M ´ECANIQUE DES MILIEUX D ´EFORMABLES Exercices, feuille 4 Flexion

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Exercices, feuille 4 Flexion

1

1. D´eterminez la position de la fibre neu- tre et calculez le moment d’inertie par rap- port `a l’axe neutre.

2. Tracez l’allure du diagramme de la contrainte normale dans chacune de ces sec- tions lorsqu’elles sont soumises `a un moment fl´echissantMf.

2

Les r`eglements de la construction en b´eton pr´econtraint stipulent que l’acier (E ≈ 200 GPa, c_n´e ≈ 1,50 GPa, c_nr ≈ 1,67 GPa) en “fil” de diamˆetre φ (le plus souvent 8 mm) doit ˆetre livr´e en bobines de diamˆetreD≥250φ.

1. V´erifiez qu’ainsi, la contrainte maximale dans le fil enroul´e n’exc`ede pas la limite ´elastique.

2. Calculez le moment fl´echissant maximal admis par le r`eglement.

3

Une poutre de longueurL, largeurb, hauteurh, encastr´ee dans un mur, supporte une charge P concentr´ee `a son extr´emit´e.

1. A quoi se r´eduisent les forces exerc´ees par l’encastre-` ment sur la poutre.

2. Tracez les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fl´echissant le long de la poutre. En d´eduire la position de la section o`u la contrainte est maximale et l’expression de cette derni`ere.

3. D´eterminez l’expression de la flˆeche de la poutre. Repr´esentez graphiquement l’allure de la d´eform´ee de la poutre.

4

Consid´erons un ´el´ement de poutre soumis — outre les actions (effort tranchant et moment fl´echissant) des parties ˆot´ees — `a une charge ext´erieure r´epartie de densit´eλ(x).

1. En exprimant les conditions d’´equilibre de l’´el´ement, d´eterminez l’´equation diff´erentielle que doit satisfaire l’effort tranchant T(x), puis l’´equation diff´erentielle que doit satisfaire le moment fl´echissantMf(x).

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

2. En d´eduire les expressions int´egrales de l’effort tranchant et du moment fl´echissant.

3. Qu’en est-il lorsque la poutre supporte aussi des charges ext´erieures concentr´ees, et des moments ext´erieurs concentr´es.

4. Rappelez la relation entre moment fl´echissant et rayon de courbure. Cette relation d´epend-elle de la pr´esence de charges et moments ext´erieurs, r´epartis ou concentr´es ?

5

Une poutre de longueur L, appuy´ee `a ses deux extr´emit´es, est soumise `a une charge C concentr´ee `a une distancel de l’une des deux extr´emit´es.

1. Tracer le diagramme de l’effort tranchant.

2. Tracer le diagramme du moment fl´echissant. Quelle est la position de la section dans laquelle le moment fl´echissant est maximum ? Quelle est l’expression du moment fl´echissant maximum ?

3. Quelles positions des mains et du genou est-il pr´ef´erable d’adopter pour casser un morceau de bois (si vous ne disposez pas d’autres outils) ?

6

1. Une ´etag`ere de biblioth`eque est constitu´ee d’une planche pos´ee sur deux briques. O`u faut-il disposer les briques pour minimiser la contrainte normale maximale ? 2. L’´etag`ere a une longueur de 90 cm et une largeur

de 20 cm. On se propose de la r´ealiser en verre de 6 mm. Quelle charge r´epartie (suppos´ee uniforme) peut-on infliger `a cette ´etag`ere si la contrainte normale ne doit pas d´epasser 7 MPa ?