w sont coplanaires si et seulement si u et v sont colinéaires ou il existe α et β dans R tels que

On consid`ere l’espace affine, not´eE, comme un ensemble de points.

L’ensemble des vecteurs deE, not´eE, est muni d’une structure d’espace vectoriel surR. Le vecteur nul est not´e−→

0 .

SoitAun point deE et −→u un vecteur, on noteA+−→u le pointB d´efini par la relation−−→

AB =−→u (cela signifie aussi queB est le translat´e deApar la translation de vecteur−→u).

I.

Bases et rep` eres

D´efinition 1 : Deux vecteurs −→u et −→v sont dits colin´eaires si et seulement si il existe un r´eel λtel que

−

→u =λ−→v ou−→v =λ−→u.

D´efinition 2 : Trois vecteurs−→u ,−→v et−w→sontcoplanaires si et seulement si

∃(α, β, γ)∈R³, tels que (α, β, γ)6= (0,0,0) etα−→u +β−→v +γ−w→=−→ 0 .

Remarque : on dit que la famille (−→u ,−→v ,−w→) est li´ee.

Dans le cas contraire, on dit qu’elle estlibre: interpr´etation ?

Soient−→u,−→v et −w→des vecteurs coplanaires.

Il existe (α, β, γ)∈R³, tels que (α, β, γ)6= (0,0,0) et α−→u +β−→v +γ−w→=−→

0 . On peut supposer queγ 6= 0 (sinon on aα6= 0 ouβ 6= 0, et il suffit de changer les rˆoles de~u,~vetw~ dans ce qui suit), et r´e´ecrire la relation pour obtenirα⁰etβ⁰dansRtels que−w→=α⁰−→u +β⁰−→v . Donc−w→est dans le plan vectoriel engendr´e par~uet~v.

On note V ect(~u, ~v) ={−w→∈E /∃ (α, β)∈R², −w→=α−→u +β−→v } et on l’appelle plan vectoriel engendr´e par~uet~v.

On peut retenir aussi :

−

→u, −→v et −w→ sont coplanaires si et seulement si ~u et ~v sont colin´eaires ou il existe α et β dans Rtels que

~

w=α~u+β~v.

Coordonn´ees cart´esiennes

D´efinition 3 : On appellebasetout triplet (~u, ~v, ~w) o`u~u,~v etw~ ne sont pas coplanaires.

On appellerep`ere cart´esientout quadruplet (A;~u, ~v, ~w) o`uAest un point deEet (~u, ~v, ~w) une base deE.

D´efinition 4 : Soient (O,~ı,~, ~k) un rep`ere cart´esien de l’espace.

Pour tout vecteur~udeE, il existe un unique triplet (x, y, z) de r´eels tels que~u=x~ı +y~ +z~k.

On appelle (x, y, z)les coordonn´eesde~udans la base (~ı,~, ~k).

Pour tout pointM ∈ E, il existe un unique triplet (x, y, z) de r´eels tels que−−−→

OM =x~ı +y~ +z~k.

On appelle (x, y, z) les coordonn´ees deM dans le rep`ere (O,~ı,~, ~k).

D´efinition 5 : Soient~u,~vdeux vecteurs de l’espace. On d´efinit l’angle (non orient´e) de~uet~v par :

∠(~u, ~v) = 0 si~uet~v sont colin´eaires,

∠(~u, ~v) est l’angle non orient´e de~uet~vdans le planV ect(~u, ~v).

Dans tous les cas, cet angle est dans [0, π].

L’espace est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O,~ı,~, ~k).

On d´efinit, comme dans le plan, pour toutθr´eel :

−

→u = cosθ ~ı + sinθ ~

−

→v =−sinθ ~ı + cosθ ~ La base (~u, ~v, ~k) est une base orthonorm´ee directe.

Coordonn´ees cylindriques

SoitM un point de coordonn´ees cart´esiennes (x, y, z) dans (O,~ı,~, ~k). SoitP le projet´e orthogonal deM sur le plan (xOy) et soit (r, θ) un couple de coordonn´ees polaires deP dans le plan (xOy) (pour la base (~ı,~)).

D´efinition 6 :

Le triplet(r, θ, z)est appel´e syst`eme de coordonn´ees cylindriques du pointM relativement au rep`ere(O,~ı,~, ~k).

r est appel´e distance `a l’axe,θ est appel´e azimut (ou longitude) et z est appel´e cote du pointM. On a donc : −−−→

OM =r~u+z ~k etOM =√ r²+z²

Si M a pour coordonn´ees cylindriques (r, θ, z) alors ses coordonn´ees cart´esiennes sont







x=rcosθ y=rsinθ z=z

Attention, comme pour les coordonn´ees polaires, il n’y a pas unicit´e des coordonn´ees cylindriques d’un point et elles sont associ´ees `a la donn´ee d’un rep`ere cart´esien (O,~ı,~, ~k).

Coordonn´ees sph´eriques

SoitM un point de coordonn´ees cart´esiennes (x, y, z) dans (O,~ı,~, ~k). SoitP le projet´e orthogonal deM sur le plan (xOy).

Posonsr=OM,θ=Ecart(~k,−−−→

OM ) etϕ´egale `a une mesure de l’angle orient´e (~ı,−−→

OP ) (dans (xOy)).

D´efinition 7 :

Le triplet(r, θ, ϕ)est appel´e syst`eme de coordonn´ees sph´eriques du pointM relativement au rep`ere(O,~ı,~, ~k).

r est appel´e rayon,θ est appel´e colatitude etϕest appel´ee longitude du pointM.

On a donc : −−−→

OM =rsinθ ~u(ϕ) +rcosθ ~ketOM =r

Si M a pour coordonn´ees sph´eriques (r, θ, ϕ) alors ses coordonn´ees cart´esiennes sont







x=rsinθcosϕ y=rsinθsinϕ z=rcosθ

II.

Produit scalaire

E est muni d’un rep`ere cart´esien (O,~ı,~, ~k).

1. D´efinitions

D´efinition 8 : Soient ~u,~v deux vecteurs coordonn´ees (x, y, z), resp. (x⁰, y⁰, z⁰).

Leproduit scalairede~uet~v, not´e~u·~v est le r´eel~u·~v=xx⁰+yy⁰+zz⁰. D´efinition 9 : Soit~uun vecteur de l’espace.

La norme euclidienne de~uest le r´eel positifk~uk=√

~ u·~u.

Remarque: pour un vecteur~ude coordonn´ees (x, y, z), on ak~uk=p

x²+y²+z².

On appelle distance euclidienne deA`aB, deux points du plan de coordonn´ees (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB), le r´eelAB=p

(x_A−x_B)²+ (y_A−y_B)²+ (z_A−z_B)².

D´efinition 10 : Deux vecteurs~uet~v sont orthogonaux si et seulement si~u·~v= 0.

Proposition 1 : sym´etrie et bilin´earit´e Soient~u,~v, etw~ trois vecteurs.

a. ~u·~v=~v·~u.

b. ∀λ, µ∈R, ~u·(λ~v+µ ~w) =λ~u·~v+µ~u·w.~

∀λ, µ∈R, (λ~u+µ~v)·w~ =λ~u·w~ +µ~u·w.~ d´emo: comme dans le plan, en utilisant l’expression...

2. Bases et rep`eres orthonorm´es

D´efinition 11 : Soit (~u, ~v, ~w) une base de l’espace.

On dit que (~u, ~v, ~w) est une base orthonorm´ee ou orthonormale (b.o.n.) si ~u, ~v et w~ sont de norme 1 (unitaires) et orthogonaux deux `a deux.

On parle aussi de rep`ere orthonorm´e.

Remarque: (~ı,~, ~k) est une base orthonorm´ee.

Proposition 2 : Soit (~u, ~v, ~w) une base orthonorm´ee de l’espace.

a. Soient−→a et −→

b deux vecteurs de coordonn´ees (α, β, γ) et (α⁰, β⁰, γ⁰) dans (~u, ~v, ~w).

On a−→a ·−→

b =αα⁰+ββ⁰+γγ⁰. b. Soit−→a un vecteur.

Les coordonn´ees de−→a dans la base (~u, ~v, ~w) sont donn´ees par (~u· −→a , ~v· −→a , ~w· −→a ).

Questions 1:

• D´emontrer la proposition 2. Peut-on ´ecrire le r´esultat avec une ´equivalence (comme en g´eom´etrie plane) ?

• Soit ~u le vecteur de coordonn´ees (1,−1,3). Donner un vecteur orthogonal `a ~u. En donner un deuxi`eme qui n’est pas colin´eaire au premier.

• Soit (~u, ~v) deux vecteurs tels que ~u·~v= 0, k~uk= 1, k~vk= 1.

Montrer qu’il existe un vecteurw~ tel que~u·w~ = 0,~v·w~ = 0 etkwk~ = 1.

• Soit~uun vecteur unitaire. Montrer qu’il existe (~v, ~w) tels que (~u, ~v, ~w) soit une base orthonorm´ee de l’espace.

3. Interpr´etation g´eom´etrique

Proposition 3 : Soient~u,~v deux vecteurs de l’espace et∠(~u, ~v) l’angle non orient´e entre ~uet~v.

~u·~v=

k~ukk~vkcos∠(~u, ~v) si~u, ~v sont non nuls.

0 sinon.

d´emo: Soient~u,~vdeux vecteurs de l’espace.

L’id´ee de la d´emonstraton est de se placer dans un plan contenant~uet~v.

Premier cas : ~uou~vest le vecteur nul : on obtient que~u·~v= 0.

Deuxi`eme cas : ~uet~vsont non nuls.

•Si ~uet ~v sont colin´eaires.

Il existeλ∈Rtel que~u=λ~vet on a∠(~u, ~v) =

0 siλ >0

π siλ <0 donc cos∠(~u, ~v) =signe(λ)1.

Ensuite, on v´erifie que~u·~v=signe(λ)k~ukk~vk. Donc~u·~v=k~ukk~vkcos∠(~u, ~v).

•Si ~uet ~v ne sont pas colin´eaires.

On se place dans le plan−→

P dirig´e par~uet~v. On noteθ=∠(~u, ~v)∈[0, π].

On note~u1 = ~u

k~uk et~v1 le vecteur tel que (~u1, ~v1) soit une base orthonorm´ee de ce plan. Soit enfinw~1 tel que (~u1, ~v1, ~w1) soit une base orthonorm´ee de l’espace.

On a alors

~

u=k~uk~u1,~v=k~vkcosθ1~u1+k~vksinθ1~v1 o`uθ1=±θ est l’angle orient´e de~uet~vdans le planP.

Donc, en calculant le produit scalaire dans la base orthonorm´ee (~u1, ~v1, ~w1), on obtient~u·~v=k~ukk~vkcosθ.

Proposition 4 : In´egalit´e de Cauchy-Schwarz Soient~u,~v deux vecteurs de l’espace. On a

|~u·~v| ≤ k~uk k~vk.

III.

Produit vectoriel

E est muni d’un rep`ere cart´esien (O,~ı,~, ~k).

1. D´efinitions

D´efinition 12 : Soient~u,~v deux vecteurs coordonn´ees (x, y, z), resp. (x⁰, y⁰, z⁰).

Leproduit vectorielde~uet~v, not´e~u∧~v est le vecteur de coordonn´ees (yz⁰−y⁰z, zx⁰−z⁰x, xy⁰−x⁰y).

Pour le calcul, on adoptera la disposition suivante : ~u

x y z

∧ ~v

x⁰ y⁰ z⁰ On remarque que~ı∧~ =~k, que~∧~k=~ı et encore que~k∧~ı =~.

2. Propri´et´es

Proposition 5 : antisym´etrie et bilin´earit´e Soient~u,~v, etw~ trois vecteurs.

a. ~u∧~v=−~v∧~u.

b. ∀λ, µ∈R, ~u∧(λ~v+µ ~w) =λ~u∧~v+µ~u∧w.~

∀λ, µ∈R, (λ~u+µ~v)∧w~ =λ~u∧w~+µ~v∧w.~

d´emo: un petit calcul...

Proposition 6 : Soient~u,~v deux vecteurs de l’espace.

a. ~u∧~v=−→

0 si et seulement si~uet~vsont colin´eaires.

b. ~u∧~v est un vecteur orthogonal `a~uet `a~v.

d´emo:

a. •Supposons que~uet~v sont colin´eaires. Si l’un de ces vecteurs est nul, on a bien ~u∧~v=−→

0 . Supposons donc que~uet~vsont non nuls : il existeλ∈R^∗ tel que~v=λ~u. Leurs coordonn´ees sont proportionnelles : (x⁰, y⁰, z⁰) =λ(x, y, z).

On calcule alors les coordonn´ees de~u∧~v. Par exemple,yz⁰−y⁰z =y×λz−λyz= 0. Les autres calculs sont similaires. Donc~u∧~v=−→

0 .

•Supposons que~u∧~v=−→ 0 .

Les couples (y, z) et (y⁰, z⁰) sont proportionnels, de mˆeme que les couples (x, z) et (x⁰, z⁰), et les couples (x, y) et (x⁰, y⁰).

On peut donc v´erifier que le coefficient de proportionnalit´e pour tous ces couples est le mˆeme.

Ainsi les triplets (x, y, z) et (x⁰, y⁰, z⁰) sont proportionnels : ~uet~vsont donc colin´eaires.

b.

~

u∧~v·~u= (yz⁰−y⁰z)x+ (zx⁰−z⁰x)y+ (xy⁰−x⁰y)z

=xyz⁰−y⁰zx+zx⁰y−z⁰xy+xy⁰z−x⁰yz

= 0

Donc les vecteurs~u∧~vet~usont orthogonaux. Le calcul de~u∧~v·~vest similiare.

Proposition 7 : Identit´e de Lagrange Soient~u,~v deux vecteurs de l’espace. On a

k~u∧~vk²+ (~u·~v)²=k~uk² k~vk².

d´emo: un simple calcul...

k~u∧~vk²+ (~u·~v)² = (yz⁰−y⁰z)²+ (zx⁰−z⁰x)²+ (xy⁰−x⁰y)²+ (xx⁰+yy⁰+zz⁰)²

=y²z⁰²+y⁰²z²+z²x⁰²+z⁰²x²+x²y⁰²+x⁰²y²+x²x⁰²+y²y⁰²+z²z⁰²

= (x²+y²+z²)(x⁰²+y⁰²+z⁰²)

=k~uk² k~vk²

Proposition 8 : Norme du produit vectoriel

Soient~u,~vdeux vecteurs de l’espace. On note∠(~u, ~v) l’angle non orient´e de~uet ~v (dans le plan dirig´e par

~

uet~v). On a

k~u∧~vk=k~uk k~vk sin∠(~u, ~v).

d´emo: C’est une cons´equence de l’identit´e de Lagrange et du fait que~u·~v=k~ukk~vkcos∠(~u, ~v). On utilisera aussi le fait que l’angle non orient´e∠(~u, ~v) est un ´el´ement de [0, π] pour justifier l’absence de valeur absolue sur le sinus.

Remarque: Ceci implique que k~u∧~vk est l’aire du parall´elogramme construit sur les vecteurs~u et~v dans le plan dirig´e par~uet~v.

Proposition 9 : Double produit vectoriel Soient−→a ,−→

b ,−→c trois vecteurs de l’espace.

−

→a ∧(−→

b ∧ −→c ) = (−→c · −→a )−→ b −(−→

b · −→a )−→c .

d´emo: un petit calcul... Notonsαla premi`ere composante de−→a ∧(−→ b ∧ −→c ).

−

→a

x y z

et~v∧w~

y⁰z⁰⁰−y⁰⁰z⁰ z⁰x⁰⁰−z⁰⁰x⁰ x⁰y⁰⁰−x⁰⁰y⁰

. On en d´eduit

α=y(x⁰y⁰⁰−x⁰⁰y⁰)−z(z⁰x⁰⁰−z⁰⁰x⁰)

=yy⁰⁰x⁰+zz⁰⁰x⁰−yy⁰x⁰⁰−zz⁰x⁰⁰

= (xx⁰⁰+yy⁰⁰+zz⁰⁰)x⁰−(xx⁰+yy⁰+zz⁰)x⁰⁰

On reconnaˆıt la premi`ere composante de (−→c · −→a )−→ b −(−→

b · −→a )−→c . Les autres se calculent de mˆeme.

3. Orientation de l’espace

D´efinition 13 : Soit (~u, ~v, ~w) une base orthonorm´ee de l’espace. On dit que (~u, ~v, ~w) est une base orthonorm´ee directe si~u∧~v=w,~ ~v∧w~ =~uetw~∧~u=~v.

Proposition 10 : Soit (~u, ~v, ~w) une base orthonorm´ee directe de l’espace.

Soient−→a et −→

b deux vecteurs de coordonn´ee (α, β, γ) et (α⁰, β⁰, γ⁰) dans (~u, ~v, ~w).

Le vecteur−→a ∧−→

b a pour coordonn´ees (βγ⁰−β⁰γ, γα⁰−γ⁰α, αβ⁰−α⁰β).

d´emo:

−

→a ∧−→

b = (α~u+β~v+γ ~w)∧(α⁰~u+β⁰~v+γ⁰w)~

=αβ⁰~u∧~v+αγ⁰~u∧w~+βα⁰~v∧~u+βγ⁰~v∧w~+γα⁰w~∧~u+γβ⁰w~∧~v

= (αβ⁰−βα⁰)~u∧~v+ (γα⁰−αγ⁰)w~∧~u+ (βγ⁰−γβ⁰)~v∧w~

= (αβ⁰−βα⁰)w~+ (γα⁰−αγ⁰)~v+ (βγ⁰−γβ⁰)~u

On a utilis´e le fait que la base est orthonorm´ee directe : ~u∧~v=w,...~ Questions 2:

• Soient~u(−1,2,1) et~v(2,0,4). Calculer le produit vectoriel~u∧~v.

• Soit (~u, ~v, ~w) une base orthonorm´ee de l’espace. On suppose que~u∧~v=w, montrer que~ ~v∧w~ =~u etw~ ∧~u=~v. Conclusion sur la d´efinition 11 ?

• Soient~u,~v deux vecteurs non colin´eaires. Montrer que la famille (~u, ~v, ~u∧~v) est libre.

On suppose de plus que~uet~vsont deux vecteurs unitaires et orthogonaux. Montrer que (~u, ~v, ~u∧~v) est une base orthonorm´ee directe.

IV.

D´ eterminant

D´efinition 14 : Soient~u,~v etw~ trois vecteurs de l’espace.

On appelled´eterminant(ou produit mixte), et on note det(~u, ~v, ~w) le r´eel det(~u, ~v, ~w) = (~u∧~v)·w~

=xy⁰z⁰⁰+x⁰y⁰⁰z+x⁰⁰yz⁰−x⁰⁰y⁰z−x⁰yz⁰⁰−xy⁰⁰z⁰

On note det(~u, ~v, ~w) =

x x⁰ x⁰⁰ y y⁰ y⁰⁰ z z⁰ z⁰⁰

. Proposition 11 : Trilin´earit´e

Le d´eterminant det : E×E×E → R (−→a ,−→

b ,−→c ) 7→ det(−→a ,−→

b ,−→c ) est une forme trilin´eaire : elle est lin´eaire par rapport `a chacune de ses variables.

La lin´earit´e par rapport `a la troisi`eme variable s’´ecrit ainsi : soient~u,~v,w~ et~tquatre vecteurs de l’espace, et λ, µdeux r´eels.

det(~u, ~v, λ ~w+µ~t) =λdet(~u, ~v, ~w) +µdet(~u, ~v, ~t).

La preuve se fait par le calcul.

Proposition 12 : Antisym´etrie

Soient~u,~v etw~ trois vecteurs de l’espace.

1. Si parmi les trois vecteurs, deux sont ´egaux, alors det(~u, ~v, ~w) = 0.

2. det(~u, ~v, ~w) =−det(~v, ~u, ~w) et det(~u, ~v, ~w) =−det(~u, ~w, ~v).

3. det(~u, ~v, ~w) = det(~v, ~w, ~u) = det(w, ~~ u, ~v).

On dit aussi que le d´eterminant est une forme altern´ee.

d´emo: Plusieurs d´emonstrations sont possibles.

La premi`ere propri´et´e est une cons´equence de la d´efinition (~u∧~v)·w.~ La deuxi`eme d´ecoule alors de la premi`ere et de la trilin´earit´e.

On a : det(~u+~v, ~u+~v, ~w) = det(~u, ~u, ~w) + det(~u, ~v, ~w) + det(~v, ~u, ~w) + det(~v, ~v, ~w).

Cela permet de montrer la premi`ere partie du deuxi`eme point. Une d´emonstration similaire donne la deuxi`eme partie du deuxi`eme point. Le troisi`eme d´ecoule du deuxi`eme point !

On peut aussi tout d´emontrer par le calcul !

Proposition 13 : Soient~u,~v etw~ trois vecteurs de l’espace.

~

u,~v etw~ sont coplanaires si et seulement si det(~u, ~v, ~w) = 0.

d´emo:•Supposons~u,~vetw~ coplanaires.

Si l’un des vecteurs est nul, alors on a bien det(~u, ~v, ~w) = 0.

Si~uet~vsont colin´eaires, alors~u∧~v=−→

0 , donc det(~u, ~v, ~w) = 0.

Supposons donc que les trois vecteurs sont non nuls et que~uet~vne sont pas colin´eaires.

~

wpeut donc s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire de~uet~v: il existeλetµdes r´eels tels quew~ =λ~u+µ~v.

Mais~u∧~vest orthogonal `a~uet `a~v. On obtient donc~u∧~v·w~= 0. Donc det(~u, ~v, ~w) = 0.

On a donc montr´e dans tous les cas que det(~u, ~v, ~w) = 0.

•Supposons det(~u, ~v, ~w) = 0.

On en d´eduit quew~ est orthogonal `a~u∧~v.

Si l’un des vecteurs est nul ou si ~uet~v sont colin´eaires, on peut conclure directement que les trois vecteurs sont coplanaires. Suposons donc que les trois vecteurs sont non nuls et que~uet~vne sont pas colin´eaires.

Dans ce cas, la famille (~u, ~v, ~u∧~v) forme une base (cfquestions 2).

Notons (α, β, γ) les coordonn´ees dew~ dans cette base : w~ =α~u+β~v+γ~u∧~v.

En prenant le produit scalaire dew~ avec~u∧~v, on obtient queγk~u∧~vk²= 0, ce qui impliqueγ= 0 (puisque lorsque

~

uet~vne sont pas colin´eaires, on a~u∧~v6=−→ 0 ).

Donc le vecteurw~ est une combinaison lin´eaire de~uet~v: les trois vecteurs sont coplanaires.

Dans tous les cas, on a montr´e que les trois vecteurs sont coplanaires.

Retenez bien cette propri´et´e : le d´eterminant caract´erise en particulier la coplanarit´e de trois vecteurs, ou de quatre points : A,B,C,D coplanaires si et seulement si det(−−→

AB ,−−→

AC ,−−→

AD) = 0.

Interpr´etation g´eom´etrique

Proposition 14 : Soient~u,~v etw~ trois vecteurs de l’espace.

|det(~u, ~v, ~w)|est ´egal au volume du parallel´epip`ede s’appuyant sur les vecteurs~u,~v,w.~ d´emo: un dessin...

|(~u∧~v)·w|~ =k~u∧~vk

| {z } aire

k~wk|cos(~u∧~v, ~w)|

| {z } hauteur

Orientation de l’espace

L’espace est en fait orient´e grˆace au d´eterminant : on dit qu’une famille libre de trois vecteurs est directe si son d´eterminant est positif, indirecte sinon.

Revenons sur la construction du produit vectoriel :

soient~u,~vdeux vecteurs non colin´eaires. Il existe un unique vecteur−→n de norme 1 tel que la famille (~u, ~v,−→n) soit directe. Le vecteur~u∧~v est le vecteurk~ukk~vksin∠(~u, ~v)−→n .

Questions 3:

• Calculer le d´eterminant des vecteurs~u(1,−1,2),~v(0,2,−1) etw(−2,~ 0,4).

• Soient deux vecteurs~uet~vtels que~u∧~v est le vecteur de coordonn´ees (1,−1,2).

On notew~ le vecteur de coordonn´ees (2,4,3). D´eterminer ´eterminer det(~u, ~v, ~w).

Donner deux vecteurs~uet~v v´erifiant l’hypoth`ese.

• Lequel des triplets suivants n’a pas le mˆeme d´eterminant que (~u, ~v, ~w)

a. (~v, ~u,−~w) ? b. (~u+w, ~~ v−w, ~~ w) ? c. (−~u,−~v,−w) ?~ d. (~u+~v, ~v+w, ~~ w) ?

V.

Plans

1. D´efinitions et ´equations param´etriques

D´efinition 15 : SoitA∈ E et −→u ,~v deux vecteurs non colin´eaires.

On appelleplan affinepassant parAet dirig´ee par~uet~v l’ensemble des pointsM deE tels que−−−→ AM ,~uet

~v sont coplanaires.

La direction−→

P deP est un plan vectoriel : c’est l’ensemble des vecteurs coplanaires `a~uet~v, not´eV ect(~u, ~v).

On noteP =A+V ect(~u, ~v).

On utilisera l’´equivalence suivante : M ∈ P ⇐⇒ ∃λ, µ∈R, −−−→

AM =λ~u+µ~v.

On peut aussi utiliser : V ect(~u, ~v) ={λ~u+µ~v, (λ, µ)∈R²}.

On munit l’espace d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,~ı,~, ~k).

Le plan passant parA(xA, yA, zA) et dirig´e par les vecteurs~u(α1, β1, γ1) et~v(α2, β2, γ2) non colin´eaires admet pour ´equations param´etriques :







x=xA+λα1+µα2

y=yA+λβ1+µβ2, z=zA+λγ1+µγ2

(λ, µ)∈R² .

D´efinition 16 : Un vecteur est dit normal`a un planP si et seulement si il est orthogonal `a tout vecteur de V ect(~u, ~v).

On ne peut pas d´efinir une orientation naturelle de tous les plans de l’espace. Pour chaque plan, on peut d´efinir une orientation li´ee `a l’orientation de l’espace et `a la donn´ee d’un vecteur normal `a ce plan.

Proposition 15 : SoitAun point de l’espaceE et −→n un vecteur non nul.

Il existe un unique plan passant parAet normal `a−→n.

d´emo: On peut supposer que−→n est unitaire et consid´erer~uet~vtels que (−→n , ~u, ~v) soit une base orthonorm´ee directe de l’espace. On a alors−→n =~u∧~v.

SoitP le plan passant parAet dirig´e par~uet~v: −→n est normal `aP.

SoitP1 un autre plan passant parAet normal `a−→n. Notons~u1et~v1 ses vecteurs directeurs.

On a−→n ·~u1= 0, donc det(~u, ~v, ~u1) =~u∧~v·~u1= 0, donc les vecteurs~u, ~v, ~u1 sont coplanaires.

De mˆeme, on montre que~v1 est une combinaison lin´eaire de~uet~v.

Les plansPetP1 sont donc dirig´es tous deux par~uet~vet passent parA: ils sont ´egaux.

D´efinition 17 :

• Deux plans sont ditsparall`elessi ils sont dirig´es par un mˆeme plan vectoriel.

Cela ´equivaut `a dire qu’ils ont un mˆeme vecteur normal non nul.

• Deux plans sont ditsorthogonauxsi ils ont des vecteurs normaux orthogonaux entre eux.

Remarque:

Lorsque deux plans sont orthogonaux, on dit aussi qu’ils sont perpendiculaires. En effet, on verra plus loin qu’ils sont n´ecessairement s´ecants.

2. ´Equations cart´esiennes

Proposition 16 : Soit (O,~ı,~, ~k) un rep`ere orthonorm´e.

•Tout planP admet une ´equation cart´esienne dans (O,~ı,~, ~k) de la formeax+by+cz+d= 0 aveca, b, c, d∈R et (a, b, c)6= (0,0,0).

Le vecteur de coordonn´ees (a, b, c) est alors un vecteur normal `a P.

• R´eciproquement, toute ´equation de ce type est l’´equation d’un plan orthogonal au vecteur de coordonn´ees (a, b, c).

On parled’´equation normaled’un plan lorsque les coefficientsa, b, cv´erifienta²+b²+c²= 1.

d´emo: SoitPpassant parA(x0, y0, z0) dirig´e par~u,~vnon colin´eaires.

M(x, y, z)∈ P ⇐⇒ −−−→

AM , ~u, ~vsont coplanaires

⇐⇒ det(−−−→

AM , ~u, ~v) = 0

⇐⇒ ~u∧~v·−−−→ AM = 0.

On note (a, b, c) les composantes de~u∧~vdans (O,~ı,~, ~k).

On a donc montr´e queM(x, y, z)∈ P ⇐⇒ a(x−x0) +b(y−y0) +c(z−z0) = 0.

SoitP={M(x, y, z)∈ E / ax+by+cz+d= 0}. On suppose que (a, b, c)6= (0,0,0).

On justifie que l’on peut trouver (x0, y0, z0) tel queax0+by0+cz0+d= 0.

On note alors−→n le vecteur de coordonn´ees (a, b, c) etAle point de coordonn´ees (x0, y0, z0).

On v´erifie alors queM ∈ P ⇐⇒ −−−→

AM · −→n = 0.

Pest donc le plan passant parAet normal `a−→n .

En pratique : pour trouver une ´equation cart´esienne d’un plan

•d´efini par un pointA et sa direction Vect(~u, ~v), on ´ecrit

M(x, y, z)∈ P ⇐⇒ det(~u, ~v,−−−→ AM ) = 0

•d´efini par un pointA et un vecteur normal−→n , on ´ecrit M(x, y, z)∈ P ⇐⇒ −−−→

AM · −→n = 0

•d´efini par trois points non align´esA,B et C, on ´ecrit M(x, y, z)∈ P ⇐⇒ det(−−→

AB ,−−→

AC −−−→ AM ) = 0

Proposition 17 : SoientP1 etP2 d´equations cart´esiennes respectivesa1x+b1y+c1z+d1= 0 et a2x+b2y+c2z+d2= 0.

P1 et P2 sont parall`eles si et seulement si (a1, b1, c1) et (a2, b2, c2) sont proportionnels.

Ils sont ´egaux si et seulement si (a₁, b₁, c₁, d₁) et (a₂, b₂, c₂, d₂) sont proportionnels.

Questions 4:

• SoitP un plan dirig´e par~uet~v. Montrer que tout vecteur normal au planP est colin´eaire `a~u∧~v.

• D´eterminer une ´equation du planP passant par A(1,0,−1) et de vecteur normal−→n(−1,1,2).

Le plan d’´equationx−y−2z+ 1 = 0 est-il parall`ele `a P ?

Donner une ´equation d’un plan perpendiculaire `aP passant parB(0,2,−1).

• Soitm∈R. SoitP_m={M ∈ E / (m²+ 2m)x+ (1−m²)y+ (−m²−m+ 1)z+m−1 = 0}

Montrer que P_m est un plan. Montrer que tous les plans P_m (quand m varie dans R passent par un point fixe que l’on pr´ecisera.

• D´eterminer un rep`ere orthonormal du plan d’´equation 2x−3y+z= 5.

VI.

Droites

1. D´efinitions et ´equations param´etriques

D´efinition 18 : SoientA∈ E et−→u un vecteur non nul.

On appelledroite affinepassant parAet dirig´ee par−→u l’ensemble des pointsM deE tels que −−−→ AM et −→u sont colin´eaires. On la note (A;−→u ).

La direction−→

D deDest une droite vectorielle : c’est l’ensemble des vecteurs colin´eaires `a ~u.

Tout vecteur de−→

D est un vecteur directeur de D.

On note aussi : (A;−→u) ={A+λ−→u , λ∈R}.

On utilisera l’´equivalence suivante : M ∈(A;~u) ⇐⇒ ∃λ∈R, −−−→ AM =λ~u.

On munit l’espace d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,~ı,~, ~k).

La droite passant parA(xA, yA, zA) et dirig´ee par le vecteur~u(α, β, γ) non nul admet pour´equations param´etriques:







x=x_A+tα y=y_A+tβ, z=z_A+tγ

t∈R.

2. ´Equations cart´esiennes

Proposition 18 : SoientP1 etP2 non parall`eles. Soient−→n1 et−→n2 des vecteurs normaux deP1et P2 . L’intersection deP1 etP2est une droite dirig´ee par−→n1 ∧ −→n2 .

d´emo:

•commen¸cons par montrer queP1∩ P2 est non vide.

On notea1x+b1y+c1z+d1= 0 eta2x+b2y+c2z+d2= 0 des ´equations cart´esiennes deP1 etP2. Les vecteurs−→n1 et−→n2 de coordonn´ees (a1, b1, c1) et (a2, b2, c2) ne sont pas colin´eaires (pourquoi ?).

Donc le vecteur−→n1 ∧ −→n2 est non nul. L’une de ses composantes est donc non nulle, supposons que la premi`ere est non nulle :

b1 b2

c1 c2

6= 0.

Cherchons maintenant un pointM(x, y, z) dansP1∩ P2 : M(x, y, z)∈ P1∩ P2 ⇐⇒

a1x+b1y+c1z+d1= 0 a2x+b2y+c2z+d2= 0 On posex= 0 et on consid`ere le syst`eme d’inconnue (y, z) :

b1y+c1z+d1= 0 b2y+c2z+d2= 0 .

Ce syst`eme admet une solution (y0, z0) (pourquoi ?). Le pointAde coordonn´ees (0, y0, z0) est donc dansP1∩ P2.

•Montrons que P1∩ P2 est une droite.

SoitM de coordonn´ees (x, y, z).

M(x, y, z)∈ P1∩ P2 ⇐⇒ −−−→

AM est orthogonal `a−→n1 et−→n2 ,

⇐⇒ −−−→

AM est colin´eaire `a−→n1 ∧ −→n2 . P1∩ P2 est donc la droite passant parAet dirig´ee par−→n1 ∧ −→n2 .

Proposition 19 : Toute droite poss`ede unsyst`eme d’´equations cart´esiennesde la forme a1x+b1y+c1z+d1= 0

a2x+b2y+c2z+d2= 0

aveca1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2 des r´eels et (a1, b1, c1) et (a2, b2, c2) non proportionnels.

R´eciproquement, tout syst`eme d’´equations cart´esiennes de cette forme d´ecrit une droite.

d´emo: •soitDune droite passant par A, dirig´ee par~uunitaire. On choisit~v etw~ tels que (~u, ~v, ~w) soit une base orthonorm´ee directe.

Dest alors l’intersection du planP1 passant parAet normal `a~vet du planP2 passant parAet passant parw.~

•La r´eciproque d´ecoule directement de la propri´et´e pr´ec´edente.

Proposition 20 : Soient a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2 des r´eels tels que (a1, b1, c1) et (a2, b2, c2) ne sont pas proportionnels.

SoitDla droite d’´equations

a₁x+b₁y+c₁z+d₁= 0 a₂x+b₂y+c₂z+d₂= 0 .

• Si (λ, µ)6= (0,0), l’ensemble d’´equation cart´esienne

(λa₁+µa₂)x+ (λb₁+µb₂)y+ (λc₁+µc₂)z+ (λd₁+µd₂) = 0 est un plan contenantD.

• Tout plan contenantDadmet une ´equation de ce type.

d´emo:

• L’´equation propos´ee est bien une ´equation de plan car (a1, b1, c1) et (a2, b2, c2) ne sont pas proportionnels donc il n’existe pas de couple (λ, µ)6= (0,0) tel que les trois coefficientsλa1+µa2,λb1+µb2 etλc1+µc2 sont simultan´ement nuls. Les points deDont des coordonn´ees v´erifiant les deux ´equations du syst`eme, donc leurs coordonn´ees v´erifient l’´equation (λa1+µa2)x+ (λb1+µb2)y+ (λc1+µc2)z+ (λd1+µd2) = 0.

•R´eciproquement, soitP un plan contenantD.

Dest dirig´ee par−→u1 ∧ −→u2 avec−→u1 (a1, b1, c1) et−→u2 (a2, b2, c2).

Soit−→n un vecteur normal `aP.

−

→n est un vecteur orthogonal `a−→u1 ∧ −→u2 , donc det(−→u1 ,−→u2 ,−→n ) = 0.

On en d´eduit que−→n est une combinaison lin´eaire de−→u1 et−→u2 : il existeλetµtels que−→n =λ−→u1 +µ−→u2 . Padmet donc une ´eqaution du type : (λa1+µa2)x+ (λb1+µb2)y+ (λc1+µc2)z+d= 0 o`ud∈R.

Pour d´eterminerd, on utilise un pointAdeD: Aest dansPet ses coordonn´ees v´erifient les ´equations deD, ce qui permet de calculerd=λd1+µd2.

Remarque: il existe donc une infinit´e de plans contenant une droiteD, on parle de faisceau de plans.

Questions 5:

• Dans la d´emonstration de la proposition 18, pourquoi les vecteurs−→n1 et−→n2 ne sont pas colin´eaires ? Pourquoi le syst`eme admet une solution ?

• Etes-vous convaincu par la d´ˆ emonstration de la proposition 19 ?

• D´eterminer un syst`eme d´equations cart´esiennes de la droiteDpassant parA(−1,2,1) et dirig´ee par

~

u(0,2,−3). Donner un plan contenantDet normal au vecteur~v(1,0,0).

3. Intersection droite/plan D´efinition 19 :

Une droiteDest parall`ele `a un planP si un vecteur directeur deDest dans la direction −→ P deP. Remarque:

SoitDdroite dirig´ee par~uet P plan dirig´e par~vet w.~

Dest parall`ele `aP si et seulement si~u,~vetw~ sont coplanaires, doncDest parall`ele `aP si et seulement si det(~u, ~v, ~w) = 0.

Proposition 21 :

• Une droite parall`ele `a un plan est contenue dansP ou disjointe deP.

• Une droite non parall`ele `a un planP coupe celui-ci en un unique point.

d´emo: Montrons le deuxi`eme point.

Consid´eronsDla droite passant parA, dirig´ee par~uetPle plan passant parBet orthogonal `a−→n. SoitM un point deD: il existeλ∈Rtel que−−−→

AM =λ~u.

M∈ P ⇐⇒ −−−→

BM · −→n = 0,

⇐⇒ (−−→

BA +−−−→

AM )· −→n = 0,

⇐⇒ −−→

BA · −→n +λ~u· −→n = 0,

Or~un’est pas dans la direction deP, donc~u· −→n 6= 0, M∈ P ⇐⇒ λ=−

−−→BA · −→n

~ u· −→n .

Il existe donc un uniqueλ∈Rconvenant. Il y a donc un unique point d’intersection deP etD.

D´efinition 20 :

Deux droites sont ditesparall`elessi leurs vecteurs directeurs sont colin´eaires.

Deux droites sont ditesorthogonalessi leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Deux droites sont ditesperpendiculairessi elles sont orthogonales et s´ecantes.

Deux droites sont ditescoplanaires si elles sont parall`eles ou s´ecantes.

Questions 6:

• D´eterminer des ´equations cart´esiennes de la droiteDpassant parA(1,0,2) et dirig´ee par~u(−2,1,1).

D´eterminer les positions relatives deDet de la droiteD⁰ passant parB(0,−3,4) et perpendiculaire au plan d’´equation 2x−y+z= 1.

On prend le pointC(2,−4,3) et la droite (BC). Montrer que (BC) etDsont coplanaires et donner une repr´esentation param´etrique et une ´equation cart´esienne d’un plan les contenant.

• Montrer que le syst`eme







a1x+b1y+c1z+d1= 0 a2x+b2y+c2z+d2= 0 a3x+b3y+c3z+d3= 0

admet une unique solution si et seulement si

son d´eterminant

a₁ b₁ c₁ a2 b2 c2

a3 b3 c3

est non nul.

Il faudra faire une interpr´etation g´eom´etrique du syst`eme et on pourra appliquer ce qui pr´ec`ede en s’int´eressant plutˆot aux vecteurs normaux des plans en jeu.

• Justifier que eux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont incluses dans un mˆeme plan.

Justifier que les droites (AB) et (CD) sont coplanaires si et seulement si les points A, B C et D sont coplanaires.

4. Distances

a. Distance d’un point `a un plan

SoitP un plan etM un point de l’espace.

Le projet´e orthogonal de M surP est l’unique point H deP tel que−−−→

M H est orthogonal `aP.

D´efinition 21 : La distance de M `a P, not´ee d(A,P), est le r´eel d(M,P) = M H o`u H est le projet´e orthogonal deM surP.

C’est la plus petite distance entreM et un point deP : d(M,P) = min{M N, N∈ P}.

Proposition 22 : SoitP un plan etM un point de l’espace.

• P est d´efini par un pointAet un vecteur normal −→n : d(M,P) = |−−−→ AM · −→n|

k−→n k .

• P est d´efini par un pointAet sa direction Vect(~u, ~v) : d(M,P) = |det(~u, ~v,−−−→ AM )|

k~u∧~vk .

• P est d´efini par une ´equation cart´esienneax+by+cz+d= 0 : d(M,P) =|ax_M +by_M +cz_M +d|

√a²+b²+c² o`u (xM, yM, zM) d´esignent les coordonn´ees deM.

d´emo:

On noteH le projet´e orthogonal deM surP.

•On calcule−−−→

AM · −→n = (−−→

AH +−−−→

HM)· −→n =−−−→

HM · −→n car−−→

AH et−→n sont orthognaux.

Or−−−→

HM est colin´eaire `a−→n , donc|−−−→

HM · −→n |=HMk−→nk. On en d´eduit le r´esultat.

•Pour le deuxi`eme cas, prendre−→n =~u∧~v.

•Pour le dernier cas, prendre−→n de coordonn´ees (a, b, c) et un pointA(x0, y0, z0) v´erifiant l’´equation deP.

On calcule−−−→

AM · −→n =|axM+byM+czM +d|.

b. Distance d’un point `a une doite

SoitDune droite etM un point de l’espace.

On noteH le projet´e orthogonal deM surD: c’est l’unique point d’intersection deDavec le plan passant parM et de vecteur normal un vecteur directeur de D.

D´efinition 22 : La distance de M `a D, not´ee d(A,D), est le r´eel d(M,D) = M H o`u H est le projet´e orthogonal deM surD.

C’est la plus petite distance entreM et un point deD: d(M,D) = min{M N, N∈ D}.

Proposition 23 : SoitDune droite passant parAet dirig´ee par~u. SoitM un point de l’espace.

d(M,D) =k~u∧−−−→ AM k k~uk . d´emo:

On noteH le projet´e orthogonal deM surD.

~ u∧−−−→

AM =~u∧(−−→

AH +−−−→

HM) =~u∧−−−→

HM car~uet−−→

AH sont colin´eaires.

donck~u∧−−−→

AM k=k~u∧−−−→

HMk=k~uk k−−−→

HM kcar~uet−−−→

HM sont orthogonaux.

c. Perpendiculaire commune `a deux droites

Proposition 24 : SoitD1 etD2deux droites non parall`eles.

Il existe une unique droite ∆ perpendiculaire `a D1 etD2. ∆ est appel´eeperpendiculaire commune`a D1

etD2. d´emo:

SoitD1 la droite passant parA1 et dirig´ee par~u, soitD2 la droite passant parA2 et dirig´ee par~v.

Analyse : si ∆ est perpendiculaire `aD1 etD2, alors elle est dirig´ee par un vecteur orthogonal `a~uet `a~v, donc par~u∧~v(qui est bien un vecteur non nul, pourquoi ?).

∆ contient un point deD1, elle est donc contenue dans le planP1passant parA1, dirig´e par~uet~u∧~v. De mˆeme, ∆ est contenue dans le planP2 passant parA2, dirig´e par~vet~u∧~v.

Synth`ese : SoitP1plan passant parA1, dirig´e par~uet~u∧~vetP2 passant parA2, dirig´e par~vet~u∧~v.

Ces deux plans sont bien d´efinis (car ~u et~u∧~v ne sont pas colin´eaires, etc...) et ne sont pas parall`eles (pourquoi ?).

Donc leur intersection est non vide et c’est une droite, que l’on note ∆.

∆ est dirig´ee par~u∧~v. ∆ etD1 sont contenues dansP1: elles sont donc coplanaires et orthogonales. Elles sont donc s´ecantes et finalement, on conclut que ∆ etD1sont perpendiculaires.

De mˆeme, on montre que ∆ etD2 sont perpendiculaires.

On a donc prouv´e l’existence de ∆. L’analyse prouve l’unicit´e : si une perpendicualire commune existe, elle est l’intersection de ces deux plans.

D´efinition 23 : SoitD1 etD2 deux droites non parall`eles. On note ∆ leur perpendiculaire commune et H1

(respectivementH2) l’intersection de ∆ etD1.

La distance deD1 `a D2, not´eed(D1,D2), est le r´eel d(D1,D2) =H1H2.

Proposition 25 : Soit D1 la droite passant par A1 et dirig´ee par ~u, soit D2 la droite passant par A2 et dirig´ee par~v. On suppose queD1 etD2 ne sont pas parall`eles.

d(D₁,D₂) =|det(~u, ~v,−−−−→

A1A2 )|

k~u∧~vk .

d´emo:

On note ∆ leur perpendiculaire commune etH1 (respectivementH2) l’intersection de ∆ etD1. det(~u, ~v,−−−−→

A1A2 ) = (~u∧~v)·−−−−→ A1A2 ,

= (~u∧~v)·(−−−−→

A1H1 +−−−−→

H1H2 +−−−−→

H2A2 ),

= (~u∧~v)·−−−−→

H1H2 , or−−−−→

H1H2 est colin´eaire `a~u∧~v,

|det(~u, ~v,−−−−→

A1A2)|=k~u∧~vkH1H2.

Proposition 26 : SoitD1 etD2 deux droites parall`eles. On noteA1 un point deD1 et A2 un point de D2, et~uun vecteur directeur deD1et D2. On noteH le projet´e orthogonal deA1 surD1.

•Toute droite passant par un pointM deD1 et dirig´ee par−−→

AH est perpendiculaire `a D1 et D2.

•Toute perpendiculaire commune `aD1et D2 est dirig´ee par−−−→

A1H .

•La distance deD1 `aD2est d(D1,D2) =A1H. Questions 7:

• D´eterminer la distance deA(1,2,3) `a la droiteDpassant parB(−1,1,0) et dirig´ee par~u(0,1,2).

• Montrer que pour tout pointM deD₁, pour tout pointN deD₂, on aM N ≥H₁H₂. Et prouver qu’il y a ´egalit´e si et seulement siM =H1 et N=H2.

On en d´eduira que H1H2 est la plus petite distance entre deux points de D1 etD2.

• Avec les notations pr´ec´edentes, montrer que les deux droitesD1etD2sont coplanaires si et seulement si det(~u, ~v,−−−−→

A1A2 ) = 0.

• On consid`ere les droitesD :

x−y+ 1 = 0

y−2z−1 = 0 etD⁰ :

x+ 2y−z= 0 2x−3y+z−2 = 0 . D´eterminer un point et un vecteur directeur de chacune de ces droites.

Sont-elles coplanaires ?

D´eterminer une perpendiculaire commune `a Det D⁰. VII.

Sph` eres

1. D´efinition

D´efinition 24 : soient Ω un point de l’espace etR∈]0,+∞[.

On appellesph`ere de centre Ω, de rayon R l’ensemble des pointsM de l’espace tels que ΩM =R.

Proposition 27 : Soit Ω de coordonn´ees (x0, y0, z0) etR >0.

La sph`ere de centreω et de rayonR a pour ´equation cart´esienne

(x−x0)²+ (y−y0)²+ (z−z0)²=R² .

Remarque:

• Toute sph`ere poss`ede une ´equation cart´esienne de la formex²+y²+z²−2αx−2βy−2γz+δ= 0 avecα, β, γ, δ∈Ret α²+β²+γ²−δ >0.

• R´eciproquement, tout ensemble ayant une ´equation cart´esienne de ce type est une sph`ere de centre Ω(α, β, γ) et de rayon R=p

α²+β²+γ²−δ.

•SoientAetB deux points distincts de l’espace. L’ensemble{M ∈ E /−−−→ M A ·−−−→

M B = 0}est une sph`ere de centre Ω, milieu de [AB], passant parAet B.

2. Intersection sph`ere/plan

Proposition 28 : SoitS la sph`ere de centre Ω et de rayonR. SoitPun plan. On noteHle projet´e orthogonal de Ω surP.

Sid(Ω,P)> RalorsS ∩ P =∅.

Sid(Ω,P) =RalorsS ∩ P est r´eduit au pointH. On dit que le planP est tangent `a S.

Sid(Ω,P)< RalorsS ∩ P est un cercle de centreH et de rayonp

R²−d(Ω,P)². d´emo:

SoitM ∈ P. −−→

ΩH et−−−→

HM sont orthogonaux, donc ΩM²= ΩH²+HM², donc ΩM ≥ΩH. Si ΩH > Ralors aucun point dePn’appartient aS.

Si ΩH=Ralors le seul point deP surS estH. Si ΩH < RalorsM∈ S ⇐⇒ HM=√

R²−ΩH². DoncM est sur le cercleC inclus dans le planP, de centre H et de rayonp

R²−d(Ω,P)². R´eciproquement, tout point de ce cercle est dansS ∩ P.

Remarque: Dans l’espace, un cercle est d´efini par un plan qui le contient, son rayon et son centre.

Il peut aussi ˆetre caract´eris´e par un axe ∆, son centre (sur ∆) et son rayon : dans ce cas, l’axe ∆ est la droite orthogonale au plan contenant le cercle passant par le centre du cercle.

3. Intersection droite/sph`ere

Proposition 29 : Soit S la sph`ere de centre Ω et de rayon R. Soit D une droite. On note H le projet´e orthogonal de Ω surD.

Sid(Ω,D)> R alorsS ∩ D=∅.

Sid(Ω,D) =R alorsS ∩ D est r´eduit au pointH. On dit que la droiteDest tangente `aS.

Sid(Ω,D)< R alorsS ∩ D est constitu´ee de deux points distincts.

d´emo:

On utilise un planP contenantDet Ω : il en existe un (unique si Ω∈ D), pourquoi ?/

Ω∈ Pdoncd(Ω,P) = 0 ce qui implique queP etS s’intersectent suivant un cercleC de centre Ω, de rayonR.

L’intersection deS etDest donc ´egale `a l’intersection deC etD.

On est donc ramen´e `a l’´etude de l’intersection droite/cercle dans le planP. Celle-ci est d´etermin´ee par la com- paraison entre ΩH etR.

En pratique , pour d´eterminer une intersection droite/sph`ere, il est conseill´e d’utiliser l’´equation cart´esienne du cercle associ´ee `a des ´equations param´etriques de la droite.

4. Intersection sph`ere/sph`ere

Proposition 30 : SoitS etS⁰ deux sph`eres de centres Ω, Ω⁰ et de rayons R,R⁰. On noted= ΩΩ⁰. Sid <|R−R⁰|oud > R+R⁰ alorsS ∩ S⁰ =∅.

Sid=|R−R⁰|alorsS ∩S⁰est r´eduite `a un pointH. On dit que les sph`eres sonttangentes int´erieurement.

Si|R−R⁰|< d < R+R⁰ alorsS ∩ S⁰ est un cercle contenu dans un plan orthogonal `a (ΩΩ⁰), et de centre le point d’intersection de ce plan avec (ΩΩ⁰).

Sid=R+R⁰ alorsS ∩ S⁰ est r´eduite `a un point. On dit que les sph`eres sonttangentes ext´erieurement.

d´emo:

La d´emonstration est similaire `a celle de l’intersection de deux cercles dans un plan. Il faut se placer dans un rep`ere adpat´e et se ramener `a l’intersection d’une sph`ere et d’un plan.

Questions 8:

• D´eterminer l’intersection de la sph`ere de centre Ω(1,2,−1) et de rayonR= 2 et de la droite ayant pour syst`eme d’´equations cart´esiennes

x=y y=z