M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

EXAMEN

Mardi 2 septembre, 8h30–11h30

Calculettes, bon sens et intelligence rigoureusement autoris´es

Avertissement

•“montrer”, “´etablir”, “d´eduire”... signifient que l’on attend de vous une justification raisonn´ee et en aucun cas un simple r´esultat extrait d’une m´emoire naturelle ou artificielle ;

•un grand soin est `a apporter aux unit´es des estimations num´eriques et `a l’homog´en´eit´e des ´equations ; une faute en ce domaine, toujours d´etectable, est demi-pardonnable si avou´ee, mais inadmissible si colport´ee sans vergogne.

Quelques informations

Equation de la torsion : dϕ/dz´ =M^t/GI0

Moment d’inertie polaire d’une section circulaire :I0=πD⁴/32 L’´equation de Navier-Stokes :¡

∂t+ (v· ∇∇∇)¢

v=−¹ρ∇∇∇p+g+ν∆v

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Un boulon en acier ordinaire (E ≈ 200 GPa), de diam`etre 1 cm, est utilis´e pour maintenir appliqu´ees deux pi`eces d’´epaisseur 4 cm chacune.

1. La contrainte d’extension admissible est fix´ee `a 150 MPa.

i) Calculez la force de traction `a laquelle est alors soumis le boulon.

ii) Calculez l’allongement relatif (ou d´eformation) du boulon, et son

´

elongation.

2. Lorsque le boulon est insuffisamment serr´e, les deux pi`eces ne sont plus appliqu´ees l’une contre l’autre et il n’y a plus de force de frottement

mutuel. Calculez alors la force de glissement entre les deux pi`eces `a laquelle le boulon peut s’opposer si la contrainte de cisaillement admise est de 75 MPa.

2

Un moment de torsion de 1100 m N est appliqu´e aux extr´emit´es d’un arbre cylindrique en acier (module d’´elasticit´e transversal 85 GPa ) de 5 cm de diam`etre.

i) La longueur de l’arbre est de 1,5 m. Calculez l’angle de torsion entre ses extr´emit´es.

ii) Calculez la contrainte de cisaillement maximale.

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Une poutre rectiligne, de section uniforme, pos´ee sur deux appuis simples, est soumise `a une charge concentr´ee.

i) Calculez les r´eactions des appuis.

ii) Calculez l’effort tranchant au long de la poutre, et tracez en le diagramme.

iii) Calculez le moment fl´echissant au long de la poutre, et tracez en le diagramme.

iv) Calculez le moment fl´echissant maximum.

v) O`u faudrait-il appliquer la charge pour maximiser la contrainte normale dans la poutre et en provoquer la rupture au prix du moindre effort ?

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

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1. Loi de Hooke am´elior´ee

Une ´eprouvette d’essai d’un mat´eriau ´elastique isotrope (module de Young E, coefficient de Poisson ν) est soumise `a une force de traction F. L’´eprouvette a une section rectangulaire de cˆot´eslxetly

et est par ailleurs assez longue pour qu’une partie de longueur lz

loin des extr´emit´es soit le si`ege d’une contrainte uniformecz. Donnez les expressions alg´ebriques des allongements longitudinal δlz/lz et transversesδlx/lx etδly/ly en fonction de la contraintecz.

2. Equations de l’´´ elasticit´e

On consid`ere un parall´el´epip`ede (lx, ly, lz) d’un mat´eriau ´elastique isotrope (E, ν).

i) Le parall´el´epip`ede n’est soumis qu’`a une contrainte normale uni- forme cz sur les faces orthogonales `a l’axe ˆz. Quelle est l’expression de l’allongement (δlz/lz)c<sub>z</sub> dˆu `a cette contrainte ?

ii) Le parall´el´epip`ede n’est soumis qu’`a une contrainte normale uniformecxsur les faces orthogonales

`

a l’axe ˆx. Quelle est l’expression de l’allongement (δl_z/l_z)_cx dˆu `a cette contrainte ? iii) Mˆeme question pour (δl_z/l_z)_cy.

iv) Le parall´el´epip`ede est soumis aux contraintes normalesc<sub>x</sub>,c<sub>y</sub>,c<sub>z</sub> toutes `a la fois. Quelle est alors l’expression de l’allongementδl_z/l_z? Quelles sont les expressions des allongementsδl_x/l_x etδl_y/l_y? v) En d´eduire les expressions des d´eformations principales en termes des contraintes principales en tout point d’un milieu ´elastique isotrope (´equations de l’´elasticit´e dans le rep`ere des axes principaux).

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Une voie d’eau, de diam`etre 1 cm, se d´eclare `a 20 cm sous la flottaison dans la paroi (mince) d’un canot en aluminium.

i) Estimez la vitesse et le d´ebit de l’eau.

ii) Discutez des hypoth`eses implicites et de la validit´e de ces estimations.

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1. D´eterminez, par la m´ethode qu’il vous plaira, le profil des vitesses dans l’´ecoulement rectiligne laminaire entre deux grandes plaques parall`eles fixes

2. En d´eduire le d´ebit volumique par unit´e de largeur.

3. Un r´eservoir d’huile (ρ≈0,9×10³kg m⁻³,η ≈2,5×10⁻²kg m⁻¹s⁻¹) `a ciel ouvert est r´ealis´e en tˆoles assembl´ees par recouvrement sur une largeur de 7,5 cm. Une fuite se produit par un entrebaillement de 0,25 mm entre les tˆoles d’un joint `a 10 m sous la surface libre de l’huile. Calculez le d´ebit de la fuite par unit´e de longueur du joint d´efectueux.