Physique avancée I 14 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
Corrig´ e S´ erie 8 - Dynamique du point mat´ eriel
1. Coordonn´ees cylindriques et sph´eriques avec Poisson a) Le vecteur instantan´e de rotation ω du rep`ere
cylindrique (eρ,eφ,ez) par rapport au rep`ere cart´esien (ex,ey,ez) est de la forme,
ω=φ˙ = ˙φez , (1) car le rep`ere cylindrique est un rep`ere tourant autour de l’axe fixe ez.
Les formules de Poisson d´ecrivant la cin´ematique des vecteurs de base du rep`ere tourant sont
˙
eρ=ω∧eρ= ˙φez ∧eρ = ˙φeφ ,
˙
eφ=ω∧eφ = ˙φez∧eφ=−φ˙eρ ,
˙
ez =ω∧ez = ˙φez∧ez = 0 .
(2) b) Le vecteur instantan´e de rotation ω du rep`ere
sph´erique (er,eθ,eφ) par rapport au rep`ere cart´esien (ex,ey,ez) est de la forme,
ω=θ+˙ φ˙ = ˙θeφ+ ˙φez = ˙θeφ+ ˙φ(cosθer− sinθeθ) (3) car le rep`ere sph´erique est un rep`ere tourant au- tour des axes ez eteφ.
Les formules de Poisson d´ecrivant la cin´ematique des vecteurs de base du rep`ere tourant sont
˙
er =ω∧er= ˙θeφ∧er+ ˙φ(cosθer− sinθeθ)∧er
= ˙θeθ+ ˙φ sinθeφ ,
˙
eθ =ω∧eθ = ˙θeφ∧eθ+ ˙φ(cosθer−sinθeθ)∧eθ
=−θ˙er+ ˙φ cosθeφ ,
˙
eφ=ω∧eφ=
θ˙eφ∧eφ+ ˙φ(cosθer− sinθeθ)∧eφ
=−φ˙(sinθer+ cosθeθ) .
(4)
2. Bille dans un anneau tournant
a) Le mouvement de la bille a lieu `a rayon constantR = cst. Par cons´equent, on choisit donc un rep`ere sph´erique tournant (er,eθ,eφ). Le vecteur position est d´efini comme :
r =Rer (5)
Le vecteur vitesse v est obtenu par d´erivation du vecteur position (5) :
v =r˙ =Re˙r (6)
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En utilisant la premi`ere formule de Poisson (4) pour la d´eriv´ee du vecteur de base e˙r, le vecteur vitesse (6) s’´ecrit :
v =Rθ˙eθ+Rφ˙sinθeφ (7) b) Le vecteur acc´el´eration a est obtenu par d´erivation du vecteur vitesse (7) :
a=v˙ =Rθ¨eθ+Rθ˙e˙θ+Rθ˙φ˙cosθeφ+Rφ¨sinθeφ+Rφ˙sinθe˙φ (8) En utilisant la deuxi`eme et la troisi`eme formules de Poisson (4) pour la d´eriv´ee des vecteurs de base e˙θ ete˙φ, le vecteur acc´el´eration (8) s’´ecrit :
a =Rθ¨eθ− Rθ˙2er+Rθ˙φ˙cosθeφ+Rθ˙φ˙cosθeφ+Rφ¨sinθeφ
− Rφ˙2sin2θer− Rφ˙2sinθcosθeθ
=
−Rθ˙2− Rφ˙2sin2θ
er+
Rθ¨− Rφ˙2sinθcosθ
eθ+
Rφ¨sinθ+ 2Rθ˙φ˙cosθ eφ
(9)
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