2018-2019

T.S.V.P.

Master 1 Mathématiques

2018-2019

M402 - Analyse

DS2 Examen

8 janvier 2019 [ durée : 3 heures ]

Les documents ne sont pas autorisés. Le sujet comporte 4 exercices indépendants qui pourront être traités dans l’ordre de votre choix. Une attention particulière devra être apportée à la rédaction qui sera un élément important d’appréciation.

Exercice 1.

a) Donner l’énoncé du théorème du graphe fermé.

b) Donner l’énoncé du théorème d’extension des formes linéaires de Hahn–Banach.

c) SoitY un espace vectoriel normé. Montrer, en utilisant le théorème d’extension de Hahn-Banach, que si y₁, y₂ ∈ Y et y₁ 6= y₂, alors il existe y^∗ ∈ Y^∗ tel que y^∗(y₁)6=y^∗(y₂).

d) Soient X, Y deux espaces de Banach et T : X −→ Y linéaire. On suppose que, pour touty^∗ ∈Y^∗, on a y^∗◦T ∈X^∗. Montrer queT est continue.

Exercice 2. Soit H un espace de Hilbert. Si C est un convexe fermé, non vide de H, on noteP_C la projection orthogonale de H surC.

a) SoientC₁,C₂ deux convexes fermés, non vides de H, tels que C₁ ⊂C₂. Montrer à l’aide de l’identité du parallélogramme que, pour tout x∈H, on a

kP_C1(x)−P_C2(x)k² ≤2dist(x, C₁)²−dist(x, C₂)².

b) Soit (C_n)n≥1 une suite décroissante (i.e. C_n+1 ⊂ C_n, n ≥ 1) de convexes fermés non vides deH. On noteC l’intersection desC_net on suppose queC 6=∅. Fixons un point x ∈H et notons xn =PCn(x), n ≥ 1. On note aussi un = dist(x, Cn), n≥1.

(i) Montrer que (u_n)_n≥1 est une suite convergente dans R⁺. (ii) En déduire que (x_n)n≥1 est une suite convergente dans H.

Indication : on pourra utiliser la question a).

(iii) Montrer que (xn)n≥1 converge vers PC(x).

Indication : on pourra remarquer que si y est la limite de la suite (x_n)n≥1, alors y∈C, puis montrer que dist(x, C) = limn→+∞dist(x, C_n).

Exercice 3. Soit c∈R^∗+. On considère les deux fonctions f et g_c définies par f(t) = e^−2π|t| et gc(t) = _t2+c^{1 2}, t∈R.

a) Justifier quef etg_c sont deux fonctions dans L¹(R).

b) Calculerf^b.

c) En déduireg_bc.

d) Soient 0< a < b <+∞. On considère l’équation intégrale (E)

Z +∞

−∞

g(t)

(x−t)²+a² dt = 1

x²+b², x∈R,

où g ∈L¹(R) est l’inconnue. Résoudre (E), c’est-à-dire trouver toutes les fonc- tions g ∈L¹(R) solutions de (E).

Exercice 4. Soit 1≤p≤+∞. Pour chaque fonction f ∈L^p(R), on considère T_f(ϕ) =

Z +∞

−∞

f(t)ϕ(t)dt, (ϕ∈S(R)).

a) Vérifier que T_f est une distribution tempérée.

b) Pour n∈N^∗. On pose f_n(x) =

Z n

−n

f(t)e^−2iπxtdt, (x∈R).

Justifier, pour tout n ≥ 1, f_n est une fonction continue et bornée sur R (on pourra si on veut utiliser un théorème du cours).

c) Montrer que (T_fn)n≥1 converge vers T^c_f dans S⁰(R).

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