Contraintes de

RESISTANCE DES MATERIAUX (3)

Référence:

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Notes de cours:

J. Walt Oler

Texas Tech University

Contraintes de

cisaillement dans les

poutres

Introduction

• La distribution des contraintes normales et cisaillantes doivent satisfaire,

• Les chargements transversaux appliqués à une poutre induisent des contraintes

normales et cisaillantes dans les sections droites.

• Les contraintes de cisaillement longitudinales doivent exister dans tous les éléments de volume soumis à un chargement transversal.

• Quand les contraintes de cisaillement sont exercées sur les faces verticales d’un

élément de volume, une contrainte égale doit être exercée sur les faces horizontales de l’élément.

( )

( )

0 0

0

0 0

x x x xz xy

y xy y x

z xz z x

F dA M y z dA

F dA V M z dA

F dA M y dA

σ τ τ

τ σ

τ σ

= = = − =

= = = =

= = = − =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Cisaillement sur une face horizontale d’un élément de poutre

• Considérons une poutre prismatique

• L’équilibre de l’élément de poutre

• Note,

• En substituant,

flow shear

I VQ x

q H

I x H VQ

=

∆ =

= ∆

∆

=

∆

Flux de cisaillement

( )

x 0 C D

A

C D

A

F H dA

M M

H y dA

I

σ σ

= = ∆ + −

∆ = −

∑ ∫

∫

A

C D

Q y dA

M M dM x V x dx

=

− = − ∆ = ∆

∫

A.N

Q : Moment statique ou premier moment

Cisaillement sur une face horizontale d’un élément de poutre

• Flux de cisaillement,

• où

• Le même résultat est trouvé pour la surface de dessous.

flow shear

I VQ x

q H = =

∆

= ∆ Flux de cisaillement

section cross

full of moment second

above area

of moment first

' 2

1

=

= ∫

=

= ∫

+A A A

dA y I

y dA

y Q

Premier moment au-dessus de y₁

second moment de la section entière

H H

Q Q

I q Q V x

q H

∆

−

′ =

∆

=

′ = +

− ′

′ =

∆ =

∆ ′

′=

axis neutral to

respect h

moment wit first

0

Premier moment par rapport à l’axe neutre

Exemple 6.01

Soit une poutre composée de trois planches,clouées ensembles. Sachant que l’espacement entre les clous est de 25 mm et que le cisaillement vertical de la poutre est V = 500 N, déterminer la force de cisaillement dans chaque clou.

SOLUTION:

• Déterminer la force horizontale par unité de longueur ou le flux de

cisaillement q sur la surface du bas de la poutre du dessus.

• Calculer la force de cisaillement correspondante dans chaque clou.

Exemple 6.01

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

4 6

2 3

121

3 121

3 6

m 10 20 . 16

] m 060 . 0 m 100 . 0 m 020 . 0

m 020 . 0 m 100 . 0 [ 2

m 100 . 0 m 020 . 0

m 10 120

m 060 . 0 m 100 . 0 m 020 . 0

−

−

×

=

× +

+

=

×

=

×

=

=

I

y A Q

SOLUTION:

• Déterminer la force horizontale par unité de longueur ou le flux de

cisaillement q sur la surface du bas de la poutre du dessus.

Nm 3704

m 10 16.20

) m 10 120 )(

N 500 (

4 6 -

3 6

=

×

= ×

= ⁻

I q VQ

• Calculer la force de cisaillement correspondante dans chaque clou espacé de 25 mm.

m N q

F =(0.025m) = (0.025m)(3704 N

6 .

=92 F

Détermination de la contrainte de cisaillement dans une poutre

• La contrainte de cisaillement moyenne sur la surface horizontale de l’élément est obtenue en divisant la force de cisaillement par l’aire de la surface.

moy

H q x VQ x

A A I t x

VQ It

τ = ^∆ = ^∆ = ^∆

∆ ∆ ∆

=

• Sur les surfaces haute et basse de la poutre, τ_yx= 0. Cela implique que τ_xy= 0 sur les bords du dessus et du dessous des sections droites.

• Si la largeur de la poutre est comparable à sa hauteur, les contraintes de cisaillement en D₁ et D₂ sont plus grandes qu’en D.

t

Contraintes de cisaillement τ

dans des poutres classiques

• Pour une poutre rectangulaire étroite,

A V

c y A

V Ib

VQ

xy

2 3

2 1 3

max

2 2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

=

τ τ

• Pour des poutres du type « IPE »

max moy

ame

VQ It

V A τ

τ

=

=

Discussion sur la distribution des contraintes dans une poutre rectangulaire étroite

• Les contraintes de cisaillement sont indépendantes de la distance au point d’application du chargement.

• Les déformations normales et les contraintes

normales ne sont pas affectées par les contraintes en cisaillement.

• Du principe de Saint-Venant, les effets du mode d’application du chargement sont négligeables, sauf aux abords immédiats des points d’applications du chargement.

2 2

3 1

2

xy

P y

A c

τ = − ^⎛⎜ − ^⎞⎟

⎝ ⎠ ^x

Pxy σ = − I

• Considérons une poutre cantilever étroite soumise à un chargement P sur son bout libre:

Problème 6.2

Une poutre en bois est soumise à trois chargements concentrés. Sachant que le type de bois utilisé est tel que,

12 0,8

adm MPa adm MPa

σ = τ =

Déterminer l’épaisseur minimum requise d pour la poutre.

SOLUTION:

• Tracer les diagrammes des efforts intérieurs (cisaillement et moment de flexion). Identifier les maximum.

• Déterminer la hauteur de poutre à partir de la contrainte normale acceptable.

• Déterminer la hauteur de poutre à partir de la contrainte de cisaillement acceptable.

• L’épaisseur de poutre requise est égale à la plus grande hauteur trouvée.

0,6 m 0,9 m 0,9 m 0,6 m

3 m

11 kN 4 kN 11 kN

0,1 m

Problème 6.2

SOLUTION:

Tracer les diagrammes des efforts intérieurs (cisaillement et moment de flexion). Identifier les maximum.

max max

13 kN 9,6 kN V

M m

=

= ⋅

+

0,6 m 0,9 m 0,9 m 0,6 m

11 kN 4 kN 11 kN

13 kN 13 kN

-13 kN

2 kN

-2 kN

-13 kN

7,8 kN.m

7,8 kN.m 9,6 kN.m

Problème 6.2

( )

( )

1 3 12

1 2 6 1 2 6

2

0,1 0.0166 I b d w I b d

c

m d m d

=

= =

=

=

• Déterminer la hauteur de poutre à partir de la contrainte normale acceptable.

( )

max

2

12 9,6

0,0166 0,2195

adm

M w MPa kN m

m d

d m

σ =

= ⋅

=

• Déterminer la hauteur de poutre à partir de la contrainte de cisaillement acceptable.

( )

3 max

2

3 13

0,8 2 0,1

0,2437 .

adm

V A MPa kN

m d

d m

τ =

=

=

• La hauteur de poutre requise est égale à la plus grande hauteur trouvée.

0,2437 .

d = m

b = 0,1 m

Cisaillement longitudinal sur un élément poutre de forme arbitraire

• Nous avons examiné la distribution des composantes verticales τ_xy sur une section transverse d’une poutre. Nous souhaitons maintenant considérer les composantes horizontales τ_xz des

contraintes

• Considérons un élément de poutre prismatique défini par la surface CDD’C’.

• Exceptées les différences pour les aires d’intégration, c’est le même

résultat obtenu auparavant qui donnait,

I VQ x

q H I x

H VQ =

∆

= ∆

∆

=

∆

( )

∑ = = ∆ + ∫ − a

dA H

F_x 0 σ_CD σ_DC

A.N

Exemple 6.04

Une poutre creuse carrée est construite à partir de quatre planches. Sachant que l’espacement des clous est de 0,04 m. et que la poutre est soumise à un

cisaillement vertical d’intensité V = 2600 N, déterminer la force de

cisaillement dans chaque clou.

SOLUTION:

• Déterminer la force de cisaillement par unité de longueur le long de chaque bord de la planche

supérieure.

• A partir de l’espacement des clous, déterminer la force de cisaillement dans chaque clou.

0,02 m 0,07 m 0,02 m

0,02 m 0,1 m

Exemple 6.04

Pour la planche du dessus,

( )( )( )

6 3

ˆ 0.02 m. 0,07 m. 0,04 . 56 .10

Q A y m

− m

= ′ =

=

Pour la section complète de la poutre,

( )

( )

1 1

12 12

6 4

0,1 m 0,07 m 6,33 10

I

− m

= −

=

SOLUTION:

• Déterminer la force de cisaillement par unité de longueur le long de chaque bord de la planche

supérieure.

• A partir de l’espacement des clous, déterminer la force de cisaillement dans chaque clou.

( )

3 N

11,5.10 0,04 m F = f A = ⎜⎛⎝ m⎞⎟⎠

= 460

( )

(

)

-6 4

3

2600 56.10 N

23.10

6,33.10 m

11,5.10 N

2 m

Force au bord par unité de longueur

N m

q VQ

I m

f q

−

= = =

= =

= A.N

0,02 m 0,07 m

0,1 m 0,07 m

0,07 m

0,1 m ŷ = 0,04 m

Contraintes de cisaillement dans les membrures fines

• Considérons un segment de poutre en I soumise à un cisaillement vertical V.

• La force de cisaillement longitudinale est I x

H = VQ∆

∆

It VQ x

t H

xz

zx =

∆

≈ ∆

=τ τ

• La contrainte en cisaillement correspondante est

• NOTE: ^τ_xy ^{≈ 0}

≈ 0 τxz

dans les brides dans l’âme

• Une expression similaire a été trouvée précédemment pour la contrainte de cisaillement dans l’âme

It VQ

xy = τ

Contraintes de cisaillement dans les membrures fines

• La variation de l’écoulement en

cisaillement à travers la section dépend seulement de la variation du premier moment.

• Pour une poutre creuse, q grandi doucement de zéro à A jusqu’à un

maximum en C et C’ et ensuite décroît jusqu’à zéro en E.

• Le sens de q dans les portions

horizontales de la section peut être déduit du sens dans les portions

verticales ou du sens du cisaillement V.

I t VQ q =τ =

A.N A.N

Contraintes de cisaillement dans les membrures fines

• Pour une poutre de type I, l’écoulement du cisaillement s’accroît

symétriquement de zéro jusqu’à A et A’, atteint un maximum en C est décroît jusqu’à zéro en E et E’.

• La continuité de la variation dans q et à la sortie de q des sections des brides suggèrent une analogie à un écoulement de fluide.

A.N A.N