Force volumique ou massique de pesanteur on peut donc associer au poids :

Dynamique des uides

Les points du cours à connaître

I- Forces exercées sur une particule de uide

1. Forces volumiques

Force volumique ou massique de pesanteur on peut donc associer au poids :

( une force volumique : − →

f _v = µ ~ g une force massique : − →

f m = ~ g Force volumique ou massique de Coriolis :

On peut donner pour la force de Coriolis :

( une force volumique : − →

f v = −2 µ ~ Ω _R/R

∧ ~ v une force massique : − →

f _m = −2 ~ Ω _R/R

∧ ~ v 2. Pression

Force volumique ou massique de pression

on associe aux forces de surfaces pour un uide parfait (sans viscosité) : ( une force volumique : − →

f _v = − −−→

grad(P ) une force massique : − →

f _m = −

−−→ grad(P ) µ

3. Viscosité

Expression des forces de viscosité pour un écoulement unidimensionnel

on peut écrire que la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y ₀ ) sur la surface S de cote y 0 qui la sépare de la veine rapide (pour y > y 0 ) est

F _x = −η S ∂v _x

∂y

où η est par dénition, le coecient de viscosité dynamique du uide.

Viscosités dynamique et cinématique

la viscosité dite dynamique se note η . Elle est positive et s'exprime dans le système international en poiseuille

1 Pl = 1 Pa · s

La viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique sur la masse volumique : ν = η

µ s'exprime en m ² · s ⁻¹ ν a la dimension d'un coecient de diusion.

Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien

L'équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien en écoulement incom- pressible est :

F ~ _cis = f ~ _cis d ³ τ avec : f ~ _cis = η ∆~ v

4. Équation de Navier Stokes

Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléen µ D~ v

Dt = µ ~ g − −−→

grad(P ) + η ∆ ~ v NB :

D~ v Dt =

=

∂ − → v

∂t + − → v · −−→

grad − → v

∂ − → v

∂t + −−→

grad

v

2

+ − →

rot ( − → v ) ∧ − → v

II- Fluides parfaits

1. Équation d'Euler Fluide parfait

Un uide parfait est un uide sans viscosité.

L'évolution des particules de uide est alors isentropique.

L'équation de Navier Stokes sans viscosité s'appelle alors équation d'Euler.

Equation d'Euler dans le cas d'un "petit" écoulement

dans le cas où la taille de l'écoulement est faible (moins d'un kilomètre), même si le référentiel terrestre est non galiléen, l'équation d'Euler s'écrira :

D~ v

Dt = ~ g −

−−→ grad(P )

µ Equilibre géostrophique

Dans le cas où on néglige la pesanteur (en se plaçant dans un plan horizontal), et où l'écoulement est permanent et de grande envergure (un océan), les lignes de courant et les courbes isobares sont confondues.

Le uide tourne dans le sens trigonométrique autour des dépressions dans l'hémisphère nord, dans le sens horaire autour des anticyclones.

2. Relation de Bernoulli Relation de Bernoulli

On se souviendra que dans le cas de l'écoulement parfait, stationnaire, incompressible homogène, v ²

2 + P

µ + g z = cste le long d'une ligne de courant Si, en plus, l'écoulement est irrotationnel,

v ² 2 + P

µ + g z = cste dans tout le uide 3. Applications de la relation de Bernoulli

Loi de Torricelli

Un récipient de hauteur h rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice très petit devant la section du récipient situé dans le fond de celui-ci a pour vitesse d'écoulement v = √

2.g.h . Principe de l'eet Venturi

l'écoulement d'un uide dans une conduite (mais ce peut être tout tube de courant) qui se

resserre voit la vitesse du uide augmenter. Cette augmentation de la vitesse se double par une

dépression dans la zone d'étranglement :

III- Ecoulements

1. Nombre de Reynolds Nombre de Reynolds

si la dimension caractéristique du problème est L , la vitesse vaut approximativement V , la viscosité cinématique ν , on peut dénir le nombre de Reynolds sans dimension :

Re = convection

diusion ≈ V L ν Il compare les eets inertiels aux eets de viscosité.

2. Ecoulements laminaires et turbulents Écoulement laminaire

Ecoulements à bas nombre de Reynolds, où le terme diusif prédomine : Re < 2000

Écoulement turbulent

écoulement à fort nombre de Reynolds où la convection est prédominante Re > 2000

3. Couche limite

4. Conditions aux limites

Condition aux limites cinématique pour un uide

la vitesse normale d'un uide (visqueux ou parfait) à une interface est nulle : (v _y ) _y=0

= 0

Condition aux limites cinématique pour un uide visqueux la vitesse tangentielle d'un uide visqueux à une interface est continue :

(v _x ) _y=0

= (v _x ) _y=0

Condition aux limites dynamique pour un uide visqueux la force tangentielle est continue à une interface :

η _y=0

∂v _x

∂y

y=0

= η _y=0

∂v _x

∂y

y=0

5. Quelques écoulements visqueux

Exercice traité en n de cours

exo 13.1) Modélisation de l'écoulement de Poiseuille cylindrique

Un uide visqueux de coecient de viscosité dynamique η est compris dans un cylindre d'axe Oz , de rayon R . On se place dans les coordonnées cylindriques (r, θ, z) .

On suppose que le problème est à symétrie de révolution :

= 0 .

On note P

la pression en z = z

et r = 0 . De même, P

= P (r = 0, z = L) . On suppose l'écoulement stationnaire :

= 0 .

On suppose l'écoulement incompressible (c'est un liquide) : div~ v = 0 . On suppose l'écoulement unidimensionnel : ~ v = v

(r, z) .

On néglige la pesanteur.

1) Montrer que la vitesse ne dépend pas de z .

2) En déduire que l'accélération d'une particule de uide est nulle.

3) Déterminer le champ de pression dans le uide.

4) Déterminer le champ des vitesses.

Techniques à maîtriser

I- Relation de Bernoulli

Justier la relation de Bernoulli et utiliser cette relation.

Interpréter d'éventuels écarts observés en vériant les conditions de validité.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il faut appliquer le théorème de Bernoulli (bien vérier auparavant les conditions d'application !) entre deux points le long d'une ligne de courant (vérier qu'une ligne de courant existe bien entre ces deux points !).

Vidanges et applications de la relation de Bernoulli méthode

13.1.1) Temps de vidange d'un récipient

On s'intéresse à un récipient ayant la forme d'un cylindre d'axe vertical, de hauteur H = 50cm et de rayon R = 10cm , initialement complètement rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice circulaire de rayon r = 0, 5cm situé dans le fond du cylindre.

1) Calculer la vitesse d'écoulement v à l'orice de ce récipient lorsque la hauteur de uide est h . Vérier que l'on retrouve bien la loi de Torricelli dans le cas où R r .

2) Calculer le temps de vidange T de ce récipient.

13.1.2) Jet d'eau sur le lac de Genève

Le jet d'eau du lac de Genève a un diamètre initial d

= 107mm et s'élève à une altitude H = 156m au-dessus de la canalisation horizontale qui l'alimente. On néglige les pertes par frottement dans l'air.

1) Déterminer :

1.a) la surpression p nécessaire pour le jet, 1.b) le débit volumique D

du jet.

13.1.3) Tube Venturi

On note S

et S

les sections d'un tube de Venturi au niveau des points A (zone 1) et B (zone 2 d'étrangle- ment : S

< S

).

Montrer qu'on peut déduire le débit volumique D

du uide de masse volumique µ de la dénivellation h entre du liquide manométrique, de masse volumique µ

en fonction de h , S

et S

.

13.1.4) Tube de Pitot

On s'intéresse à un tube de Pitot. Montrer que l'on peut déduire la vitesse de l'écoulement grâce à la mesure (faite généralement à l'aide d'un manomètre diérentiel, comme pour la sonde de Venturi) de la diérence de pression entre deux orices très petits formant :

• une prise de pression axiale en A placé à l'extrémité du tube où la vitesse est nulle ( A est dit point d'arrêt),

• une prise de pression latérale en B placé latéralement où la vitesse du uide n'est pas modiée.

13.1.5) Déversoir d'un lac

Un lac de profondeur h , se vide dans un déversoir, de largeur L , qui a un seuil susamment large pour que, dans la section S de hauteur h

< h , la lame d'eau y coule en lets parallèles horizontaux et que la vitesse v y soit considérée comme uniforme. L'eau est assimilé à une uide parfait et incompressible.

1) Déterminer, en fonction de h et h

, le débit volumique D

, à travers la section S . 2) Pour quelle valeur de h

ce débit est-il maximal ?

3) Calculer sa valeur.

II- Equation d'Euler

Utiliser les relations − →

dF = −p − → dS et − →

dF = − −−→

gradp dτ .

Exploiter l'absence de forces de viscosité et le caractère isentropique de l'évolution des particules de uide.

Utiliser l'équation d'Euler

ce qu'il faut savoir faire capacités

On part de l'équation d'Euler. Rappelons que, pour pouvoir écrire l'équation d'Euler, il faut que l'écou- lement soit parfait (c'est à dire que le uide doit être non visqueux). On néglige la force de Coriolis, si les dimensions de l'écoulement ne sont pas trop grandes. Le poids dérive d'une énergie potentielle.

Aussi, on peut écrire

−

→ f

= ~ g = − −−→

grad e

= − −−→

grad (g.z)

où l'énergie potentielle de pesanteur massique est donc e

= g.z , l'axe Oz étant vertical, orienté vers le haut. Dans le cas de l'écoulement barotrope, si l'on réussit à trouver une relation µ = f (P) . On pourra

écrire : −−→

grad(P)

µ = −−→

grad (ϕ(P ))

Un cas particulier d'écoulement barotrope (avec ϕ(P ) =

) est celui de l'écoulement incompressible homogène : µ est alors constant dans tout le uide. On peut donc écrire :

−−→ grad(P )

µ = −−→

grad P

µ

Un écoulement est irrotationnel (ou non tourbillonnaire) si, partout dans le uide −→

rot (~ v) = ~ 0 . Le rotationnel de la vitesse étant nulle, on peut faire dériver celle-ci, via un gradient, d'un potentiel φ :

~ v = −−→

grad (φ)

L'écoulement est stationnaire si les grandeurs ne dépendent pas explicitement du temps. En particulier :

∂ − → v

∂t = ~ 0 et, si on a un écoulement irrotationnel :

∂φ

∂t = 0

Dans le cas des écoulement non potentiels, comme le rotationnel de la vitesse n'est pas nul partout dans le uide, on ne peut plus écrire les termes de l'équation d'Euler sous forme d'un gradient. Cependant, si on se déplace le long d'une ligne de courant, on peut intégrer l'équation d'Euler (en formant un produit scalaire avec − →

d` = ~ v.dt , qui fait disparaitre le terme en −→

rot ( − → v ) ∧ − → v ).

Démontrer diverses formules de Bernoulli à partir de l'équation d'Euler méthode

13.2.1) Statique des uides

Retrouver la relation fondamentale de la statique des uides à partir de l'équation d'Euler.

13.2.2) Equilibre géostrophique

On veut étudier le mouvement de l'atmosphère terrestre. Aussi, on se place dans le référentiel terrestre R non galiléen, en rotation par rapport au référentiel géocentrique R

avec le vecteur rotation ~ Ω

, au voisinage d'un point de la Terre à la latitude λ . On s'intéresse à un écoulement plan, horizontal.

1) Exprimer la projection horizontale de la force d'inertie de Coriolis massique. Quel est son eet ? 2) Réécrire l'équation d'Euler pour les grands écoulements en régime permanent.

3) Comparer les lignes de courant et les isobares. Dans quel sens tourne l'air atmosphérique ?

13.2.3) Nombre de Rossby dans l'atmosphère

1) Ecrire l'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen.

On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écoulement, L une dimension horizontale caractéristique de celui-ci. On appelle nombre de Rossby (noté R

) d'un écoulement le rapport sans dimension entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans la précédente équation.

2) Évaluer R

pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10m.s

et L = 1000km . Commenter le résultat obtenu.

3) Même chose pour un écoulement d'air dans une pièce : U = 1m.s

et L = 10m .

13.2.4) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, irrotation- nel, stationnaire, incompressible homogène

On s'intéresse à un écoulement parfait, irrotationnel, stationnaire, incompressible, homogène.

Déterminer la formule de Bernoulli, et son domaine d'application.

13.2.5) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, irrotation- nel, stationnaire, barotrope

On s'intéresse à un écoulement parfait, irrotationnel, stationnaire, barotrope.

Déterminer la formule de Bernoulli, et son domaine d'application.

13.2.6) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, irrotation- nel, barotrope

On s'intéresse à un écoulement parfait, irrotationnel, barotrope.

Déterminer la formule de Bernoulli, et son domaine d'application.

13.2.7) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, stationnaire, incompressible homogène

On s'intéresse à un écoulement parfait, stationnaire, incompressible homogène.

Déterminer la formule de Bernoulli, et son domaine d'application.

13.2.8) Ecoulement barotrope pour un gaz parfait

Un uide considéré comme un gaz parfait est en écoulement isentropique.

1) Montrer que l'écoulement est barotrope.

13.2.9) Relation de Bernoulli et premier principe de la thermodynamique

1) Montrer que pour un uide quelconque en écoulement isentropique et stationnaire, l'équation de Bernouilli prend la forme :

v

2 + e

+ h = cte où h est l'enthalpie massique du uide.

III- Equation de Navier Stokes et conditions aux limites sur la vitesse

Utiliser la condition aux limites sur la composante normale du champ des vitesses.

Utiliser l'équation de Navier-Stokes dans un uide newtonien en écoulement incompressible.

ce qu'il faut savoir faire capacités

A l'inni, la vitesse est homogène : ~ v

= v

.~ u

et sur un obstacle ou sur une paroi, il ne peut y avoir de composante normale du uide sur la paroi (et la vitesse tangentielle est nulle si le uide est visqueux mais ce n'est pas le cas pour un écoulement parfait).

Utilisation des conditions aux limites méthode

Les inconnues dans l'équation de Navier Stokes sont les trois composantes de la vitesse, la masse volu- mique et la pression, soit cinq inconnues scalaires. Si on ajoute à l'équation de Navier Stokes la relation locale de conservation de la masse, on dispose de quatre équations scalaires : il nous manque encore une équation pour déterminer parfaitement les inconnues. Bien souvent, il s'agira de relier la masse volumique µ à la pression P , via une relation thermodynamique : µ = f (P) . Citons par exemple : pour les liquides µ = µ

= cste (uide incompressible), pour les gaz χ =

(uide compressible).

Les solutions de l'équation de Navier Stokes devront bien entendu vérier les conditions aux limites, aussi bien spatiales que temporelles : au contact d'un solide, la vitesse normale est nulle et la vitesse tangentielle du uide égale à celle du solide, à l'interface entre deux uides, la force de cisaillement est continue, donc la dérivée de la vitesse suivant la normale à l'interface est aussi continue.

En projetant suivant une direction, on peut n'avoir plus qu'une équation en pression, qu'on intègre, grâce aux conditions aux limites. La projection suivant une direction orthogonale permet de trouver la vitesse, encore grâce aux conditions aux limites : ~ v = ~ 0 au contact du solide dans le référentiel du solide.

Appliquer l'équation de Navier Stokes méthode

13.3.1) Ecoulement entre deux cylindres

L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R

et R

, tournant autour de leur axe commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω

et Ω

peut être décrit par le champ des vitesses :

~ v(~ r, t) =

A.r + B r

.~ u

1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuité des vitesses du uide et des cylindres en R

et R

.

2) Que se passe-t-il dans le cas où Ω

= Ω

= Ω ?

13.3.2) Ecoulement au dessus d'un plan oscillant

L'écoulement entre un plan oscillant ( y = 0 ) et l'inni ( y → +∞ ) est donné par le champ eulérien des vitesses suivant :

~ v(~ r, t) = A.e

. cos (ω.t − k.y) .~ u

Vérier que les conditions aux limites sont correctes.

13.3.3) Loi de Darcy

Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques horizontaux, de rayon a et de longueur ` ( a ` ), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence de pression ∆p entre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.

On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est ca- ractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~ v = v(r)~ u

tel que :

v(r) = ∆p 4.η.` f (r)

où f (r) = r

+ B.r + C est une fonction polynomiale d'ordre deux de la distance r à l'axe du tube.

Déterminer v(r) .

13.3.4) Ecoulement de Poiseuille plan

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η s'écoule entre deux plans parallèles éloignés de δ suivant l'axe Oz . On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :

~

v = v (z) .~ u

où ~ u

est parallèle aux plans, orienté dans le sens de l'écoulement. On négligera l'eet de la pesanteur devant celui des forces de pression.

Déterminer v (z) .

13.3.5) Ecoulement de Poiseuille cylindrique

On considère l'écoulement permanent d'un uide de viscosité η (écoulement de Poiseuille) dans un tube cylindrique d'axe Oz , de section circulaire et de rayon R .

On admet que la vitesse est ~ v(r, z, θ) = v

(r)~ u

; que la pression ne dépend que de z et que et la variation de la pression est constante le long de l'axe z . On négligera la pesanteur.

Déterminer la vitesse du uide.

13.3.6) Champ des vitesses dans un ruissellement laminaire

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :

~ v = v (x, z) .~ u

où ~ u

est parallèle au plan incliné, orienté dans le sens de l'écoulement et ~ u

est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.

1) Montrer qu'alors v (z) uniquement.

2) Déterminer le champ de pression P (x, z) dans le uide.

3) Déterminer v (z) .

13.3.7) Champ des vitesses dans un amortisseur hydraulique

On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R , dans lequel peut se déplacer un piston de longueur ` et de rayon R

= R − a (où a R ). Le cylindre contient une huile incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η , qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse v

(r) du uide entre le piston et la paroi est assimilable à un champ v

(x) puisque a R .

1) Exprimer l'équation diérentielle suivie par v

(x) .

2) Trouver v

(x) dans le référentiel du cylindre (le piston se déplace avec la vitesse v

).

IV- Utilisation du nombre de Reynolds

Évaluer en ordre de grandeur le rapport du terme convectif sur le terme diusif et le relier au nombre de Reynolds dans le cas d'une unique échelle spatiale.

Évaluer un nombre de Reynolds pour choisir un modèle de traînée linéaire ou un modèle de traînée quadratique.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il s'agit de faire un raisonnement sur des ordres de grandeurs. Par exemple, avec le nombre de Reynolds Re =

=

il y a deux cas biens marqués : si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus court que par convection) ; si Re 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus long que par convection).

On parlera d'écoulement laminaire si Re < 2000 .

Nombre de Reynolds méthode

13.4.1) Nombre de Reynolds associé à une voiture

On s'intéresse à une voiture qui se déplace dans l'air de viscosité η = 18.10

P l avec la vitesse v = 100km/h . Calculer le nombre de Reynolds. Qualier l'écoulement.

13.4.2) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'eau d'un robinet On s'intéresse à un tuyau d'eau de diamètre intérieur d = 12mm .

Justier le fait que pour un débit volumique D

= 0, 2L/min , l'écoulement est laminaire et pour un débit D

= 10L/min , l'écoulement est turbulent.

13.4.3) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'huile sur un plan incliné

On s'intéresse à une mince couche d'huile (de viscosité η = 1, 0P l , masse volumique µ = 1, 0.10

kg/m

) d'épaisseur e = 1mm , qui coule le long d'un plan zOx incliné d'un angle α = 30

. Son champ des vitesse est de la forme

~ v = µ.g. sin α

2η y. (2.e − y) .~ u

L'écoulement est-il laminaire ?

13.4.4) Nombre de Rossby dans l'atmosphère

1) Ecrire l'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen.

On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écoulement, L une dimension horizontale caractéristique de celui-ci. On appelle nombre de Rossby (noté R

) d'un écoulement le rapport sans dimension entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans la précédente équation.

2) Évaluer R

pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10m.s

et L = 1000km . Commenter le résultat obtenu.

3) Même chose pour un écoulement d'air dans une pièce : U = 1m.s

et L = 10m .

Les techniques mathématiques à connaître

Dérivées partielles connues

On suppose que df (x, y) = a(x, y) dx + b(x, y) dy , où

• la fonction a(x, y) =

est connue ;

• la fonction b(x, y) =

est connue ;

• la fonction f (x, y) est à déterminer.

Première intégration

On suppose que y = cste ⇒ df (x, y) = a(x, y) dx , que l'on peut intégrer : Z

df (x, y) = Z

a(x, y) dx ⇒ f (x, y) = A(x, y) + C(y) avec

• A(x, y) , une primitive de a(x, y) (par rapport à x ) : A(x, y) = R

a(x, y) dx ;

• C(y) , une constante pour x donc a priori une fonction de y (qu'il s'agit de déterminer).

Résultat intermédiaire On a donc maintenant :

b(x, y) = ∂f

∂y = ∂

∂y (A(x, y) + C(y)) = ∂A(x, y)

∂y + ∂C (y)

∂y ⇒ ∂C (y)

∂y = b(x, y) − ∂A(x, y)

∂y Comme C(y) n'est fonction que de y , dC(y) = b(x, y) dy −

dy .

Seconde intégration

Il s'agit maintenant d'intégrer cette précédente relation : Z

dC(y) = Z

b(x, y) dy −

Z ∂A(x, y)

∂y dy On trouve donc une primitive C(y) = B(x, y) − D(x, y) + E où

• B(x, y) , une primitive de b(x, y) (par rapport à y ) : B(x, y) = R

b(x, y) dy ;

• D(x, y) , une primitive de

(par rapport à y ) : D(x, y) = R

∂y

dy ;

• E , une constante aussi bien pour x que pour y . Conclusion

La fonction recherchée est f (x, y) = A(x, y) + B(x, y) − D(x, y) + E .

Calcul des fonctions f (x, y) dont on connaît les dérivées partielles méthode

13.5.1) Calcul d'une fonction f (x, y) telle que df = a dx + b dy

1) Déterminer la fonction f dont la diérentielle est df = a dx + b dy où a et b sont des constantes.

13.5.2) Calcul d'une fonction f (x, y) telle que df = y dx + x dy 1) Déterminer la fonction f dont la diérentielle est df = y dx + x dy .

13.5.3) Calcul d'une fonction f (x, y) telle que df = y

− 3

x dx + 1 + x

y dy 1) Déterminer la fonction f dont la diérentielle est df = y

− 3

x dx + 1 + x

y dy .

13.5.4) Calcul d'une fonction f (x, y) telle que df = y

x dx + x

y dy 1) Déterminer la fonction f dont la diérentielle est df = y

x dx + x

y dy .

13.5.5) Calcul d'une fonction f (x, y) telle que df = 2 y x dx + x

dy

1) Déterminer la fonction f dont la diérentielle est df = 2 y x dx + x

dy .

Résolution de problème

La trompe à vide

Extraits de la notice d'un matériel pour la chimie site du vendeur

De l'eau pour faire le vide

Accueil > Résultats de votre Recherche > Page Produit Trompe à eau

Pour la création de vide et l'aspiration de liquides et de vapeurs (connecter un piège à froid au besoin).

Particulièrement ecace avec une pression d'eau faible.

- Consommation d'eau de 300 L/h ;

- Pression nale de 20 mbar avec une pression de l'eau de 1 bar ; - Volume d'aspiration, ±270 L d'air par heure ;

- Bonne résistance chimique ;

- Température d'utilisation prolongée max. de 80

C .

Les trompes à eau sont livrées avec une olive (diamètre extérieur 12 − 13 mm ) pour le raccord pour l'eau et une autre olive (diamètre extérieur 9 − 11 mm ) pour le raccord au vide.

exo 13.2) Enoncé

1) Faire le schéma d'une trompe à eau et en donner les dimensions caractéristiques, en particulier le diamètre

du goulot d'étranglement.

Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 13.3) Oscillations dans un tube en U

On s'intéresse à un tube en U, de section constante S , placé dans un plan vertical, au repos par rapport au référentiel d'étude terrestre supposé galiléen.

Il contient un volume V = S.L d'un liquide incompressible de masse volumique µ . On note g l'accélération de la pesanteur en ce lieu.

A l'équilibre, les deux surfaces libres du liquide dans les deux branches sont à une même altitude choisie comme origine d'un axe Oz vertical ascendant.

L'écoulement est supposé parfait (ce qui revient à négliger les forces de frottement intérieur dues à la viscosité du liquide et les forces de tension supercielle).

Le liquide se comporte de la même façon que dans un tube de courant où la vitesse v est uniforme dans toute la section, et même, dans toute la colonne de longueur L (car µ = cste ).

En tout point M du uide, la vitesse est ~ v(M, t) =

~ e

. où ~ e

est le vecteur unitaire suivant la tangente orientée à la ligne de courant passant par M . Le long de la ligne de courant AB , on note s l'abscisse curviligne, avec R

A

ds = L . 1) Etablir l'équation diérentielle L z ¨ + h

v²

2

+

+ g z i

A

= 0 .

2) En déduire l'équation diérentielle suivie par z qui permet de donner les caractéristiques du mouvement et en particulier la période T des oscillations.

exo 13.4) Clepsydre

Un récipient à symétrie de révolution autour de l'axe Oz a sa section horizontale S qui varie, en fonction de la cote z , comptée à partir d'un orice O de très faible section s percé au fond.

1) Exprimer l'équation diérentielle donnant

, la variation de l'al- titude de l'eau.

On suppose que la section varie suivant la loi : S(z) = S

z z

2) En déduire le temps de vidange entre deux valeurs de la cote.

3) Pour quelle valeur de n ce temps est-il proportionnel à la variation de niveau ?

exo 13.5) Ecoulement dans un tube capillaire

On s'intéresse ici à un tube capillaire à l'intérieur duquel s'écoule l'air atmosphérique (l'appellation capil- laire tient aux dimensions du tube, mais n'entraîne aucunement la prise en compte des eets de capillarité). On considère un tube cylindrique de rayon a , d'axe Oz et de longueur L à travers lequel s'écoule un uide de masse volumique ρ et de viscosité η . L'écoulement est stationnaire et incompressible. On suppose que la pression P

à l'entrée du tube est supérieure à la pression P

à la sortie du tube et on note ∆P la diérence P

−P

. On admet que la densité volumique de forces de viscosité s'écrit η ∆~ v et que les forces de pesanteur sont négligeables.

1) On suppose que l'écoulement est laminaire et à symétrie cylindrique ce qui conduit à chercher le champ

des vitesses en coordonnées cylindriques sous la forme : ~ v = v

(r, z) ~ e

et le champ des pressions sous la forme P (r, z) . Montrer que ~ v = v

(r, z) ~ e

ne dépend en fait que de la variable r .

2) 2.a) En appliquant l'équation d'Euler, établir les relations

∂P

∂r = 0 et ∂P

∂z = η 1 r

∂

∂r

r ∂v

∂r

2.b) Justier que P varie linéairement avec z .

2.c) On suppose que la vitesse est dénie en tout point du tube. Donner la condition aux limites en r = a . En déduire l'expression de cette vitesse en fonction de r , a , η , ∆P et L , avec ∆P = P

− P

.

3) Montrer que le débit volumique peut se mettre sous la forme D

= β ∆P où β est une constante que l'on exprimera en fonction de a , L et η .

Calculer numériquement β avec a = 0, 5mm , L = 5cm et η = 1, 8510

P l . Dans toute la suite du problème on prendra β = 2, 7.10

m

.s.kg

.

4) À quelle condition l'écoulement est-il eectivement laminaire ? Exprimer cette condition en fonction de a , L , η , ρ et ∆P .

Quelle est la valeur maximale de ∆P qui respecte cette condition si ρ = 1, 3kg.m

?

Approche documentaire (DNS)

La tempête Christian

Météo France

extraits issus du site comprendre.meteofrance.com/pedagogique/pour tous/glossaire/

En Europe, la tempête Christian a fait onze victimes le 28 octobre 2013. Des

vents souant à plus de 160 km/h ont causé le chaos dans le sud de l'Angleterre et

le pays de Galles.

Surface isobare

Dans l'atmosphère, une surface isobare est une surface réunissant à un instant déterminé les points en lesquels la pression atmosphérique est égale à une même valeur donnée.

Sur ces surfaces plus ou moins ondulées et incurvées que constituent les surfaces isobares, les météorologistes réunissent par des courbes les points possédant la même altitude géopotentielle ; de telles courbes, appelées lignes isohypses, sont analogues à des courbes de niveau d'une carte géographique et mettent ainsi en évidence la topographie des surfaces isobares : cette topographie, essentielle pour l'observation et la prévision du temps, se décrit principalement en termes d'anticyclones, de dépressions, de dorsales et de thalwegs, et aussi de cols barométriques et de marais barométriques (sur une surface isobare, un col barométrique est une région en forme de selle séparant deux anticyclones et deux dépressions disposés en croix, et un marais barométrique est une région faiblement dépressionnaire analogue à une plaine).

Vent géostrophique

On constate qu'en chaque point, le vecteur vent réellement observé s'écarte peu en vitesse et direction d'un vecteur vent "théorique" appelé vent géostrophique, qui possède deux propriétés :

- il est tangent à la ligne isohypse passant par ce point et son sens est tel qu'il laisse les altitudes géopotentielles plus basses sur sa gauche dans l'hémisphère Nord, sur sa droite dans l'hémisphère Sud ;

- sa vitesse est d'autant plus élevée que les distances entre lignes isohypses successives au voisinage du point d'observation sont plus petites. Plus précisément, à l' échelle synoptique , cette vitesse peut être considérée comme proportionnelle à l'intensité du gradient isobare de géopotentiel (donc à la pente de la surface isobare) en ce point.

Le fait que le vent soue pratiquement dans la direction des lignes isohypses pose question, puisque l'on s'attendrait à un mouvement de l'air dirigé des pressions plus hautes vers les pressions plus basses, et donc perpendiculaire à ces courbes : c'est en réalité la force de Coriolis qui, en déviant ce mouvement vers la droite dans l'hémisphère Nord, vers la gauche dans l'hémisphère Sud, compense l'action des forces de pression horizontales et rend le déplacement de l'air à peu près parallèle aux lignes isohypses. Cette répartition générale des vents (hors de la zone équatoriale) exprime l'existence d'un état d'équilibre dynamique dont les mouvements de l'atmosphère tendent sans cesse à se rapprocher sans jamais l'atteindre.

Force de Coriolis

Sur Terre, la force de Coriolis s'applique en particulier aux parcelles d' air et d'eau constituant respectivement

l'atmosphère et l'océan. Lorsque la composante horizontale C ~

de cette force s'exerce sur le centre de masse B

de l'une de ces parcelles, elle est de direction orthogonale à la composante horizontale V ~

de la vitesse de B et a

une valeur numérique proportionnelle au produit f mv

, où m représente la masse de la parcelle et v

la valeur

numérique de V ~

; le coecient de proportionnalité est la valeur absolue d'un nombre symbolisé par la lettre f

et appelé le paramètre de Coriolis, qui prend la forme f = 2Ω sin λ , où Ω est la vitesse angulaire de rotation (constante) de la Terre sur elle-même et λ la latitude où se trouve B : ce nombre f , positif dans l'hémisphère Nord, négatif dans l'hémisphère Sud, a la dimension du produit d'une mesure angulaire par l'inverse d'un temps (il vaut environ 10

rad · s

pour λ = +45

) et n'est autre que la valeur numérique prise par la composante verticale en B du tourbillon de la Terre dans un référentiel galiléen.

Synoptique

L'adjectif "synoptique" en météorologie qualie les phénomènes atmosphériques dont l'ordre de grandeur est de quelques milliers de kilomètres pour les dimensions horizontales, de quelques kilomètres pour la dimension verticale et de quelques jours pour la durée ; l'échelle spatio-temporelle ainsi décrite s'appelle précisément l'échelle synoptique et constitue par excellence le cadre de la prévision opérationnelle sur une échéance de un à trois jours dans les zones tempérées : pareille prévision repose en eet sur l'évolution de systèmes anticycloniques et dépressionnaires de la basse atmosphère qui constituent autant d'objets météorologiques généralement bien ajustés à cette échelle dans l'espace et le temps, de même que les perturbations atmosphériques et les zones frontales susceptibles de s'y développer.

Buys-Ballot (Christophorus Henricus)

La règle de Buys-Ballot indique, premièrement, que dans l'hémisphère Nord la direction du vent - compte tenu de son sens - laisse les basses pressions sur sa gauche et les hautes pressions sur sa droite (la disposition inverse valant pour l'hémisphère Sud), et deuxièmement, que la vitesse du vent est d'autant plus élevée que les lignes isobares sont plus resserrées.

exo 13.6) Enoncé

1) 1.a) Représenter une vue de la Terre en coupe, avec O, le centre de la Terre, les pôles nord (PN) et sud (PS), un point B à la surface de la Terre, λ la latitude de B et le vecteur rotation ~ Ω de la Terre.

1.b) Calculer la valeur numérique de Ω .

2) Vérier que la composante horizontale de la force de Coriolis C ~

exercée sur une "parcelle d'atmosphère"

de masse m , de centre de masse en B et de vitesse ~ v est bien cohérente avec l'expression donnée par le document.

3) 3.a) En faisant un bilan sur un écoulement unidimensionnel entre une zone de haute pression P

à l'entrée et une zone de basse pression P

à la sortie, exprimer la résultante Π ~ des forces de pression appliquées sur le uide.

3.b) En passant à un système innitésimal, exprimer la résultante des forces de pression exercée sur la

"parcelle d'atmosphère" de centre de masse en B et de volume V en fonction de −−→

grad P .

4) En supposant l'existence d'un état d'équilibre dynamique, démontrer la règle de Buys-Ballot.

5) Sur la carte météo,

5.a) Déterminer où sont les zones de hautes et basses pressions.

5.b) Représenter à plusieurs endroits des vecteurs vitesse horizontaux de l'atmosphère.

5.c) Où les vents sont-ils les plus violents ?

6) 6.a) En utilisant le fait que la valeur numérique du rayon de la Terre est R ≈ 6700 km , évaluer sur la carte météo la valeur maximale atteinte par la vitesse du vent.

6.b) Est-ce cohérent avec les données du chapeau ?

Problème (DNS)

Écoulement dans un conduit de section rectangulaire

On étudie l'écoulement laminaire d'un uide newtonien incompres- sible, de masse volumique ρ et de viscosité dynamique de cisaillement η .

Le repère par rapport auquel on étudie l'écoulement, noté (O, ~ e

, ~ e

, ~ e

) est galiléen. (O~ e

) est la direction verticale ascendante.

Le champ de pesanteur est uniforme, de norme g : ~ g = −g.~ e

. Enn x , y , z , t sont les coordonnées eulériennes des particules de uide.

Le uide s'écoule dans un conduit rectangulaire de section ab , consi- déré illimité selon la direction ~ e

. Les parois matérielles horizontales d'une part, verticales d'autre part sont de nature diérente. La paroi supérieure peut être en mouvement de translation selon ~ e

. La tem- pérature est uniforme sur l'ensemble du système. On ne considère que les écoulements de vitesse : ~ v = v(z, t).~ e

dont le champ de pression est p = p(x, z, t) .

1) Commenter les deux champs eulériens proposés : direction de ~ v , dépendance selon les coordonnées eulériennes. Préciser les conditions que doit vérier la vitesse sur les parois horizontales. Qu'en est-il sur les parois verticales ? Donner la valeur de l'accélération particulaire convective.

2) En faisant un bilan de quantité de mouvement relatif à un parallélépipède élémentaire de uide, de côtés dx , dy , dz , établir les équations ci-dessous, satisfaites par les fonctions v et p , leurs dérivées partielles et les données ρ , η et g .

(

ρ

= −

+ η

0 = −

− ρg Dans toute la suite de cette partie, l'écoulement est stationnaire.

3) Justier que la pression dépend linéairement de x , à z donné. On note : p

= p(x = 0, z = 0) , p

= p(x = L, z = 0) et ∆p = p

− p

. Déterminer complètement le champ de pression p(x, z) . Qualier la répartition de pression dans les plans d'abscisse x .

4) Dans cette question la paroi supérieure est immobile.

4.a) Le uide s'écoulant dans le sens de ~ e

, quel doit être le signe de ∆p ?

4.b) Etablir l'expression de la vitesse v(z) en fonction de z et des données. Exprimer sa valeur maximale v

et sa valeur moyenne v

. Représenter le prol du champ des vitesses.

4.c) Calculer le débit massique D

à travers la section ab , en fonction de la valeur moyenne de la vitesse.

4.d) Par intégration des densités surfaciques de force de viscosité, calculer la force F ~ qu'il faut exercer sur les deux parois horizontales, relativement aux rectangles d'aire Lb ( L selon x , b selon y ) pour les maintenir immobiles. On exprimera F ~ en fonction de ∆p et des données géométriques. Retrouver ce résultat par un bilan de quantité de mouvement relatif au uide contenu dans le parallélépipède de côtés L , b , a .

5) Dans cette question la paroi supérieure est en mouvement de translation, de vitesse ~ v

= v

.~ e

.

5.a) Etablir l'expression de la vitesse v(z) en fonction de z et des données. Commenter l'expression trouvée. On envisagera le cas ∆p = 0 .

5.b) Calculer la valeur de v

, pour laquelle le débit massique à travers la section ab est nul. Le signe du produit v

∆p est-il prévisible ?

5.c) Dans ce cas, exprimer v(z) en fonction de z et des paramètres v

et a . Représenter le prol du champ des vitesses.

5.d) v

ayant la valeur établie ci-dessus, quelle force faut-il exercer sur la plaque mobile, relativement à l'aire bL , pour maintenir l'écoulement stationnaire ? On exprimera cette force en fonction de v

, des paramètres géométriques et de η .

6) Les questions précédentes étudient l'écoulement stationnaire d'un uide visqueux sous l'action d'un

gradient de pression seul, puis associé au mouvement d'une paroi. Qu'en serait-il pour un uide idéal ?