ULP - IPST - Lyc´ee Couffignal Licence QM2E
25 f´evrier 2008
Bases scientifique Contrˆ ole continu
Correction
Enseignant : E. Laroche Dur´ee : 2 heures
Documents interdits ; calculatrices autoris´ees
1 Charge triphas´ ee ´ equilibr´ ee
Avertissement : l’amplitude de la courbe de tension donn´ee dans l’´enonc´e est erron´ee.
On prendra bien comme amplitude Vm = 320 V.
1. La tension est sinuso¨ıdale, le rapport entre l’amplitude et la valeur efficace est donc de racine de deux, soit :V =Vm/√
2 = 226 V. Attention, cette formule n’est valable que pour une forme d’onde sinuso¨ıdale.
2. La valeur efficace du courant se calcule comme ´etant la racine de la moyenne du carr´e du courant. On obtientI =p
2/3Im = 0,817 A.
3. La puissance apparente est S = 3V I = 554 VA (V est la tension simple dans le cas pr´esent).
4. Le courant est impair, donc sa d´ecomposition ne contient que des sinus et les coeffi- cients peuvent se calculer sur [0 ;T /2]. De plus, le courant est sym´etrique par rapport
`
a l’axe vertical d’´equationt= T4. Les termes de rang pairs sont donc nuls et les termes impairs peuvent se calculer sur l’intervalle [0 ;T /4] par la formule :
bk = 8 T
Z T4
0
i(t) sin(kωt)dt (1)
= 8
T Z T4
T 12
Imsin(kωt)dt (2)
= 8Im T
−cos(kωt) kω
T4
T 12
(3)
= 8Im kωT
−cos(kωT
4 ) + cos(kωT 12)
(4)
= 4Im kπ
−cos(kπ
2) + cos(kπ 6)
(5)
= 4Im
kπ cos(kπ
6) (6)
(7) 1
On observe que b3 = 0. Concernant les rangs de 1 `a 4, seul le fondamental (k = 1) est non nul. Son amplitude est ´egal `a b1 = 2
√ 3
π Im = 1,10 A. Sa valeur efficace est I1 =
√ 6
π Im = 0,780 A
5. La puissance moyenne absorb´ee par un phase est ´egale `a la moyenne de la puissance instantan´ee. En r´egime sinuso¨ıdal de tension et en pr´esence d’harmoniques de courant, la puissance, pour la phase a estPa =V I1cosφ1. Dans le cas pr´esent, le d´ephasage φ1 entre la tension et le fondamental du courant est nul, d’o`uPa =V I1 = 176 W. La puissance totale est la somme des puissances des trois phases, soit en r´egime ´equilibr´e P = 3 Pa = 529 W.
6. Fp =P/S = 3V I3V I1 = II1 = π3 = 0,955.
7. Puisqu’il n’y a pas de d´ephasage entre le fondamental du courant et la tension on a Q= 0.
8. En r´egime sinuso¨ıdal de tension et en pr´esence d’harmoniques de courant, on peut utiliser la formule S2 = P2 + Q2 + D2, ce qui donne D = p
S2−P2−Q2 = pS2−Fp2S2 = 3V Ip
1−Fp2 = r
6
1− 3π2
V I = 165 VA.
9. Le courant de neutreiN(t) est nul. En effet, si on consid`ere que le courant pourcourant le phase b est de mˆeme forme que celui de la phase b mais d´ephas´e de T /3 et que le courant de la phasec est ´egalement d´ephas´e d’un tiers de p´eriode suppl´ementaire, puis que l’on fait la somme des courants, on obtient `a chaque instant t : iN(t) = ia(t) +ib(t) +ic(t) = 0. On peut arriver `a la mˆeme conclusion en constatant que les harmoniques de courant de rangs multiples de trois sont toutes nulles.
10. La charge est un pont redresseur `a six diodes.
2 Charge inductive en r´ egime forc´ e
1. Pour t >0, on aRi(t) +Ldi(t)dt =Ecos(ωt).
2. Le r´egime permanent est sinuso¨ıdal, on cherche donc i(t) = I√
2 cos(ωt +φ). On peut alors utiliser les notations complexes qui donnent RI +jLωI =E avec E =E et I = Iexp(jφ). On obtient donc I = R+jLωE , ce qui donne I = √ E
R2+(Lω)2 et φ=−arctan(LωR).
Attention, la r´esolution du probl`eme ne peut ˆetre faite comme dans le cas d’une tension constante. Dans le cas pr´esent, le r´egime permanent est p´eriodique ; il faut donc chercher une solution particuli`ere sinuso¨ıdale.
3. Le r´egime transitoire peut ˆetre obtenu par la r´esolution de l’´equation diff´erentielle.
Une solution particuli`ere a ´et´e obtenue `a la question pr´ec´edente. Notons la i∞(t) puisqu’il s’agit du r´egime permanent. La solution `a l’´equation sans second membre s’´ecrit sous la formei0(t) = λexp(−τt) avecτ = RL. La solution g´en´erale de l’´equation est alors donn´ee sous la forme de la somme de la solution particuli`ere et de la solution de l’´equation sans second membre, soit i(t) = i∞(t) +i0(t) = I√
2 cos(ωt +φ) + λexp(−t/τ). Il reste encore `a identifier la constante `a partir de la condition initiale qui s’´ecrit ici i(0) = 0, soit λ=−I√
2 cos(φ). On obtient alors : i(t) =I√
2 (cos(ωt+φ)−cos(φ) exp(−t/τ)) (8)
2
