = AB. Le triangle OAB est isocèle en A.

! − → AB, −− →

AO "

= arg

$ −a

b − a

%

= arg(i) = π

2 [2π]. Le triangle OAB est rectangle en A.

Le triangle OAB est rectangle isocèle en A.

2) L’expression complexe de la rotation r est z

^!

= e

^2iπ/3

z ou encore z

^!

=

&

− 1 2 + i

√ 3 2

'

z. Par suite,

c =

&

− 1 2 + i

√ 3 2

' a =

&

− 1 2 + i

√ 3 2

'

(1 + i √

3) = − 1 2 − i

√ 3 2 + i

√ 3 2 − 3

2 = −2.

c = −2.

3) a) Soit M(x, y) un point du plan.

M ∈ (AC) ⇔ −− AM → et − AC → sont colinéaires ⇔

#

#

#

#

x − 1 −2 − 1 y − √

3 0 − √ 3

#

#

#

#

= 0 ⇔ − √

3(x − 1) + 3(y − √ 3) = 0

⇔ 3y = √

3x + 2 √

3 ⇔ y =

√ 3

3 (x + 2).

Une équation de la droite (AC) est y =

√ 3

3 (x + 2).

b) L’affixe du milieu E du segment [BD] est

e = b + d 2 =

1 − √ 3 + !

1 + √ 3 "

i − 2 − 2i

2 = − 1 + √

3

2 + i −1 + √ 3 2 . Par suite,

√ 3

3 (x

E

+ 2) =

√ 3 3

&

− 1 + √ 3 2 + 2

'

=

√ 3

3 × 3 − √ 3

2 = −3 + 3 √ 3

3 × 2 = −1 + √ 3 2 = y

E

. Le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B Etude du cas général 1) a

^!

= e

^iθ

a et b

^!

= e

^iθ

b.

2) a) p = a + a

^!

2 = a + e

^iθ

a

2 = 1 + e

^iθ

2 a et de même q = 1 + e

^iθ

2 b.

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!c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.

b) q − p = 1 + e

^iθ

2 b − 1 + e

^iθ

2 a = 1 + e

^iθ

2 (b − a). Maintenant, b − a % = 0 puis pour θ ∈ ]0, 2π[, 1 + e

^iθ

2 = 0 ⇔ e

^iθ

= −1 ⇔ θ = π.

Ainsi, pour θ % = π, on a q − p % = 0 et

−p q − p =

1 + e

^iθ

2 × (−a) 1 + e

^iθ

2 × (b − a)

= −a b − a .

Pour θ = π, on a P = Q = O.

c) Pour θ % = π, on a ! − → PQ, − →

PO "

= arg

$ −p

q − p

%

= arg

$ −a

b − a

%

= π

2 [2π] d’après la question A.1)a). Donc la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).

d) Pour θ % = π, on a P % = O. De plus, puisque le triangle OAA

^!

est isocèle en O et que le point P est le milieu de [AA

^!

], la droite (OP) est la médiatrice du segment [AA

^!

]. En particulier, la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (AA

^!

) qui est aussi la droite (PA).

D’après la question précédente, la droite (OP) est également perpendiculaire à la droite (PQ). On en déduit que les droites (PA) et (PQ) sont parallèles. Puisque ces droites ont en commun le point P, ces droites sont confondues et donc le point Q appartient à la droite (PA) qui est aussi la droite (AA

^!

).

Ce dernier résultat reste vrai quand θ = π car alors Q = P ou encore Q est le milieu du segment [AA

^!

].

Le point Q appartient à la droite (AA

^!

).

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