Physique avancée I 7 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
Corrig´ e S´ erie 6 - Mouvement circulaire
1. Mouvement circulaire
a) La positionr, la vitessevet la vitesse angulaireωsont exprim´ees en coordonn´ees cart´esiennes (x, y, z) dans le rep`ere (O,ex,ey,ez) associ´e `a l’origineO comme,
r =
x y z
, v = ˙r =
˙ x
˙ y
˙ z
, ω =
0 0 ω
, (1)
ainsi,
ω×r =
ex 0 x ey 0 y ez ω z
=
−ωy ωx
0
. (2)
La vitesse v = ω×r projet´ee sur les axes du rep`ere cart´esien donne lieu respectivement aux ´equations diff´erentielles coupl´ees,
selon ex : x˙ =−ωy , (3)
selon ey : y˙ =ωx , (4)
selon ez : z˙ = 0 . (5)
L’´equation (5) implique que
z = cste , (6)
ce qui d´emontre que le mouvement a lieu dans le plan Oxy. La d´eriv´ee par rapport au temps des ´equations (3) et (4) (o`uω = cste) est de la forme,
¨
x=−ωy ,˙ (7)
¨
y=ωx .˙ (8)
En substituant les ´equations (3) et (4) dans les ´equations du mouvement (7) et (8) celles-ci deviennent,
¨
x=−ω2x , (9)
¨
y=−ω2y . (10)
b) La solution g´en´erale selon de l’´equation (9) est de la forme,
x(t) =Acos (ωt+φ) , (11)
o`uA etφ sont des constantes. Cette solution est un oscillateur harmonique qui correspond
`
a la projection du mouvement circulaire selon l’axe de coordonn´ees ex. L’amplitude du mouvement correspond au rayon du mouvement circulaire, i.e. A = R, ainsi l’´equation mouvement (11) se r´eduit `a,
x(t) =Rcos (ωt+φ) . (12)
Les ´equations (3) et (12) impliquent que le mouvement selon l’axeyest d´ecrit par l’´equation horaire
y(t) = Rsin (ωt+φ) , (13)
Corrig´e S´erie 6 - Mouvement circulaire 1/2
Physique avancée I 7 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
`
a une constante pr`es qui est nulle puisque le mouvement `a lieu autour de l’axe z qui passe par l’origine. L’angle de d´ephasage φ n’est pas d´efini puisque les conditions initiales du mouvement n’ont pas ´et´e sp´ecifi´ees.
Finalement, des ´equations du mouvement (12) et (13), on tire l’´equation de la trajectiore du mouvement circulaire, i.e.
x2(t) +y2(t) = R2 . (14)
2. Man`ege `a plancher r´etractable
a) Le syst`eme est la personne. Le man`ege est de forme cylindrique. On choisit donc un rep`ere cylindrique Oeρeθez centr´e sur l’axe du man`ege et dont le plan horizontal est `a la hauteur du centre de gravit´e de la personne. Pour que la personne soit en ´equilibre par rapport au man`ege sa distance au centre O du man`ege est constante, i.e.ρ=R, et sa vitesse angulaire est celle du man`ege, i.e. ˙θ=ω.
Les forces s’appliquant sur la personne sont :
• son poids P =mg =−mgez,
• la force de r´eaction de la paroi, N =−Neρ,
• la force de frottement statique avec la paroi Ff =Ffez. L’acc´eleration est de nature centrip`ete et vaut a=−Rω2eρ. La 2e loi de Newton s’´ecrit,
P +N +Ff =ma , (15)
Etant donn´e que le mouvement a lieu `a vitesse angulaire constante, il n’y a pas d’acc´eleration selon la composante tangentielle eθ. L’ ´equation du mouvement (15) s’´ecrit en composantes comme :
eρ: N =mRω2 , (16)
ez : −mg+Ff = 0 . (17) On constate donc qu’on ne peut pas simplement s’affranchir du frottement statique dans la description du probl`eme.
b) On sait d’apr`es les lois de Coulomb sur le frottement statique que la condition de non- glissement de la personne le long de la paroi est,
Ff ≤µsN . (18)
En substituant les conditions d’´equilibre (16) et (17) dans la condition (18), on en d´eduit que,
ω2 ≥ g
µsR . (19)
Ainsi, on obtient finalement,
ω≥ωmin = r g
µsR . (20)
Corrig´e S´erie 6 - Mouvement circulaire 2/2
