M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Exercices, feuille 8 Hydrostatique

1

Au sein d’un fluide au repos dans le champ de pesanteur, on isole un prisme rectangulaire, assez petit pour que les pressions sur chacune de ses faces soient `a peu pr`es uniformes (si non-

´egales puisqu’on se pose la question de leur isotropie).

1. Enum´erez les diverses forces agissant sur ce syst`eme.´ 2. Sachant que ce syst`eme est en ´equilibre, en d´eduire deux relations entre les pressions sur les faces.

3. Toujours au mˆeme endroit dans le fluide, on isole un prisme semblable (mˆeme angle β) mais plus petit (b→0). Qu’en est-il alors des pressions sur les faces ?

2

Quelle relation l’´equilibre hydrostatique implique t-il entre les hauteurs h₀,h₁ et h₂? Que devient cette relation dans la mesure o`uρ₀¿ρ₁, ρ₂?

3

1. L’eau (profondeur H) dans un canal de section rectangulaire (largeur L) est retenue par une cloison verticale.

i) Calculez le module de la force R qu’il faut appliquer sur la cloison pour la maintenir en ´equilibre.

ii) D´eterminez la hauteur `a laquelle il faut appliquer cette force. Cette configura- tion est-elle stable ?

2. La cloison est maintenant inclin´ee d’un angleαpar rapport `a la verticale.

i) D´eterminez la direction, le module et la ligne d’action de la forceF´equivalente (mˆeme r´esultante, mˆeme moment par rapport `a tout point) `a l’ensemble des forces de pression sur la cloison.

ii) On n´eglige le poids de la paroi ainsi que le frottement entre le pied de la paroi et le fond du canal. D´eterminez le module de la force horizontale R qu’il faut appliquer `a la cloison pour assurer son ´equilibre. D´eterminez (g´eom´etriquement, c’est plus simple) la position de sa ligne d’action.

4

Un navire attend patiemment dans la derni`ere ´ecluse du canal de Panama tandis que le niveau de l’eau baisse. Lorsque le niveau est stabilis´e et la porte d´everrouill´ee, celle-ci commence d’elle-mˆeme

`

a s’ouvrir vers l’oc´ean. Le navire commence `a se d´eplacer vers la mer, sans l’aide d’un remorqueur ni de sa propre machine. Qu’est-ce qui le pousse vers le large ? (Masse volumique de l’eau de mer ρ≈1,025 g cm⁻³, profondeur des ´ecluses 25 m, largeur 35 m.)

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

5

Quelle est la pression du liquide `a l’extr´emit´e inf´erieure du tuyau (ferm´e) ? Que se passe t-il lorsqu’on ouvre le robinet ?

Le siphon permet-il de franchir n’importe quelle d´enivellation ?

6

Un r´ecipient est entraˆın´e en rotation autour d’un axe vertical `a vitesse angulaire Ω constante. On attend que l’eau dans le r´ecipient tourne en “en bloc” avec le r´ecipient (autrement dit sans mouvement relatif `a celui-ci).

1. Quelle est l’´equationz=Z(r) d’une surface isobare dans l’eau ? 2. Quelle est l’expression de la pressionp(r, z) en un point dans l’eau ?

3. Le r´ecipient est cylindrique de rayonR. Calculez l’abaissement du niveau de l’eau au centre de la surface libre.

7

Sur le plateau d’une balance, on place un r´ecipient contenant de l’eau (masse totale du r´ecipient et de l’eau : 10 kg) et une potence (2 kg) `a laquelle est suspendu un cube (10 cm de cˆot´e) de cuivre (masse volumique : 8,9×10<sup>3</sup>kg m<sup>−3</sup>). Dans un premier temps, le cube pend dans l’air. Dans un deuxi`eme temps, le cube est enti`erement immerg´e dans l’eau, sans reposer au fond du r´ecipient.

1. Quelle est la variation de l’indication de la balance lorsque l’on immerge le cube dans l’eau ? 2. Mˆeme question que pr´ec´edemment, lorsque la potence n’est plus pos´ee sur le plateau de la balance, mais sur la table, le r´ecipient ´etant toujours pos´e sur le plateau de la balance.

3. Mˆeme question, mais cette fois le cube est attach´e sous le plateau de la balance et le r´ecipient d’eau est pos´e sur la table.

8

1. On assimile l’atmosph`ere terrestre `a un gaz parfait. Estimez la masse molaire de ce gaz.

2. Le champ d’attraction terrestre est, localement, `a peu pr`es uniforme. D´eterminez, dans l’hypoth`ese d’une atmosph`ere uniforme, le champ de pression atmosph´eriquep_T(z) en fonction dez.

Calculez la hauteur typique de la variation de la pression.

9

Un gla¸con flotte dans l’eau remplissant un verre plein `a ras-bord. Le gla¸con fond. Le verre d´ebordera- t-il ?

10

Un morceau de glace (ρ≈0,92×10³kg m⁻³) flotte sur l’eau.

1. Quelle est la proportion de son volume qui se trouve dans l’eau ?

2. Quel doit ˆetre le volume minimum de ce morceau de glace pour soutenir un homme de 70 kg ?