M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

EXAMEN Lundi 14 juin, 16h–19h

Calculettes, bon sens et intelligence rigoureusement autoris´es

Avertissement

Les trois probl`emes propos´es commencent chacun par des questions, aussi ´el´ementaires qu’essentielles, amplement trait´ees en cours et en travaux dirig´es, et s’ach`event sur des questions plus subtiles voire physiques.

Quelques informations non n´ecessaires L’´equation de Navier-Stokes :¡

∂_t+ (v· ∇∇∇)¢ v=−1

ρ∇∇∇p+g+ν∆v Dans la base locale des coordonn´ees cylindriques : ∇∇∇=ˆr∂r+ˆθθθ1

r∂θ+ˆz∂z, ∆ˆzv(r) =ˆz1 r

d drrdv

dr

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A.On consid`ere un barreau parall´el´epip´edique (Lx, Ly, Lz) taill´e dans un mat´eriau correctement d´ecrit par le mod`ele ´elastique (module de Young E, coefficient de Poissonν).

i) Le barreau n’´etant soumis `a rien d’autre qu’une contrainte purement normale, disons c<sub>z</sub>, sur ses faces orthogonales `a l’arˆeteˆz, quelles sont les expressions des allongements (δL_z/L_z)_cz, (δL_x/L_x)_cz, (δL_y/L_y)_cz dus `a cet ´etat de contrainte ?

ii) Mˆemes questions :

— pour un ´etat de contrainte c_xpurement normale sur les faces orthogonales `axˆ;

— pour un ´etat de contrainte cy purement normale sur les faces orthogonales `a ˆy.

iii) En d´eduire les expressions des d´eformations principales en termes des contraintes principales dans un mat´eriau ´elastique isotrope.

B.Un barreau (Lx, Ly, Lz) taill´e dans un plastique (mat´eriau ´elastique souple) est log´e dans une rainure, de mˆeme largeurLy, taill´ee dans une plaque en acier (´elastique, relativement rigide). Le barreau de plas- tique est comprim´e (r´esultante F) dans la rainure par l’interm´ediaire d’un barreau en acier de mˆeme largeurLy.

i) Exprimez les conditions que ces liaisons (en n´egli- geant tous frottements entre le plastique et l’acier) imposent aux d´eformations et contraintes principales dans le barreau de plastique.

ii) En d´eduire les expressions de la contrainte principaleσ_y et des d´eformations principalesε_xet ε_z. iii) En d´eduire les expressions de l’´elongationδL_x du barreau, et de sa raideur effectiveF/δL_z. C. A l’aide des relations d´` eformations-contraintes en axes principaux, d´eterminez :

i) l’expression d’une composanteεij du tenseur des d´eformations, en rep`ere quelconque, en termes des composantes σkl du tenseur des contraintes ;

ii) et inversement, l’expression d’une composanteσij en termes des composantesεkl.

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

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L’objectif est d’estimer la perte de charge due `a un ´elargisse- ment brusque dans une conduite lorsque l’´ecoulement en amont de l’´elargissement est en r´egime de “turbulence d´evelopp´ee” (profil des vitesses moyennes uniforme et cons- tant) et que l’on retrouve ce r´egime, apr`es une certaine dis- tance, en aval de l’´elargissement.

A.i) ´Ecrire l’´equation de Bernoulli entre les sections 1 et 2.

ii) Comment s’´ecrit cette ´equation si, pour tenir compte, de mani`ere globale, de l’´energie dissip´ee par les frottements

visqueux au sein du fluide entre 1 et 2, on introduit un terme de perte de chargeC?

iii) En d´eduire, en utilisant la conservation du d´ebit, une expression de la perte de chargeCen termes de la vitesse en 1, du rapport des aires des sections 1 et 2, et de la diff´erence des pressions entre 1 et 2.

B.i) On observe que, dans la r´egion imm´ediatement en aval de l’´elargissement, l’´ecoulement se pr´esente sous forme d’un jet `a peu pr`es parall`ele, au sein d’une zone occup´ee par du fluide `a peu pr`es stagnant.

Que pouvez-vous alors dire de la valeur de la pression qui r`egne dans la zone de stagnation ?

ii) Recensez les forces parall`eles `a l’axe de la conduite agissant sur l’ensemble du fluide compris, `a un instant donn´e, entre les sections 1 et 2.

iii) Exprimez l’´equation de la variation de la quantit´e de mouvement de cette quantit´e de fluide, projet´ee sur l’axe de la conduite.

iv) En d´eduire, une expression de la diff´erence des pressions entre 1 et 2 en termes de la vitesse en 1 et du rapport des aires en 1 et 2.

C. i) En d´eduire l’expression de la perte de chargeCen termes des mˆemes quantit´es (formule de Borda).

ii) Discutez le signe obtenu pour C.

iii) Discutez la validit´e de l’expression de C en analysant la vraisemblance, voire la coh´erence, des hypoth`eses plus ou moins implicites qui ont permis de l’´etablir.

3

A.On consid`ere l’´ecoulement permanent, incompressible, en apesanteur, d’un fluide newtonien dans un long conduit cylindrique circulaire sous l’effet d’une diff´erence de pression entre les extr´emit´es.

i) ´Etablissez, par la m´ethode qu’il vous plaira, l’expression du profil des vitessesv(r) dans le conduit.

ii) En d´eduire l’expression du d´ebit volumique (formule de Poiseuille).

B.En d´eduire, `a l’aide de la notion de “pression all´eg´ee”, l’expression du d´ebit pour un conduit inclin´e dans un champ de pesanteur.

C. On observe l’´ecoulement d’une huile, masse volumique 900 kg m⁻³, dans le dispositif repr´esent´e ci-contre : un r´eservoir `a ciel ouvert, de diam`etre 7,5 cm, et un tube fin, de diam`etre int´erieur 1,6 mm, longueur 25 cm. Le niveau de l’huile est initialement `a 10 cm, et on mesure le volume d’huile ´ecoul´e durant les 30 secondes suivantes, soit 15,6 cm³.

i) `A supposer que cet ´ecoulement rel`eve de la loi de Poiseuille, d´eterminez la valeur de la viscosit´e de l’huile.

ii) Discutez, en vous appuyant sur des ´evaluations utiles (con- stance du d´ebit au cours du temps, nombre de Reynolds, distance d’´etablissement du r´egime de Poiseuille), de la validit´e de l’analyse de cette exp´erience au moyen de la loi de Poiseuille.