Paris 7 PH314
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M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES
EXAMEN
Lundi 23 juin, 12h30–15h30
Calculettes, bon sens et intelligence rigoureusement autoris´es Avertissement
Ne pas s’obstiner, aux d´epens des autres, sur les questions marqu´ees d’un *, plus elliptiques et susceptibles de faire appel `a votre culture, votre perspicacit´e et vos facult´es d’adaptation.
Attention :
•“montrer”, “´etablir”, “d´eduire”... signifient que l’on attend de vous une justification raisonn´ee et en aucun cas un simple r´esultat extrait d’une m´emoire naturelle ou artificielle ;
•un grand soin est `a apporter aux unit´es des estimations num´eriques et `a l’homog´en´eit´e des ´equations ; une faute en ce domaine, toujours d´etectable, est demi-pardonnable si avou´ee, mais inadmissible si colport´ee sans vergogne.
Quelques informations dont on peut se passer L’´equation de Navier-Stokes :¡
∂t+ (v· ∇∇∇)¢
v=−1ρ∇∇∇p+g+ν∆v
Dans la base locale des coordonn´ees cylindriques : ∇∇∇=ˆr∂r+ˆθθθ1r∂θ+ˆz∂z, ∆ˆzv(r) = 1rdrdrdvdr
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Elasticit´´ e(4 points)Localement, dans un milieu ´elastique isotrope, on adopte un rep`ere (ˆx,ˆy,ˆz) selon les axes principaux des contraintes et des d´eformations.
1. Rappelez les expressions de la d´eformation principale selonˆx...
i) due `a une seule contrainte principale selonxˆ; ii) due `a une seule contrainte principale selonˆy; iii) due `a une seule contrainte principale selonˆz;
iv) due `a un ensemble de contraintes principales selon les trois axes.
2. En d´eduire les expressions des d´eformations principales en termes des contraintes principales.
3. Un ´el´ement de suspension est constitu´e par un bloc de caoutchouc assimil´e `a un milieu ´elastique (E, ν), de forme cubique, cˆot´e l en absence de sollicitation. Le bloc est maintenu dans un logement en alv´eole parall´el´epip`edique de section carr´ee, cˆot´e l, profondeur sup´erieure `a l, m´enag´ee dans un mat´eriau rigide. Le bloc supporte une force de compression F par l’interm´ediaire d’une plaque rigide carr´ee de cˆot´el.
i) Calculez l’allongement relatif du bloc selon la forceF.
ii) Calculez la variation de longueur du bloc selon la force F.
iii) En d´eduire la raideur (ou constante du ressort ´equivalent) de cette suspension.
iv) Physiquement, autrement dit sans calcul, que doit valoir cette raideur siν= 1/2 ? V´erifiez sur ce cas limite la coh´erence du r´esultat obtenu auiii).
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Fluide de Newton(4 points)Le revˆetement isolant d’un fil ´electrique est r´ealis´e en tirant ce fil `a vitesse constante `a travers un tube contenant le vernis isolant
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a l’´etat liquide. Ce vernis se comporte alors
`
a peu pr`es comme un liquide newtonien de viscosit´eη≈10 kg m−1s−1.
1. Estimez la valeur de la contrainte tangen- tielle exerc´ee par le vernis sur la surface du fil.
2. En d´eduire la force de traction qu’il faut exercer sur le fil.
2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7
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Hydrostatique (4 points)La vanne de s´ecurit´e d’un barrage est constitu´ee d’un panneau articul´e et d’un contrepoids. Le panneau est un carr´e de cˆot´eL= 1 m, et le contrepoidsP = 50 000 N agit avec un bras de levier de mˆeme valeurL= 1 m.
1. La hauteur d’eau dans la retenue est H= 4 m.
i) Calculez la r´esultante des forces de pression agissant sur le panneau.
ii) Calculez le moment r´esultant de ces forces de pression, par rapport `a l’axe d’articulation.
2. Calculez la hauteur d’eau H0 pour laquelle la vanne s’ouvre.
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Ecoulement de Poiseuille, mesure de masse volumique´ (4 points)1. Etablir, par votre m´´ ethode pr´ef´er´ee (vous pouvez parfaitement choisir celle qui vous semble la plus simple), la loi du profil de vitesse de l’´ecoulement laminaire dans un long tube cylindrique en apesanteur.
2. En d´eduire l’expression du d´ebit (loi de Poiseuille).
3. Montrez, en introduisant la notion de pression “all´eg´ee”, comment se transforment les r´esultats pr´ec´edents en pr´esence d’un champ de pesanteurg.
4. On consid`ere une portion de conduite coud´ee, ´equip´ee de manom`etres mesurant les pressions en 1, 2, 3 et 4 respectivement. Montrez que, dans la mesure o`u l’on a bien affaire `a un ´ecoulement de Poiseuille, les valeurs de ces pressions, convenablement combin´ees, permettent
d’obtenir directement la masse volumique du fluide qui s’´ecoule dans la conduite, sans rien connaˆıtre de sa viscosit´e ni de son d´ebit.
*5.Une conduite de diam`etre 1 cm, d´ebite du k´eros`ene (η ≈ 2×10−3kg m−1s−1, ρ ≈ 900 kg m−3) `a raison de 3 cm3s−1. Calculez la vitesse moyenne (au sens du d´ebit) et le nombre de Reynolds associ´e
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a l’´ecoulement. La loi de Poiseuille s’applique-t-elle `a cet ´ecoulement ?
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Flexion simple (4 points)On reconsid`ere la vanne de s´ecurit´e du probl`eme3lorsque la hauteur d’eau atteint la valeurH0, juste avant l’ouverture spontan´ee de la vanne.
*1.Recensez les forces et moment agissant sur le panneau de la vanne.
*2.D´eterminez l’expression de l’effort tranchant dans le panneau et tracez l’allure du diagramme de l’effort tranchant.
*3.D´eterminez l’expression du moment fl´echissant dans le panneau et tracez l’allure du diagramme du moment fl´echissant.
*4.D´eterminez l’expression de la contrainte normale maximale dans le panneau.
*5.D´ecrivez le principe du calcul (sans faire celui-ci explicitement) de la flˆeche du panneau et de la valeur de la fl`eche maximale. Quelle est la cons´equence de cette fl`eche pour le fonctionnement de la vanne ? Comment y rem´edier ?
