M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

EXAMEN PARTIEL Samedi 5 avril, 8h30–11h30

Calculettes, bon sens et intelligence rigoureusement autoris´es

Avertissement

Les trois premiers exercices sont de simples applications du cours ou r´ep´etitions d’exercices d´ej`a trait´es. Vous devriez ˆetre capable d’y r´epondre, auquel cas vous obtiendrez la moyenne. Ils sont suivis de trois petits probl`emes plus exigeants, laiss´es `a votre culture, aptitude au calcul, astuce, cr´eativit´e, opiniˆatret´e, et mˆeme, pourquoi pas, plaisir.

Le barˆeme est propos´e `a titre non contractuel. Quoi qu’il en soit, s’il n’est pas n´ecessaire de r´epondre (juste) `a toutes les questions pour obtenir la note maximale, il serait vain d’esp´erer la moyenne sans un traitement soigneux des trois premiers exercices

Quelques informations du domaine public Acier doux :E≈200 GPa,G≈80 GPa

Equation de la torsion : dϕ/dz´ =M^t/GI0

Moment d’inertie polaire d’une section circulaire :I0=πD⁴/32 Equation de la flexion :´ M^f =EIzf⁰⁰

Contrainte normale en flexion :c_n=−(Mf/I_z)y

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^{Extension(4 points)}

1. Enoncez la loi de Hooke pour un corps sollicit´´ e en extension pure. Pr´ecisez bri`evement les noms, significations et unit´es des symboles apparaissant dans cette loi.

2. Une tige d’acier, diamˆetre 1 cm, longueur 20 cm, est soumise `a une force de traction de 1 tonne.

Calculez : i) la contrainte, ii) l’allongement, iii) l’´elongation.

3. Un tuyau cylindrique `a paroi mince, diam`etre int´erieur 1 cm, ´epaisseur 1 mm, contient un fluide en surpression de 1 atmosph`ere par rapport `a la pression ext´erieure. Estimez la contrainte sur un plan de coupure passant par l’axe du tuyau.

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Cisaillement et torsion (4 points)

1. Enoncez la loi de Hooke pour un corps sollicit´´ e en cisaillement pur. Pr´ecisez bri`evement les noms, significations et unit´es des symboles qui apparaissent dans cette loi.

2. Pour tenter de d´ebloquer l’un des ´ecrous de fixa- tion d’une roue de voiture, vous forcez `a deux mains sur une cl´e en “croix”. Chaque branche de la croix est une tige en acier, longueur 20 cm, diam`etre 1 cm. Vous exercez avec chaque main une force de 10 kgf aux extr´emit´es de deux branches oppos´ees.

Calculez, pour la tige sollicit´ee en torsion : i) le moment de torsion,

ii) l’angle de torsion entre l’extr´emit´e de la tige et le centre de la croix,

iii) la valeur maximale de la contrainte de cisaille- ment.

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

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^{Flexion (4 points)}

Une tige d’acier cylindrique, longueur 20 cm, diam`etre 1 cm, est encastr´ee `a l’une de ses extr´emit´es et soumise a une charge transversale de 10 kgf `a l’autre extr´emit´e.

i) D´eterminez l’effort tranchant dans chaque section de la tige. Repr´esentez le diagramme de l’effort tranchant.

ii) D´eterminez le moment fl´echissant dans chaque section. Repr´esentez le diagramme du moment fl´echissant.

iii) Dans quelle r´egion de la tige la contrainte normale est-elle maximale ? Calculez cette contrainte maximale.

iv) D´eterminez l’´equation de la fl`eche de la tige, et calculez la valeur maximale de cette fl`eche.

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^{La m´}ethode de Kirchoff(2 points)

Une extr´emit´e d’une tige cylindrique est encastr´ee dans les mors d’un ´etau. La tige est sollicit´ee en torsion et en flexion par une charge d´esax´ee appliqu´ee `a son extr´emit´e libre.

i) D´eterminez l’angle de torsion et l’angle d’inclinaison de l’extr´emit´e de la tige.

ii) D´eterminez le rapport de ces deux angles.

iii) Ces deux angles sont ais´ement mesur´es en observant le d´eplacement d’un rayon lumineux r´efl´echi par un petit miroir coll´e sur la tige, `a son extr´emit´e. Montrez que l’on dispose ainsi d’une m´ethode permettant d’obtenir directement le rapport des modules d’´elasticit´e longitudinal et transverse.

D´eterminez l’expression de ce rapport.

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Chez les bˆatisseurs de cath´edrales(3 points) Une section de poutre rectangulaire a pour fonction de transmettre un effort ´equivalent `a une force r´esultante longitudinale mais d´esax´ee par rapport au centre de la section. On s’int´e- resse `a la r´epartition de contrainte normale dans la section correspondant `a cette force.

i) Montrez que la force d´esax´ee est ´equivalente

`

a une force axiale et un moment fl´echissant. (Un

“truc” : on peut toujours ajouter la mˆeme force et la force oppos´ee appliqu´ees au centre de la section.)

ii) Qualitativement, repr´esentez les diagrammes des contraintes normales dans la section dues respectivement `a la force axiale, au moment fl´echissant, et `a la force d´esax´ee.

iii) D´eterminez les expressions correspondantes de ces contraintes normales dans la section.

iv) Quelle est la condition n´ecessaire pour que, dans cette section, le mat´eriau ne travaille qu’en compression ? Que pensez-vous de l’adage des constructeurs en ma¸connerie : “la ligne de pouss´ee doit rester dans le tiers m´edian” ?

M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7 3

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Arbre de transmission (3 points)

Un arbre cylindrique, en rotation `a N tours par unit´e de temps, a pour fonction de transmettre une puissance P.

i) D´eterminez les expressions de l’angle de torsion par unit´e de longueur et de la contrainte de cisaillement maximale .

ii) La contrainte de cisaillement ne doit pas d´epasser la valeur admissiblect a. L’angle de torsion par unit´e de longueur ne doit pas d´epasser la valeur admissible (dϕ/dz)a. `A quels crit`eres doit alors ob´eir le choix du diam`etre de l’arbre ?

iii) Repr´esentez graphiquement, en fonction de P/N, l’allure du domaine des valeurs du rayon admissibles.

iv) Quel est le crit`ere pertinent (contrainte admissible ou d´eformation admissible) selon la puissance ou la vitesse de rotation ?