Partie A Pour tout réel

(1)

1^ère S – Devoir commun de mai 2017 - corrigé – page 1/4

1^ère S Devoir commun de mathématiques de mai 2017 - corrigé Exercice 1 ( 7 points = (0,75 + 0,5 + 1,25) + (0,25 + 1,75 + 0,5) + (1,25 + 0,25 + 0,5 ) ) Partie A

Pour tout réel ,

1°) 0 1 0 0 1 0 1 1.

2°) a) Pour tout réel , donc 3 2 b) 0 1 ⇔ 0 0 0 1 ⇔ 1

0 0 ⇔ 3 0 2 0 0 ⇔ 0

1 0 ⇔ 1 1 1 0 ⇔ 0 1 0 ⇔ 1 1 1 ⇔ 3 1 2 1 1 ⇔ 3 2 0 1 ⇔ 3 2 1 On obtient le système suivant :

13 2 1 ⇔ 2 2 2

3 2 1 ⇔ 1

1 ⇔ 1 2 Pour tout réel , 2 1

Partie B

Pour tout réel , 2 4 8 1°) 3 4 4

2°) Δ 4 4 4 3 4 16 48 64 √Δ

2 4 √64

2 3 4 8 6 2

3 √Δ

2 4 √64

2 3 4 8 6 2

−∞ 2

3 2 + ∞

′ + 0 − 0 +

256

0 27

0

3°) Sachant que " #, " # et d’après le tableau de variations, ⩽ 0 pour ∈ &∞ ; 2& et ⩾ 0 pour ∈ *2 ; ∞*

−∞ + ∞

− 0 + 0 + Partie C

Pour tout réel , 2 1. 1°) + ∶ - 2 2 2

Pour tout réel , 3 4 donc 2 3 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1 donc + ∶ - 4 2 1

⇔ - 4 7

2°) a) Pour tout réel , 4 7

2 1 4 7

2 1 4 7 2 4 8

b) pour ∈ &∞ ; 2&, ⩽ 0

⇔ 4 7 ⩽ 0 ⇔ ⩽ 4 7 donc /₀ est en-dessous de + sur &∞ ; 2&

pour ∈ *2 ; ∞*, ⩾ 0

donc /₀ est au-dessus de + sur *2 ; ∞*

(2)

Exercice 2 ( 4 points = (0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,5) + (0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,75 + 0,5) ) Partie A

1)

2) a) L'évènement 1 ∩ + signifie que la boîte provient du fournisseur 1 et ne présente pas de pesticides.

2) b) 341 ∩ +5 0,2 0,8 0,16

3) 34+5 346 ∩ +5 341 ∩ +5 0,8 0,9 0,2 0,8 0,88

Partie B

1) On répète de manière identique et indépendante une expérience aléatoire ayant exactement deux issues et dont la probabilité du succès est : 8 34+5 0,88.

La variable aléatoire 9 représente le nombre de succès parmi les dix essais.

Par conséquent, 9 suit une loi binomiale de paramètres : 10 ;< 8 0,88

2) a) 39 7 4⁼_>5 0,88^> 0,12 ≃ 0,08 2) b) 39 10 0,88⁼ ≃ 0,28

3) 39 ⩾ 8 39 8 39 9 39 10 ≃ 0,2330 0,37977 0,27850 ≃ 0,89 Ou bien 39 ⩾ 8 1 39 ⩽ 7 ≃ 1 0,11 ≃ 0,89

4) Définissons une nouvelle variable aléatoire @ qui suit une loi binomiale de paramètres : 1 000 et 8′ 0,12.

Par propriété de l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale, nous avons A@ : 8 120

On peut donc estimer que sur 1 000 boîtes achetées, 120 contiendront des pesticides.

Autre méthode :

A9 : 8 10 0,88 8,8

donc on peut estimer qu’en moyenne, sur 10 boîtes, il y en a 8,8 qui ne contiennent pas de pesticides, donc sur 1000 boîtes, il y en a 8,8 100 880 qui n’en contiennent pas, donc sur 1000 boîtes, il y en a 120 qui contiennent des pesticides.

(3)

Exercice 3 ( 4 points = (0,75 + 0,25) + (0,25 + 0,75 + 0,5) + (1 + 0,5) ) 1°) a)

b) La suite B_C semble diverger vers ∞.

2°) a) Pour tout : de ℕ, B_CE B_C et pour tout de ℝ, 0,25² 1 Pour tout : de ℕ, B_CE B_C B_C B_C 0,25B_C 1 B_C 0,25B_C B_C 1 b) Signe de 0,25 1 sur ℝ :

Δ 4 1 4 0,25 1 0

₌ 2 1

2 0,25 1 0,5 2

−∞ 2 + ∞

0,25 1 + 0 +

c) Pour tout de ℝ, 0,25 1 ⩾ 0

donc pour tout : de ℕ, 0,25B_C B_C 1 ⩾ 0

⇔ B_CE B_C ⩾ 0

⇔ B_CE ⩾ B_C

donc la suite B_C est croissante.

3°) a) Tant que U ⩽10^H faire

U prend la valeur 0,25 U 1 Afficher N

b) B_J ≃ 3203,9 ⩽ 10^H et B_K ≃ 2,57 10^L M 10^H donc la valeur affichée par l’algorithme est : 9

(4)

Exercice 4 ( 5 points = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) N° 273π

12 91π

4 88π 3π

4 22π 3π

4 11 2π 3π 4 QR

S T2πU V π 4 T2πU donc affirmation fausse

Autre méthode : ^>W X^W_HY 23π et 23π n’est pas un multiple entier de 2π.

° ∀ ∈ ℝ, sin X π

2Y cosπ cos ` 3π

2 a sin cos cos sin sin 0 donc affirmation vraie

Q° ∶ 5 2- 1 0 ⇔ - 5 2 1

2 et ∶ - 5 2 3 d

V d

donc et n’ont pas le même coefficient directeur donc et ne sont opq oprpssèstq donc et sont sécantes, donc affirmation vraie

S° On considère le triangle de sommets les trois points 6 1 ; 3, 1 4 ; 5 et u 2 ; 3. Soit w le milieu de T61U. Le point w a pour coordonnée ` 1 4

2 ; 3 5

2 a soit 1,5 ; 1 uw{{{{| X1,5 21 3Y X3,5

4Y donc uw a une équation de la forme 4 3,5- 0 u ∈ uw donc 4 2 3,5 3 0 ⇔ 2,5

donc uw ∶ 4 3,5- 2,5 0 ⇔ 4 3,5- 2,5 0

cette équation n’est pas équivalente à 4 3- 1 0 donc affirmation fausse Autres méthodes :

• le point w n’appartient pas à la droite Δ d’équation 4 3- 1 0

• Les droites uw et Δ n’ont pas le même coefficient directeur, ou des vecteurs directeurs colinéaires

d° 6}{{{{{| 12 6u{{{{{| 6A{{{{{| 13 61{{{{{| 1~{{{{{| 21u{{{{{|

}A{{{{{| }6{{{{{| 61{{{{{| 12 6u{{{{{| 13 61{{{{{|

}~{{{{{| }6{{{{{| 61{{{{{| 1~{{{{{|

1

2 6u{{{{{| 61{{{{{| 21u{{{{{|

1

2 6u{{{{{| 61{{{{{| 2416{{{{{| 6u{{{{{|5 1

2 6u{{{{{| 61{{{{{| 261{{{{{| 26u{{{{{|

3

2 6u{{{{{| 61{{{{{|

donc }~{{{{{| 3}A{{{{{|

donc les vecteurs }~{{{{{| et {{{{{| sont colinéaires }A donc les points }, A et ~ sont alignés.

donc affirmation vraie