Physique avancée I 2 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
S´ erie 20 - Dynamique du solide
1. Centre de masse et moment d’inertie d’une portion de sph`ere pleine
On consid`ere un objet de masse volumique constante ρ ayant la forme d’une portion de sph`ere pleine de rayon R, dont le demi angle d’ouverture vautπ/3.
a) D´eterminer la position du centre de masse de cet objet.
b) Calculer le moment d’inertie de l’objet autour de son axe de r´evolution ∆.
Indication : l’int´egrale R
sin3θdθ peut ˆetre calcul´ee soit par parties, soit en remarquant que sin3θ= sinθsin2θ= sinθ(1−cos2θ).
2. Chute d’une barre en milieu visqueux
Une barre, pesante, homog`ene, de masse m, de longueur L, de section de taille n´egligeable, pivote sur une de ses extr´emit´es au bord d’une table puis chute d`es qu’elle atteint une position horizontale. Au-del`a de cette position, la barre tombe dans un liquide visqueux. L’effet du liquide est mod´elis´e par une force F fr = −ηv `a chaque extr´emit´e de la barre, o`u v est la vitesse de l’extr´emit´e.
Le mouvement est suppos´e dans un plan vertical.
a) D´eterminer la vitesse du centre de masse et la vitesse angulaire de la barre au moment o`u elle atteint la position horizontale. Le moment d’inertie de la barre par rapport `a un axe perpendiculaire `a la barre et contenant le centre de masse est donn´e par IG.
Les questions suivantes se r´ef`erent `a la barre dans le liquide visqueux :
b) Calculer la somme des forces ext´erieures en faisant r´ef´erence si n´ecessaire `a la vitesse du centre de masse et la vitesse angulaire instantan´ee.
c) D´eterminer l’´equation du mouvement du centre de masse.
d) D´eterminer l’´equation du mouvement pour la vitesse angulaire instantan´ee.
3. Projectile contre solide
Un cube, de cˆot´eL, homog`ene et ind´eformable, de masse M, glisse sur une table `a coussin d’air parfaitement horizontale (figure ci-dessous). Dans une premi`ere analyse, on n´egligera les
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frottements. Ce solide est au repos quand un projectile de massem, qui glisse aussi sur la table, le percute et reste coll´e `a un sommet du solide. La trajectoire du projectile est perpendiculaire
`
a un cˆot´e du solide dans sa position initiale.
La table est suppos´ee infiniment grande. La masse du projectile est n´egligeable par rapport
`
a celle du solide, c’est-`a-dire qu’on prendra M pour la masse du syst`eme r´esultant, solide + projectile.
a) Etant donn´e vi, la vitesse du projectile avant le choc, quelle est la vitesse du centre de masse apr`es le choc ? Quelle est la trajectoire du centre de masse ?
b) Expliquer pourquoi le moment cin´etique du syst`eme des deux objets est conserv´e dans la collision.
c) Quelle est la vitesse de rotation du solide apr`es le choc ?
On veut raffiner la description du mouvement du cube apr`es le choc. On suppose que le coin A du cube qui a re¸cu le projectile subit une force de frottement :
F fr=−bVA
d) Ecrire les ´equations du mouvement pour le centre de masse.
e) Ecrire les ´equations du mouvement pour l’angle de rotation du bloc.
D C
A B
G G
D
C
B
A Vue de dessus
avant impact Vue de dessus
après impact
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