MATRICE INVERSE ET SYSTEMES SYNTHESE DE COURS.
Dans tout le chapitre, n, p, q désignent des entiers naturels.
I. Inverse d’une matrice carrée.
1. Matrices unités.
On appelle matrice unité d’ordre n la matrice In, carrée d’ordre n, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1.
Théorème : Pour toute matrice M carrée d’ordre n : InM = MIn = M Pour toute matrice colonne C de format (n,1) : InC = C Pour toute matrice ligne L de format (1,n) : LIn = L
2. Inverse d’une matrice carrée.
Soit A une matrice carrée d’ordre n. On dit que A est inversible si et seulement si il existe une matrice carrée d’ordre n, notée A‐1 telle que A × A‐1 = A‐1 ×A =In
La matrice A‐1 est alors unique et est appelée la matrice inverse de A.
Démonstration de l’unicité :
3. Condition d’inversibilité pour les matrices carrées d’ordre 2.
Soit A =
a b
c d une matrice carrée d’ordre 2.
Si ad bc ≠ 0, A est inversible et on a A‐1 = 1 adbc
d -b -c a Si ad bc = 0, A n’est pas inversible
ad bc s’appelle le déterminant de la matrice A Démonstration :
Soit A =
a b
c d une matrice carrée d’ordre 2.
Si ad bc ≠ 0 :
Si A est inversible :
II. Matrices et systèmes linéaires.
Tout système linéaire de n équations à n inconnues peut s’écrire sous une forme matricielle du type AX = B où A est une matrice carrée d’ordre n et X et Y sont des matrices colonnes de taille (n,1).
Si la matrice A est inversible, le système a une unique solution donnée par X = A‐1B.
