Corrig´ e S´ erie 20 - Dynamique du solide

Physique avancée I 2 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet

Corrig´ e S´ erie 20 - Dynamique du solide

1. Centre de masse et moment d’inertie d’une portion de sph`ere pleine

a) En pla¸cant l’origine d’un rep`ere cart´esien au centre de la sph`ere, l’axez confondu avec l’axe de r´evolution de l’objet, il vient par sym´etrie :x_cm =y_cm= 0

La coordonn´ee z_cm du centre de masse se calcule comme suit, en effectuant l’int´egrale en coordonn´ees sph´eriques (ρ=cste) :

z_cm = 1 M

Z

M

zdm= 1 M

Z

V

zρdV = 1 V

Z

V

zdV = 1 V

Z π/3 0

Z 2π 0

Z R 0

z r²sinθdrdφdθ (1) Nous avons que z =rcosθ. Donc :

zcm= 1 V

Z π/3 0

Z 2π 0

Z R 0

rcosθ r²sinθdrdφdθ = 1 V

R⁴ 4 2π1

2

sin²θπ/3

0 = 1

V 3πR⁴

16 (2) Reste `a calculer le volume :

V = Z

V

dV = Z π/3

0

Z 2π 0

Z R 0

r²sinθdrdφdθ = R³

3 2π[−cosθ]^π/3₀ = 2πR³

6 (3)

Et donc : z_cm= 1 V

3πR⁴ 16 = 9R

16.

b) Calcul du moment d’inertie autour de l’axe ∆ : I_∆=

Z

M

r²_⊥dm = Z

V

r_⊥²ρdV =ρ Z

V

r²_⊥dV =ρ Z π/3

0

Z 2π 0

Z R 0

r_⊥²r²sinθdrdφdθ (4) Nous avons que r⊥=rsinθ. Donc :

I∆ =ρ Z π/3

0

Z 2π 0

Z R 0

r²sin²θr²sinθdrdφdθ =ρR⁵ 5 2π

Z π/3 0

sin³θdθ (5) Calculons cette derni`ere int´egrale :

Z π/3 0

sin³θdθ = Z π/3

0

sinθ(1−cos²θ)dθ = Z π/3

0

sinθ− sinθcos²θ dθ

=

−cosθ+1 3cos³θ

π/3 0

= 5 24

(6)

Et ainsi on obtient :

I_∆=ρR⁵ 5 2π 5

24 = ρR⁵π

12 (7)

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2. Chute d’une barre en milieu visqueux

a) La vitesse du centre de masse s’´ecrit : v_G= ˙θL 2 En appliquant la conservation de l’´energie, on a :

E_initiale=E_{f inale} ⇒ mgL 2 = 1

2mv_G² +1

2I_Gθ˙² (8) mgL= ˙θ²

"

m L

2 2

+IG

#

(9) Rappel : pour une barre, I_G=m^L₁₂², on obtient :

θ˙² = mgL mL²

4 +I_G

⇒ v_G= L 2

v u u t

mgL mL²

4 +I_G

(10) b) On a :

v_i =v_G+

θ˙∧GP_i

(11) avec i = 1,2 indice des extrˆemit´es respectives de la barre.

La somme des forces ΣF^ext s’´ecrit donc : mg−ηh

v_G+

θ˙∧GP₁i

−ηh

v_G+

θ˙∧GP₂i (12) Ce qui donne ΣF^ext=mg−2ηv_G

car GP₁ =−GP₂.

Remarque : v_G et ˙θ varient avec le temps et sont d´etermin´es par les ´equations du mouvement donn´ees en c) et d).

c) Par le point pr´ec´edent, mv˙_G=mg−2ηv_G. Si la vitesse d’arriv´ee, initiale, de la barre dans le liquide n’a pas de composante surz, alors on a :

Sur x : v˙_Gx =−2η

mv_Gx Sur y : v˙_Gy =−g−2η

mv_Gy (13) On pourrait ´egalement ´ecrire ces r´esultats avec xG etyG.

d) On applique le th´eor`eme du moment cin´etique appliqu´e en G : I_G¨θzˆ=GP₁∧n

−ηh

v_G+

θ˙∧GP₁io

+GP₂∧n

−ηh

v_G+

θ˙∧GP₂io

=−2ηGP₁∧

θ˙∧GP₁ (14)

La projection surz donne l’´equation du mouvement pour la vitesse de rotation instantan´ee : IGθ¨=−2η

L 2

2

θ˙ (15)

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3. Projectile contre solide

a) La somme des forces ext´erieures est nulle. La quantit´e de mouvement totale P est donc conserv´ee, ce qui d´etermine la vitesse du centre de masse V_G du cube juste apr`es le choc,

P =mv_i =MV_G ⇒ V_G = m

M v_i (16)

o`u on a n´eglig´e la massemdu projectile par rapport `a la masseM du cube apr`es la collision, i.e. m M. Juste apr`es l’impact, le centre de masse Gsuit ainsi une trajectoire rectiligne dans la mˆeme direction que le projectile juste avant l’impact.

b) La somme des moments de forces ext´erieures est nulle. Le moment cin´etique est donc conserv´e.

c) Par conservation du moment cin´etique, le moment cin´etique total ´evalu´e en un point O du plan de la table `a air juste avant et juste apr`es le choc s’´ecrit

L_O =OA∧mv_i =OG∧MV_G+I_Gω , (17) o`u l’on a exprim´e le moment cin´etique apr`es le choc comme la somme du moment cin´etique OG∧MV_G associ´e `a la rotation du centre de masseGautour de l’axe vertical passant par O et du moment cin´etique L<sub>G</sub>=I<sub>G</sub>ω associ´e `a la rotation propre du cube autour de l’axe vertical passant par son centre de masseG. On a aussi n´eglig´e la massem du projectile par rapport `a la masse M du cube apr`es la collision, i.e. mM.

A pr´esent, on choisit un point O particulier qui se trouve sur la droite horizontale qui passe par le centre de masse Gdu cube. Ainsi,

OG∧V_G=0 (18)

Par cons´equent, dans ce cas, l’´equation (17) se r´eduit `a,

L_O =OA∧mv_i =I_Gω , (19) L’´equation vectorielle (19) est d´ecrite enti`erement selon l’axe vertical normal au plan de la table `a air. La projection de cette ´equation selon l’axe vertical z s’´ecrit

L

2 m v_i =I_Gω (20)

ce qui implique que la vitesse angulaire de rotation propre du cube autour de son centre de masse G juste apr`es le choc est donn´ee par

ω = L m v_i

2I_G (21)

d) La vitesse du sommet A du cube est donn´ee par

V_A=V_G+ω∧GA (22) La vitesse du centre de masse VG apr`es le choc, la vitesse angulaire ω et le vecteur GA s’´ecrivent respectivement en composantes comme

V_G=





˙ x

˙ y 0



 ω =



 0 0 θ˙



 GA= L

√2



 cosθ sinθ 0



 (23)

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avec θ l’angle entre l’axex et le vecteur GA. Ainsi,

VA=





˙ x

˙ y 0



+



 0 0 θ˙



∧ L

√2



 cosθ sinθ 0



=







˙

x− ^√L₂θ˙ sinθ

˙ y+^√L

2θ˙ cosθ 0





 (24) Le th´eor`eme du centre de masse s’´ecrit

MV˙G =−bVA (25)

Les projections de ce th´eor`eme selon les axes x et y s’´ecrivent Mx¨=−b

˙ x− L

√2

θ˙ sinθ

(26) My¨=−b

˙ y+ L

√2

θ˙ cosθ

(27) e) Le th´eor`eme du moment cin´etique appliqu´e au centre de masseG s’´ecrit

I_Gω˙ =GA∧(−bV_A) (28) o`u

GA∧(−bVA) =− bL

√2



 cosθ sinθ 0



∧







˙

x− ^√L₂θ˙ sinθ

˙ y+^√L

2θ˙ cosθ 0





=− bL

√2





0 0

˙

ycosθ− x˙sinθ+^√L

2

θ˙





(29) La projection de ce th´eor`eme selon l’axe z s’´ecrit

I_Gθ¨=− bL

√2

˙

ycosθ− x˙sinθ+ L

√2 θ˙

(30)

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