T.S.V.P.
Master 1 Mathématiques
2018-2019
M402 - Analyse
S18 novembre 2018
DS1
[ durée : 2 heures ]
Les documents ne sont pas autorisés. Le sujet comporte 3 exercices indépendants qui pourront être traités dans l’ordre de votre choix. Une attention particulière devra être apportée à la rédaction qui sera un élément important d’appréciation.
Exercice 1. Soitϕ: [0,1]−→Rune fonction continue et strictement monontone. On note E l’espace de Banach des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles, muni de la norme uniforme kfk∞= supt∈[0,1]|f(t)|, f ∈E. On considère enfin une application linéaire continue T :E −→E vérifiant
T(ϕf) =ϕT(f), f ∈E.
a) Montrer qu’il existeh∈E telle que pour tout polynômeP, on a (T(P◦ϕ))(x) = h(x)P(ϕ(x)),x∈[0,1].
b) Montrer que A={P ◦ϕ:P polynomiale} est dense dansE.
c) En déduire qu’il existeh ∈E telle que pour toute fonction f ∈E, on a T(f) = hf.
Exercice 2. Pour 1 ≤ p ≤ +∞, on note Lp = Lp([0,1]) l’espace de Lebesgue sur [0,1] muni de la mesure de Lebesgue.
a) Soit 1< q < p≤+∞. Montrer que si f ∈Lp, alors f ∈Lq aveckfkq ≤ kfkp. b) SoitV un sous espace vectoriel fermé de L1 tel que
V ⊂ [
p>1
Lp.
Pour n∈N∗, on pose pn= 1 + n1 et on définit
Fn={f ∈V ∩Lpn :kfkpn ≤n}.
(i) Montrer que
V = [
n≥1
Fn. Indication : on pourra utiliser a).
(ii) Montrer que pour tout n ≥1, Fn est un fermé de (V,k · k1).
Indication: on pourra utiliser le lemme de Fatou dont on rappelle l’énoncé : si (fn)n est une suite de fonctions mesurables positives sur [0,1], alors on a
R1
0 lim infn→+∞fn(t)dt ≤lim infn→+∞R01fn(t)dt.
(iii) En déduire qu’il existe n0 > 1 tel que V ⊂ Lpn0 et telle que l’injection canonique
i: V −→ Lpn0 f 7−→ f est continue.
Exercice 3. Soit X un espace de Banach sur C. On définit le C-espace vectoriel suivant :
c0(X) ={a= (an)n∈N ∈XN:kankX →0, n →+∞}, et pour a∈c0(X), on pose
kak∞ = sup
n≥0
kankX.
On admet que (c0(X),k·k∞) est un espace de Banach. Soit (x∗n)n∈Nune suite d’éléments deX∗. PourN ≥0, on définit
VN : c0(X) −→ C a= (an)n∈N 7−→ VN(a) =
N
X
n=0
x∗n(an).
a) Montrer que, pour toutN ≥0, VN est linéaire et continue.
b) Soitε >0 et N ≥0.
(b1) Justifier que pour toutn ≥0, il existean∈X, kank= 1 tel que kx∗nk − ε
N + 1 ≤ |x∗n(an)|.
(b2) En déduire quekVNk=
N
X
n=0
kx∗nk.
c) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Pour toute suite (an)n∈N∈XN, on a
(kankX →0, n→+∞) =⇒ la série X
n
x∗n(an) converge ; (ii) La série X
n
kx∗nk converge.
d) On considère dans cette questionX =C([0,1],C) leC-espace vectoriel des fonc- tions continues sur [0,1] muni de la norme kfk∞= sup
t∈[0,1]
|f(t)|. On considère une suite (an)n≥0 ∈CN. En utilisant la question (c), donner une condition nécessaire et suffisante sur la suite (an)n≥0 pour que la propriété suivante soit vérifiée : pour toute suite (fn)n∈N ∈XN, on a
(kfnk∞→0, n→+∞) =⇒ la série X
n
an
Z 1
0
xnfn(xn)dx converge.
2
