Espaces vectoriels euclidiens et hermitiens, isom´ etries affines (2M271)

Sorbonne Universit´ e

Licence de Sciences et Technologies Mention Math´ ematiques

Ann´ ee 2018–2019

Espaces vectoriels euclidiens et hermitiens, isom´ etries affines (2M271)

par Laurent KOELBLEN et Patrick POLO repris et revu par Marco MACULAN,

puis Yves COUD` ENE et Pierre-Antoine GUIH´ ENEUF

Avec un appendice de Fr´ed´eric Le Roux

Pierre-Antoine Guih´eneuf Sorbonne Universit´e

Institut de Math´ematiques de Jussieu (UMR 7586 du CNRS) http://webusers.imj-prg.fr/~pierre-antoine.guiheneuf/

pierre-antoine.guiheneuf@imj-prg.fr

TABLE DES MATI` ERES

1. Formes bilin´eaires sym´etriques et formes quadratiques. . . 1

1.0. Introduction. . . 1

1.1. Formes bilin´eaires. . . 1

1.2. Formes quadratiques. . . 6

1.3. R´eduction d’une forme quadratique en«somme de carr´es». . . 8

2. Espaces euclidiens et groupes orthogonaux O(n) . . . 13

2.1. Espaces euclidiens. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Isom´etries. . . 13

2.2. Endomorphismes auto-adjoints et th´eor`eme de diagonalisation simultan´ee. . . 18

2.3. Orthogonalit´e. Orthonormalisation de Gram-Schmidt. . . 22

2.4. Bases directes ou indirectes. ´Etude des groupes O(n) et SO(n). . . 26

2.5. ´Etude de O(2) et O(3). . . 27

2.6. Appendice (†) : mesure des angles dansR². . . 36

2.7. Appendice (†) : d´ecomposition d’Iwasawa de GLn(R). . . 37

2.8. Appendice (†) : d´ecomposition en valeurs singuli`eres. . . 38

3. Espaces affines, coniques et quadriques. . . 43

3.1. Espaces affines r´eels. . . 43

3.2. Barycentres et sous-espaces affines. . . 47

3.3. Projections, sym´etries, points fixes. . . 52

3.4. Espaces affines euclidiens. . . 53

3.5. Coniques. . . 57

3.6. Quadriques en dimension 3. . . 63

4. Formes hermitiennes, espaces hilbertiens et groupes unitaires. . . 67

4.0. Rappels sur les nombres complexes. . . 67

4.1. Formes hermitiennes. . . 67

4.2. R´eduction en sommes de carr´es de modules. . . 73

4.3. Espaces hilbertiens. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Isom´etries. . . 75

4.4. Diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints et normaux. . . 79

4.5. Forme normale des ´el´ements de O(n). . . 82

4.6. Appendice (†) : espaces pr´ehilbertiens r´eels ou complexes. . . 85

CHAPITRE 1

FORMES BILIN´ EAIRES SYM´ ETRIQUES ET FORMES QUADRATIQUES

R´esum´e : Dans ce chapitre, on commence l’´etude des formes bilin´eaires sym´etriques et des formes quadratiques, le cas le plus important ´etant sans doute celui du produit scalaire euclidien surRⁿ, qui sera

´

etudi´e en d´etail dans le chapitre suivant. Dans le pr´esent chapitre, on introduit les g´en´eralit´es concernant les formes bilin´eaires sym´etriques : matrice dans une base, formule de changement de base, notion d’or- thogonalit´e. Les r´esultats fondamentaux `a retenir sont ??, le th´eor`eme de Sylvester 1.3.9, et l’algorithme de r´eduction en«somme de carr´es»1.3.3.

On a indiqu´e par des symboles



les d´efinitions, exemples et r´esultats fondamentaux.

1.0. Introduction

SoitV un R-espace vectoriel de dimension n, une forme bilin´eaireφ sur V est un moyen d’associer `a tout couple de vecteurs (v, w) un scalaireφ(v, w)∈R, qui d´epend lin´eairement dev et dew. Un exemple typique est le produit scalaire usuel surV =R³, dans ce cas, la fonction

v7→Φ(v) =φ(v, v)

mesure la longueur du vecteur v; on dit que Φ est une forme quadratique car son expression en fonction des coordonn´ees (x₁, x₂, x₃) dev dans une base arbitraireBdeV est un polynˆome homog`ene de degr´e 2 enx₁, x₂, x₃.

D’autres formes quadratiques apparaissent de fa¸con naturelle. Par exemple, dans la th´eorie de la relati- vit´e on remplace l’espaceR³par l’espace-tempsR⁴muni de la forme quadratique de Lorentz et Minkowski :

Ψ(x, y, z, t) =x²+y²+z²−t²

(noter que Ψ prend des valeurs > 0 et < 0 et qu’il existe des v ∈ R⁴−−− {0} tels que Ψ(v) = 0), elle correspond `a la forme bilin´eaire sym´etriqueψsurR⁴ d´efinie par

ψ















 x y z t







 ,







 x⁰ y⁰ z⁰ t⁰

















=xx⁰+yy⁰+zz⁰−tt⁰.

Ceci conduit `a ´etudier de fa¸con g´en´erale, pour un espace vectorielV de dimension finiensur le corps k=RouC, les formes bilin´eaires sym´etriquesV ×V →ket les formes quadratiques associ´ees.

1.1. Formes bilin´eaires

Dans ce chapitre, on suppose que le corps de basekestQ,RouC.

D´efinition 1.1.1 (Formes bilin´eaires). — SoitE unk-espace vectoriel (pas n´ecessairement de dimen- sion finie).

(1) Uneforme bilin´eairesurEest une applicationφ:E×E→kqui est lin´eaire en chaque variable, c.-`a-d., pour toutx, x⁰, y, y⁰ ∈E etλ, µ∈k, on a :



φ(λx+x⁰, y) =λφ(x, y) +φ(x⁰, y) φ(x, µy+y⁰) =µφ(x, y) +φ(x, y⁰)

(0)version du 9 avril 2019

et donc φ(λx+x⁰, µy+y⁰) =λµφ(x, y) +λφ(x, y⁰) +µφ(x⁰, y) +φ(x⁰, y⁰). On rappelle que les formes bilin´eaires surE forment un espace vectoriel, not´eL2(E, k).

(2) Une forme bilin´eaire φsur E est dite sym´etrique si pour tout x, y∈ E on a φ(x, y) =φ(y, x).

Les formes bilin´eaires sym´etriques (en abr´eg´e : fbs) sur E forment un sous-espace vectoriel de L2(E, k), qu’on notera S2(E, k).

Remarque 1.1.2. — Remarquons que, pour v´erifier qu’une application φ : E×E → k est une forme bilin´eaire sym´etrique, il suffit de voir que φest lin´eaire en la 1`ere variable et v´erifieφ(x, y) =φ(y, x) (ces deux conditions entraˆınant la lin´earit´e en la 2`eme variable).

Exemple 1.1.3. — Consid´erons l’espace vectorielE=R²et notonse1, e2la base canonique. Consid´erons les applications

φ₁(x₁e₁+x₂e₂, y₁e₁+y₂e₂) =x₁y₁+x₂y₂, φ2(x1e1+x2e2, y1e1+y2e2) =x1y2+x2y1, φ3(x1e1+x2e2, y1e1+y2e2) =x1y1, φ₄(x₁e₁+x₂e₂, y₁e₁+y₂e₂) =x₁y₂, φ₅(x₁e₁+x₂e₂, y₁e₁+y₂e₂) =x²₁.

Elles sont toutes bilin´eaires sauf la derni`ere. Les formes φ1, φ2 et φ3 sont sym´etriques, mais φ4, ne l’est pas.

Exemple 1.1.4. — Consid´erons I= [0,1] l’intervalle unitaire etE =C⁰(I,R) leR-espace vectoriel des fonctions continue surI `a valeurs r´eelles. Pour toute fonctionf, g∈E on pose

φ(f, g) :=

Z 1 0

f(x)g(x)dx.

L’applicationφ:E×E→Rainsi d´efinie est bilin´eaire.

D´esormais, on supposeE de dimension finien.

D´efinition 1.1.5 (Matrices sym´etriques et altern´ees). — SoitA∈M_n(k) une matrice.



On dit que A est sym´etrique si ^tA=A. Ces matrices forment un sous-espace vectoriel de Mn(k), qu’on note S_n(k).

Lemme 1.1.6. — On a dim S_n(k) =n(n+ 1)/2.

D´emonstration. — Notons N le nombre de coefficients qui sont strictement au-dessus de la diagonale ; c’est aussi le nombre de coefficients qui sont strictement en-dessous de la diagonale, et il y ancoefficients diagonaux. Donc 2N+n=n², d’o`u N =n(n−1)/2.

Une matrice sym´etrique est d´etermin´ee par le choix de sesncoefficients diagonaux et de sesNcoefficients au-dessus de la diagonale, d’o`u dim S_n(k) =n+N=n(n+ 1)/2.

D´efinition et th´eor`eme 1.1.7 (Matrice d’une fbs et changement de base)

SoitE est unk-espace vectoriel de dimension finienet soit B= (e₁, . . . , e_n)une base de E.



(1) Soit φune forme bilin´eaire sur E. Pour tout i, j on pose aij =φ(ei, ej)et on consid`ere la matrice A= (aij)ⁿ_i,j=1. Alors, pour tout x1, . . . , xn∈k et touty1, . . . , yn ∈kon a

(∗) φ





n

X

i=1

xiei,

n

X

j=1

yjej



=

n

X

i,j=1

xiyjφ(ei, ej) =

n

X

i,j=1

aijxiyj.

Donc, si l’on pose X =^t(x₁, . . . , x_n)etY =^t(x₁, . . . , x_n)les vecteurs colonnes ci-dessus, on a la formule matricielle :

φ Pn

i=1x_ie_i,Pn

j=1y_je_j

=^tX A Y.

En particulier, la matriceAd´etermine compl`etement la forme bilin´eaireφ. On dit queAest la matrice de φdans la baseB et on la noteMat_B(φ).

1.1. FORMES BILIN ´EAIRES 3

(2) R´eciproquement soit B ∈M_n(k) une matrice. Alors l’applicationψ: E×E →k d´efinie pour tout X =^t(x₁, . . . , x_n)∈kⁿ et toutY =^t(y₁, . . . , y_n)∈kⁿ, par

ψ Pn

i=1x_ie_i,Pn

j=1y_je_j

=^tX B Y, est bilin´eaire et v´erifie B= Mat_B(ψ).

(3) L’application µ_B:L2(E, k)→M_n(k),φ7→Mat_B(φ) est un isomorphisme de k-espaces vectoriels.

De plus le sous-espace des fbsS2(E, k)(resp. le sous-espaces des fbaA2(E, k)) s’identifie `a traversµ_Bau sous-espaces des matrices sym´etriquesSn(k)(resp. au sous-espace des matrices ).

(4) Soient B⁰ une autre base de E et P la matrice de passageMat_B(B⁰). Alors

(∗∗) A⁰= Mat_B⁰(φ) =^tP A P.

Terminologie 1.1.7.1. — On dit queA, A⁰∈Mn(k) sontcongruentess’il existeP ∈GLn(k) telle que A⁰ =^tP AP.

D´emonstration. — (1) Comme φ est bilin´eaire, on a bien l’´egalit´e (∗), qui montre queφ est d´etermin´ee par sa matrice, donc que l’applicationµ_B:S2(E)→S_n(k),φ7→Mat_B(φ) est injective. D’autre part, on voit que le scalairePn

i,j=1aijxiyj ∈kest ´egal au produit matriciel

tX A Y = (x₁, . . . , x_n)A





 y1

... yn





.

D´emontrons que Aest bien d´efinie. En fait, supposons qu’on aitφ(X, Y) =^tX A⁰Y pour une certaine matriceA⁰ = (a⁰_ij)∈Mn(k). Comme ei (resp.ej) est le vecteur colonne dont toutes les coordonn´ees sont nulles sauf lai-`eme (resp.j-`eme) qui vaut 1, on obtient que

aij =φ(ei, ej) = (0, . . . ,1, . . . ,0)B















 0

... 1 ... 0

















=a⁰_ij,

d’o`uA⁰ =A.

D´emontrons queφest compl`etement d´etermin´ee parA. Supposons queφ⁰ soit une forme bili´eaire telle queA⁰:= Mat_B(φ⁰) =A. En particulier, pour toutX =^t(x1, . . . , xn) etY =^t(x1, . . . , xn) on a

φ





n

X

i=1

x_ie_i,

n

X

j=1

y_je_j



=^tX A Y =^tX A⁰Y =φ⁰





n

X

i=1

x_ie_i,

n

X

j=1

y_je_j



.

(2) Pour tout B = (Bij)ⁿ_i,j=1 ∈ Sn(k), l’application ψ est lin´eaire en les xi, d’une part, et en les yj, d’autre part, et elle donc bilin´eaire. De plus, prenant xi0 = 1 =yj0 et xi = 0 =yj pour i6=i0 et j6=j0, on obtientφ_A(e_i0, e_j0) =a_i0,j0 pour touti₀, j₀= 1, . . . , n, d’o`u Mat_B(φ_A) =A.

(3) D´emontrons que l’applicationµ_Best lin´eaire. En effet, siφ, ψ∈S2(E, k) ets∈k, alorssφ+ψ est la forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie par (sφ+ψ)(u, v) =sφ(u, v) +ψ(u, v) pourtout u, v ∈E, donc a fortiori on a (sφ+ψ)(e_i, e_j) =sφ(e_i, e_j) +ψ(e_i, e_j) pour tout i, j, d’o`u µ_B(sφ+ψ) =sµ_B(φ) +µ_B(ψ).

L’injectivit´e deµ_B suit (1) et la surjectivit´e de (2) : l’application lin´eaireµ_Best donc un isomorphisme.

Il est en outre clair que si φ est une fbs alors la matrice Mat_B(φ) est sym´etrique. D’autre part, si B= (bij) est une matrice sym´etrique, pour toutx1, . . . , xn∈ket touty1, . . . , yn∈kon a

ψ(y, x) =ψ





n

X

j=1

yjej,

n

X

i=1

xiei



=

n

X

i,j=1

aji

|{z}

=a_ij

yjxi=

n

X

i,j=1

aijxiyj=ψ(x, y),

et doncψest une forme bilin´eaire sym´etrique. La v´erification dans le cas des formes altern´ees est similaire et laiss´ee au lecteur.

(4) Soient x, y ∈ E, ils correspondent dans la base B (resp.B⁰) `a des vecteurs colonnes X, Y (resp.

X⁰, Y⁰). D’apr`es la formule de changement de coordonn´ees, on aX =P X<sup>0</sup> etY =P Y<sup>0</sup>, d’o`u^tX =^tX^0tP, et donc :

φ(x, y) =^tX A Y =^tX^0tP AP Y⁰

ce qui entraˆıneA⁰ =^tP A P. Le th´eor`eme est d´emontr´e.

Remarque 1.1.8. — On peut interpt´eter le fait queµ_B est un isomorphisme en disant que se donner une forme bilin´eaire sym´etrique sur E «est la mˆeme chose» que se donner une matrice sym´etrique.

Exemple 1.1.9. — Reprenons les notations de l’exemple 1.1.3. Si on d´esigne parBla base canonique de R², on a

Mat_B(φ1) = 1 0

0 1

Mat_B(φ2) = 0 1

1 0

Mat_B(φ3) = 1 0

0 0

Mat_B(φ4) = 0 0

1 0

.

D´efinition et proposition 1.1.10 (Rang et noyau d’une forme bilin´eaire sym´etrique)

Soitφune forme bilin´eaire sur unk-espace vectoriel E de dimensionnet soientB= (e₁, . . . , e_n)une



_{base deE etA= Mat}

B(φ).

(1) On d´efinit le rangdeφparrang(φ) = rang(A); ceci ne d´epend pas du choix de la base B. (2) Le noyau N(φ)deφest d´efini par :

N(φ) ={y∈E| ∀x∈E, φ(x, y) = 0}.

C’est un sous-espace vectoriel deE, ´egal `aKer(A).⁽¹⁾

(3) On dit que φ est non d´eg´en´er´ee si rang(φ) = dimE, i.e. si sa matrice dans une (et donc dans toute) base deE est inversible. Ceci ´equivaut `a dire queN(φ) ={0}.

D´emonstration. — (1) SoientB⁰ une autre base deEet P= Mat_B(B⁰). CommeP et^tP sont inversibles (on a (^tP)⁻¹=^t(P⁻¹)), alors la matriceA⁰= Mat_B⁰(φ) =^tP AP a mˆeme rang queA. Ceci prouve (1).

Prouvons (2). Soity ∈E, repr´esent´e dans la baseB par le vecteur colonneY. Si AY = 0, alors pour x∈E, repr´esent´e par le vecteur colonneX, on a

φ(x, y) =^tX A Y = 0

et donc y ∈N(φ). R´eciproquement, supposons quey ∈ N(φ) et notons Z le vecteur colonneAY. Alors pour tout vecteur colonneX, on a 0 =^tX Z. En prenant pour X le vecteur dont toutes les coordonn´ees sont nulles sauf la i-`eme qui vaut 1, on obtient que la i-`eme coordonn´ee de Z est nulle. Donc AY = Z est nul, i.e.Y ∈ Ker(A). Ceci prouve l’´egalit´e N(φ) = Ker(A) ; en particulier, N(φ) est un sous-espace vectoriel de E. Ceci red´emontre aussi que rang(A) =n−dimN(φ) ne d´epend pas de la base B choisie.

Enfin, on a rang(A) =nsi et seulement siN(φ) ={0}, ce qui prouve l’´equivalence ´enonc´ee dans (3).

Attention, la matrice Mat_B(φ) n’estpasla matrice d’un endomorphisme de E; toutefois on a la pro- position suivante.

Exemple 1.1.11. — Reprenons les notations de l’exemple 1.1.3. Le noyau deφ₁etφ₂ est trivial et donc elles sont non-d´eg´en´er´ees. En revanche, φ3est d´eg´en´er´ee : en effet, on a N(φ3) = Vect(e2).

Proposition 1.1.12. — SoientE un k-espace vectoriel de dimension netφune forme bilin´eaire surE.

(1)Pour touty∈E, l’applicationθ(y) :E→kd´efinie parθ(y)(x) =φ(x, y)est lin´eaire, donc appartient

`

a l’espace dual E^∗.

(2)L’applicationθ:E→E^∗,y7→θ(y), est lin´eaire.

(3)Pour toute baseBdeE, notantB^∗la base duale deE^∗, la matriceMat_B(φ)d´efinie plus haut n’est autre queMat(B^∗,B)(θ).

(4)On aN(φ) = Ker(θ). Par cons´equent,φest non d´eg´en´er´ee si et seulement siθ est un isomorphisme E−→^∼ E^∗.

D´emonstration. — (1) r´esulte de la lin´earit´e de φ en la 1`ere variable : pour y ∈ E fix´e, l’application x7→φ(x, y) est lin´eaire enx.

Montrons (2) : il faut voir que pour touty, y⁰∈Eetµ∈k, les formes lin´eairesθ(µy+y⁰) etµθ(y) +θ(y⁰) sont ´egales, c.-`a-d., prennent la mˆeme valeur sur toutx∈E. Or, par d´efinition, pour toutx∈E on a :

θ(µy+y⁰)(x)^d´efφ(x, µy+y⁰) (µθ(y) +θ(y⁰))(x)^d´efµθ(y)(x) +θ(y⁰)(x)^d´efµφ(x, y) +φ(x, y⁰)

(1)Il est parfois not´e Ker(φ), mais on ´evitera cette notation, pour ´eviter la confusion avec le noyau d’une application lin´eaire.

1.1. FORMES BILIN ´EAIRES 5

donc l’´egalit´e `a v´erifier se ram`ene `a l’´egalit´e :

∀x∈E, φ(x, µy+y⁰) =µφ(x, y) +φ(x, y⁰),

qui est bien v´erifi´ee, puisqueφest lin´eaire en la 2`eme variable. Ceci prouve (2). Alors, on a Ker(θ) ={y₀∈E|θ(y₀) = 0}={y₀∈E|φ(x, y₀) = 0, ∀x∈E}=N(φ).

Comme dimE^∗=n= dimE, on obtient donc les ´equivalences :

φnon d´eg´en´er´ee ⇔N(φ) = (0)⇔θ est injectif ⇔θest un isomorphisme,

d’o`u (4). Enfin, soientBune base deE,B^∗ la base duale deE^∗. Commeθ(ej)(ei) =φ(ei, ej), pour tout i= 1, . . . , n, on aθ(ej) =Pn

i=1φ(ei, ej)e^∗_i et ceci prouve que Mat_(B∗,B)(θ) = Mat_B(φ), d’o`u (3).

Exemple 1.1.13. — Reprenons les notations de l’exemple 1.1.3. Pour tout i = 1, . . . ,4 on note par θi:E→E^∗ l’application associ´ee par la proposition pr´ec´edente `a la forme bilin´eaireφi. Sie^∗₁, e^∗₂∈E^∗ est la base duale ´a la base canonique, on a

(θ1(e1) =e^∗₁ θ1(e2) =e^∗₂

(θ2(e1) =e^∗₂ θ2(e2) =e^∗₁

(θ3(e1) =e^∗₁ θ3(e2) = 0 Orthogonalit´e. —

D´efinition 1.1.14. — Soitφune forme bilin´eaire sur un k-espace vectorielE.

(1) On dit que deux vecteursx, y∈E sontorthogonaux (pourφ) siφ(x, y) = 0. Plus g´en´eralement, on dit que deux sous-ensembles X, Y de E sont orthogonaux si l’on a φ(x, y) = 0 pour tout x∈ X et y∈Y. On noteraX⊥Y pour signifier queX etY sont orthogonaux.

(2) Pour tout sous-ensemble Y de E, on d´efinit son orthogonal (relativement `a φ), not´e Y^⊥φ ou simplementY^⊥, par :



Y^⊥={x∈E|φ(x, y) = 0, ∀y∈Y}

Exemple 1.1.15. — Reprenons les notations de l’exemple 1.1.3 et consid´erons F = Vect(e1). Pour tout i= 1, . . . ,4 d´esignons par F_i^⊥ l’orthogonal `a F par rapport `a la forme bilin´eaireφi. Avec ces notations, on aF₁^⊥= Vect(e2),F₂^⊥= Vect(e1) etF₃^⊥=E.

Proposition 1.1.1 (Orthogonalit´e). — Soitφune forme bilin´eaire sur un k-espace vectoriel E. Pour tout sous-ensemblesY ⊂E, l’orthogonalY^⊥ est unsous-espace vectoriel deE (mˆeme siY n’en est pas un). De plus, on a les propri´et´es suivantes :

(1) Y ⊆Z =⇒Z^⊥ ⊆Y^⊥; (2) Y^⊥= Vect(Y)^⊥;

(3) Si Y est un sous-espace vectoriel deE et si (f1, . . . , fp)est une famille g´en´eratrice deY, alors Y^⊥ ={f1, . . . , fp}^⊥={x∈E|φ(x, fi) = 0, ∀i= 1, . . . , p}.

En particulier, on aN(φ) =E^⊥={x∈E|φ(x, y) = 0 pour touty∈E}.

D´emonstration. — Soient x, x⁰ ∈Y^⊥ et λ∈k, alors on a, pour tout y ∈ Y, φ(λx+x⁰, y) = λφ(x, y) + φ(x⁰, y) = 0, ce qui montre queλx+x⁰∈Y^⊥. DoncY^⊥ est un sous-espace vectoriel deE.

Il est imm´ediat que siY ⊆Z, alors Z^⊥ ⊆Y^⊥ car si x∈Z^⊥ alorsxest orthogonal `a tout ´el´ement de Z, doncxesta fortiori orthogonal `a tout ´el´ement deY (puisque Y ⊆Z), doncx∈Y^⊥.

CommeY ⊆Vect(Y), ceci donne d´ej`a l’inclusion Vect(Y)^⊥⊆Y^⊥. Montrons l’inclusion r´eciproque. Soit x∈Y^⊥et soitvun ´el´ement arbitraire de Vect(Y), par d´efinition,vs’´ecrit comme une combinaison lin´eaire finiev=λ₁y₁+· · ·+λ_ry_r, avecy_i∈Y et λ_i∈k; alors on a

φ(x, v) =

r

X

i=1

λi φ(x, yi)

| {z }

=0

= 0

et doncx∈Vect(Y)^⊥. Ceci montre l’inclusionY^⊥⊆Vect(Y)^⊥, d’o`u l’´egalit´e Vect(Y)^⊥=Y^⊥. L’assertion (2) est d´emontr´ee.

Th´eor`eme 1.1.16 (Orthogonal d’un sous-espace). —Soitφ une forme bilin´eaire sym´etrique ou al- tern´ee sur unk-espace vectoriel E de dimension finie. Soit F un sous-espace vectoriel deE. Alors,



(1) F⊆(F^⊥)^⊥ et dimF^⊥≥dimE−dimF.

(2) Si φest non d´eg´en´er´ee, on a dimF^⊥= dimE−dimF et F = (F^⊥)^⊥. (3) Si F∩F^⊥={0}, alors E=F⊕F^⊥.

D´emonstration. — Posonsr= dimF etn= dimE.

(1) Soitf ∈F, pour toutx∈F^⊥ on aφ(f, x) = 0, d’o`uf ∈(F<sup>⊥</sup>)<sup>⊥</sup>. Ceci montre la premi`ere assertion.

Prouvons la seconde.

Soit (f1, . . . , fr) une base deF, compl´etons-la en une baseB= (f1, . . . , fn) deE, et soitA= (aij)1≤i,j≤n

la matrice deφdans la baseB, i.e.aij =φ(fi, fj) pouri, j= 1, . . . , n.

D’apr`es le point (2) de 1.1.1,F^⊥ est form´e des vecteursv=x1f1+· · ·+xnfn∈E tels queφ(fi, v) = 0 pouri= 1, . . . , r. Commeφ(fi, x1f1+· · ·+xnfn) =Pn

j=1xjφ(fi, fj) =Pn

j=1aijxj, ceci ´equivaut `a dire que le vecteur colonneX=





 x1

... x_n





est solution du syst`eme lin´eaire homog`ene :

(Σ)







a₁₁x₁ +· · ·+ a_1nx_n = 0

... ... ...

a_1rx₁ +· · ·+ a_rnx_n = 0

dont la matriceB est form´ee desrpremi`eres lignes deA. Comme l’espace des solutions du syst`eme est de dimensionn−rang(B), on obtient :

dimF^⊥=n−rang(B)≥n−r, ce qui prouve la seconde assertion de (1).

(2) Supposonsφnon d´eg´en´er´ee. AlorsAest de rang n, i.e. ses lignes sont lin´eairement ind´ependantes, en particulier les r premi`eres lignes le sont, donc la matrice B est de rang r, et donc dimF^⊥ = n−r.

Rempla¸cant alorsF parF^⊥, on obtient l’´egalit´e dim(F^⊥)^⊥ =n−(n−r) =r, et par cons´equent l’inclusion F ⊆(F^⊥)^⊥ est une ´egalit´e.

(3) SupposonsF∩F^⊥={0}(sans supposerφnon d´eg´en´er´ee). AlorsF etF^⊥sont en somme directe, et le sous-espaceF⊕F^⊥ deEest de dimensiond=r+ dimF^⊥. D’apr`es (1), on ad≥n, d’o`uE=F⊕F^⊥ (et dimF^⊥ =n−r). Ceci termine la preuve de (3) et du th´eor`eme.

D´efinition 1.1.17 (Restriction `a un sous-espace). — Soitφune forme bilin´eaire surE, et soitF un sous-espace deE.

(1) On noteφ_F la forme bilin´eaire surF obtenue en restreignantφ`aF×F, i.e.φ<sub>F</sub>(x, y) =φ(x, y) pour toutx, y∈F; on l’appelle larestrictiondeφ`a F.

(2) On a F∩F^⊥ ={x ∈F |φ(x, y) = 0 pour touty ∈F} =N(φF). Donc l’assertion (4) de 1.1.16 peut se r´ecrire comme suit :«siφF est non d´eg´en´er´ee, alorsE=F⊕F^⊥».

Remarque 1.1.17.1. — Attention, mˆeme si φ est non d´eg´en´er´ee, φF ne l’est pas n´ecessairement. Par exemple, soit ψ la forme bilin´eaire sym´etrique φ2 est non d´eg´en´er´ee. Cependant, on a φ2(e1, e1) = 0 = φ2(e2, e2) donc pourF =Re1(ouRe2), on a (φ2)F = 0.

1.2. Formes quadratiques

D´efinition 1.2.1 (Formes quadratiques). — SoitEunk-espace vectoriel de dimensionn. Uneforme



quadratique Q sur E est une fonction E → k de la formex 7→ φ(x, x), o`u φ est une forme bilin´eaire sym´etrique surE.

Proposition 1.2.1 ( ´Egalit´es de polarisation). — Comme φ(x + y, x + y) = φ(x, x) + φ(y, y) + 2φ(x, y) =Q(x) +Q(y) + 2φ(x, y), on a les ´egalit´es :

(∗) φ(x, y) =1

2 Q(x+y)−Q(x)−Q(y)

= 1

4 Q(x+y)−Q(x−y)

qui montrent que :φest enti`erement d´etermin´ee parQ; on dit queφest laforme polairedeQ.

Proposition 1.2.2 (Expressions en coordonn´ees). — On munit E d’une baseB= (e1, . . . , en).

1.2. FORMES QUADRATIQUES 7

(1) Si A= (a_ij)ⁿ_i,j=1 est la matrice deφ dans la baseB (i.e.a_ij =φ(e_i, e_j)), on a a_ji=a_ij puisque φ est sym´etrique. Alors pour toutu=x₁e₁+· · ·+x_ne_n dansE, on a :

Q(u) =φ(X

i

xiei,X

j

xjej) =

n

X

i=1

aiix²_i +X

i<j

2aijxixj.

Donc Q(u), consid´er´e comme une fonctionQ(x1, . . . , xn) des coordonn´ees (x1, . . . , xn) deudans la base B, est donn´e par :

(?) Q(x1, . . . , xn) =Pn

i=1aiix²_i +P

1≤i<j≤n2aijxixj

on prendra garde au facteur 2 qui apparaˆıt avant les «doubles produits» xixj!

(2) R´eciproquement, si c’est Qqui est donn´ee par une formule explicite Q(x1, . . . , xn) =Pn

i=1bix²_i + P

1≤i<j≤nbijxixj (lesxi ´etant les coordonn´ees dans la baseB), alors sa forme polaire φest donn´ee par :

(?⁰) ∀





 x1

... xn





,





 y1

... yn





∈kⁿ, φ





n

X

i=1

xiei,

n

X

j=1

yjej



=

n

X

i=1

bixiyi+ X

1≤i<j≤n

bij

2 (xiyj+xjyi)

et donc A = Mat_B(φ) a pour coefficients diagonaux les bi, mais ses coefficients non diagonaux sont les bij/2.

D´efinition 1.2.2 (Termes carr´es et doubles produits). — Dans la formule (?), les termes de la pre- mi`ere somme Pn

i=1a_iix²_i sont appel´es termes carr´es et ceux de la deuxi`eme somme P

i<j2a_ijx_ix_j double produits.

D´efinition 1.2.3 (Formes quadratiques ´equivalentes). — On dit que deux formes quadratiquesQ: E →k et Q⁰ :E⁰ →k sont´equivalentess’il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels⁽²⁾ f :E →E⁰ tel queQ=Q⁰◦f. Cela est ´equivalent au fait que les matrices deQet Q⁰ sont congruentes.

D´efinitions 1.2.4 (Rang et noyau d’une forme quadratique). — SoientEunk-espace vectoriel de dimension finie,Qune forme quadratique surE, etφsa forme polaire.



(1) On d´efinit le rang et le noyau deQpar :

rang(Q) = rang(φ) N(Q) =N(φ).

(2) Attention !N(Q) n’estpas´egal, en g´en´eral, `a l’ensembleC(Q) ={x∈E|Q(x) = 0}. On dit qu’un vecteur x∈E est isotrope (pourQ) si Q(x) = 0, et l’ensembleC(Q) des vecteurs isotropes s’appelle le cˆone isotrope deQ. Ce n’est pas, en g´en´eral, un sous-espace vectoriel de E, mais c’est un cˆone, i.e. il v´erifie la propri´et´e suivante : six∈C(Q) et λ∈k, alorsλx∈C(Q).

Remarque 1.2.5. — On a toujours N(Q)⊆C(Q) mais l’inclusion est en g´en´eral stricte. Par exemple, dans le cas consid´er´e en 1.1.17.1, on a N(Q) =N(ψ) ={0} mais le cˆone isotrope est la r´eunion des deux droitesRe₁ etRe₂.

D´efinition 1.2.6 (Bases orthogonales). — Soit E un k-espace vectoriel de dimension n et soient φ



une forme bilin´eaire sym´etrique surE, etQla forme quadratique associ´ee. SoitB= (e1, . . . , en) une base deE

a) On dit queBest une baseorthogonale pourφ(ou pourQ) si l’onφ(ei, ej) = 0 pouri6=j.

b) Ceci ´equivaut `a dire que la matrice A = Mat<sub>B</sub>(φ) est diagonale; si l’on note λ1, . . . , λn ses coefficients diagonaux et (x1, . . . , xn) les coordonn´ees dans la base B, ceci ´equivaut encore `a dire que Q(x1, . . . , xn) =λ1x²₁+· · ·+λnx²_n.

(2)Unisomorphisme d’espaces vectorielsest une bijection lin´eaire.

1.3. R´eduction d’une forme quadratique en «somme de carr´es»

Remarque 1.3.1. — SoitE unk-espace vectoriel de dimensionn. D’apr`es 1.2.1,il revient au mˆeme de se donner surE une forme quadratiqueQou sa forme polaireφ.

Le langage des formes quadratiques permet d’ˆetre plus concis : siE est muni d’une baseB, et donc de coordonn´ees (x1, . . . , xn) relativement `a cette base (par exemple, siE =kⁿ), on dira simplement, disons pour n = 3 :«soit Qla forme quadratique ax²₁+bx²₂+cx²₃+dx₁x₂+ex₁x₃+f x₂x₃», ce qui est plus rapide que d’´ecrire : soitφla forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie par :

φ(x1e1+x2e2+x3e3, y1e1+y2e2+y3e3) = ax1y1+bx2y2+cx3y3+d

2(x1y2+x2y1) +e

2(x1y3+x3y1) +f

2(x2y3+x3y2).

De mˆeme, le fait d’´ecrire une forme quadratique comme un polynˆome (homog`ene) de degr´e 2 en les coordonn´eesxi, i.e.

Q(x1, . . . , xn) =

n

X

i=1

aix²_i + X

1≤i<j≤n

aijxixj

permet d’effectuer sur ce polynˆome des op´erations alg´ebriques simples, qui ´equivalent `a trouver une base orthogonale pourφ: c’est ce qu’on explique ci-dessous.

D´efinition 1.3.2. — SoientE unk-espace vectoriel de dimension n,Qune forme quadratique surE et φ sa forme polaire. SoitB= (e1, . . . , en) une base de E, notons (x1, . . . , xn) les coordonn´ees dans cette base, i.e.xid´esigne en fait la forme lin´eairefi=e^∗_i surE.

(1) On dit queQ s’´ecrit dans la base Bcomme somme de carr´es de formes lin´eaires ind´epen- dantessi l’expression deQen fonction des coordonn´eesx_i est de la forme

Q=q1x²₁+· · ·+qnx²_n.

D’apr`es 1.2.1, ceci ´equivaut `a dire que la matrice de φ dans la base B est diagonale, avec les qi pour coefficients diagonaux.

(2) Les formes lin´eaires fi =e^∗_i sont lin´eairement ind´ependantes (B^∗ = (e^∗₁, . . . , e^∗_n) est la base duale deB), d’o`u la terminologie«somme de carr´es deformes lin´eaires ind´ependantes». En pratique, pour abr´eger on ´ecrira souvent«somme de carr´es», mais il est essentiel de s’assurer que les formes lin´eaires en question sont bien lin´eairement ind´ependantes (voir plus bas).

Th´eor`eme 1.3.3 (R´eduction d’une forme quadratique en somme de carr´es ou algorithme de Gauss)

SoientE un k-espace vectoriel de dimensionn, et Q une forme quadratique sur E, donn´ee dans une



baseB= (e₁, . . . , e_n)par

(∗) ∀(x1, . . . , x_n)∈kⁿ, Q(x₁e₁+· · ·+x_ne_n) =X

i

b_ix²_i +X

i<j

b_ijx_ix_j.

(1) Par une suite d’op´erations «´el´ementaires» (d´ecrites dans la d´emonstration), on peut trouver un nouveau syst`eme de coordonn´ees (y₁, . . . , y_n) sur E, dans lequel Q s’´ecrit comme une somme de carr´es, i.e. :

(∗∗) Q(y₁, . . . , y_n) =λ₁y₁²+· · ·+λ_ny_n². En particulier, Best une base orthogonale pourQ.

(2) Le nombre de coefficients a_i non nuls est ´egal `a r= rang(Q), et si k =R, on notep (resp. q) le nombre de coefficients a_i qui sont>0 (resp.<0). Le couple(p, q)est appel´e lasignaturedeQ.

(3) De plus, N(φ) est le sous-espace vectoriel de E d´efini par les ´equations y_i = 0, pour i parcourant l’ensemble des i∈ {1, . . . , n} tels quea_i6= 0.

D´emonstration. — Remarquons d’abord que si Q s’´ecrit sous la forme (∗∗) dans une base B⁰, alors la matrice de sa forme polaire y est diagonale, avec lesλ_i pour coefficients diagonaux, d’o`u les assertions (2) et (3) du th´eor`eme.

Il reste `a donner une d´emonstration«algorithmique»de l’assertion (1). On proc`ede par r´ecurrence sur le nombre nde variables. Sin= 1 on aQ(x1e1) =b1x²₁, et (∗∗) est v´erifi´e. On peut donc supposern >1 et le r´esultat d´emontr´e pourn−1. Distinguons deux cas.

1.3. R ´EDUCTION D’UNE FORME QUADRATIQUE EN«SOMME DE CARR ´ES» 9

(a)Si dans l’´ecriture (∗) plus haut, il existe un coefficient«diagonal» b_i non nul, on peut supposer, quitte `a changer l’ordre des coordonn´ees, queb₁6= 0. On ´ecrit alors

Q(x) =X

i

bix²_i +X

i<j

bi,jxixj

=b₁x²₁+x₁X

j≥2

b_1,jx_j

| {z }

2b1A

+X

i>1

b_ix²_i + X

1<i<j

b_i,jx_ix_j

| {z }

B

=b₁ x²₁+ 2x₁A +B

=b₁ x₁+A²

−b₁A²+B

=λ₁y²₁+Q⁰,

avec λ₁ = b₁, y₁ = x₁+A et Q⁰(x) = −b₁A² +B. La forme quadratique Q⁰ ne d´epend que des va- riables x₂, . . . , x_n. Pour sa part, l’op´eration (x₁,· · · , x_n) 7→ (y₁, x₂,· · · , x_n) est bien un changement de coordonn´ees, car sa matrice est triangulaire avec des 1 sur la diagonale, donc inversible.

Par hypoth`ese de r´ecurrence on peut faire un changement de coordonn´ees (x2, . . . , xn)7→ (y2, . . . , yn) tel queQ<sup>0</sup>(x2, . . . , xn) =λ2y<sub>2</sub><sup>2</sup>+· · ·+λny<sub>n</sub><sup>2</sup> d’o`u,

Q(y₁, . . . , y_n) =λ₁y₁²+· · ·+λ_ny²_n, ce qui prouve le r´esultat voulu dans ce cas.

(b)Supposons au contraire quetousles coefficients«diagonaux»bisoient nuls. SiQ= 0, il n’y a rien

`

a montrer ; sinon on peut supposer, quitte `a changer l’ordre des coordonn´ees, queb126= 0.

Q(x) =X

i

b1,2x1x2+x1

X

j≥3

b1,jxj

| {z }

b_1,2A₁

+x2

X

j≥3

b2,jxj

| {z }

b_1,2A₂

+ X

2<i<j

bi,jxixj

| {z }

B

=b1,2 x1x2+x1A1+x2A2 +B

=b1,2 x1+A2

x2+A1

−a1,2A1A2+B

=λ1 x1+A2

x2+A1

+Q⁰.

On utilise alors un principe similaire aux formules de polarisation pour le premier terme, `a savoir la formule 4XY = (X+Y)²−(X−Y)² :

Q(x) =λ1

x1+x2+A1+A2

2

²

−λ1

x1−x2+A1−A2

2

²

−a1,2A1A2+B.

On pose alorsy1= (x1+x2+A1+A2)/2,y2= (x1−x2+A1−A2)/2 etyi=xipouri >2. L’application (x1, x2, x3. . . , xn)7→(y1, y2, x3. . . , xn) est bien un changement de coordonn´ees, car sa matrice est de la forme





1 1

1 −1 ∗

0 I_n−2





et est donc de d´eterminant−26= 0. Comme dans le premier cas, par hypoth`ese de r´ecurrence on peut faire un changement de coordonn´ees (x3, . . . , xn) 7→ (y3, . . . , yn) tel que Q<sup>0</sup>(x3, . . . , xn) =λ3y<sup>2</sup><sub>3</sub>+· · ·+λny<sup>2</sup><sub>3</sub> d’o`u, en posantλ2=λ1,

Q(y1, . . . , yn) =λ1y₁²+· · ·+λny²_n, ce qui prouve le r´esultat voulu.

Illustrons ceci par deux exemples : dans le premier n’apparaissent que des changements de coordonn´ees du type(a).

Exemple 1.3.4. — Consid´erons dansR² la forme quadratique Q=x²₁+x1x2+x²₂.

L’algorithme donne :

Q= x₁+x₂

2 ²

−x²₂ 4 +x²₂

= x1+x2

2 ²

+

√3 2 x2

!² ,

qui est de signature (2,0).

Calcul d’une base othogonale. — A la fin de l’algorithme, on obtient un changement de base` Y =P X, o`u X = (x1,· · ·, xn) sont les anciennes variables, Y = (y1,· · · , yn) les nouvelles, et P est la matrice de passage des anciennes variables vers les nouvelles (elle est donc inversible). La forme Qs’exprimait

Q(X) =^tXAX, avecAsym´etrique, et s’´ecrit d´esormais sous la forme

Q(X) =^tY DY, avecD diagonale, de coefficients lesλi. On a donc, pour toutX,

tXAX =^tY DY =^t(P X)D(P X) =^tX(^tP DP)Y,

ce qui implique que A = ^tP DP (on vient de red´emontrer la formule de changement de base 1.1.7).

Autrement dit, r´eduire une forme quadratiqueQen somme de carr´es revient `a trouver une matrice diagonale congruente `a la matrice deQ.

En coordonn´ees, si on ´ecritP⁻¹= (e⁰₁,· · · , e⁰_n), on obtient

Q(y₁e⁰₁+· · ·+y_ne⁰_n) =Q(P⁻¹Y) =Q(X) =^tY DY =λ₁y²₁+· · ·+λ_ny_n². Exemple 1.3.5. — Reprenons l’exemple 1.3.4. On avait

y₁=x₁+x2

2 et y₂=

√3 2 x₂, par cons´equent

P = 1 ¹₂

0

√3 2

et P⁻¹= 1 −^√1₃ 0 ^√2

3

! .

Donc si on posee⁰₁= (1,0) ete⁰₂= (−1/√ 3,2/√

3), on obtient Q(y1e⁰₁+y2e⁰₂) =y²₁+y₂². Exemple 1.3.6. — Consid´erons dansR³ la forme quadratique :

Q(x₁, x₂, x₃) =x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁.

On est dans le deuxi`eme cas de l’algorithme (pas de terme carr´es), on ´ecrit donc Q= (x1+x3)(x2+x3)−x²₃

=

x1+x2+ 2x3

2

²

−

x1−x2

2 ²

−x²₃

La forme est donc de signature (1,2).

Exemple 1.3.7 (Erreur `a ne pas commettre !). — Reprenons le calcul pr´ec´edent. Il ne faut pas

´

ecrire que Q=

x1+x2

2 ²

−

x1−x2

2 ²

+

x2+x3

2 ²

−

x2−x3

2 ²

+

x1+x3

2 ²

−

x1−x3

2 ²

=y²₁−y²₂+y²₃−y₄²+y₅²−y₆²,

o`u l’on a pos´ey<sub>1</sub> =x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub> =x<sub>1</sub>−x<sub>2</sub>,y<sub>3</sub> =x<sub>2</sub>+x<sub>3</sub>, y<sub>4</sub> =x<sub>2</sub>−x<sub>3</sub>, y<sub>5</sub> = x<sub>3</sub>+x<sub>1</sub>, y<sub>6</sub> =x<sub>3</sub>−x<sub>1</sub>, et conclure que la signature est (3,3) et le rang 6. Ceci est erron´e (et la conclusion absurde !) : comme on part ici d’une forme quadratiqueQen 3 variables, son rang estr≤3 et donc on doit obtenir `a la fin une somme ayantau plus 3 termes. Or ici on en a ´ecrit 6 ; l’erreur est que l’on n’a pas fait un vrai«changement de coordonn´ees», car on a introduit trop de formes lin´eaires, qui ne sont plus lin´eairement ind´ependantes !

Donc, pour ne pas se tromper dans ces calculs, il vaut mieux proc´eder pas `a pas, en effectuant `a chaque pas une transformation de type(a)ou(b). Il ne faut pas effectuer plusieurs op´erations en mˆeme temps !

1.3. R ´EDUCTION D’UNE FORME QUADRATIQUE EN«SOMME DE CARR ´ES» 11

La possibilit´e d’effectuer des r´eductions suppl´ementaires dans l’algorithme de Gauss d´epend de propri´et´es

«arithm´etiques»dek, c.-`a-d., de quels ´el´ements deksont des carr´es. Lorsquek=CouR, on peut donner des versions plus pr´ecises.

Th´eor`eme 1.3.8 (Formes quadratiques surC). — Soient E un C-espace vectoriel de dimension fi-



_nie,Qune forme quadratique surEetφsa forme polaire. Il existe une baseBdeE pour laquelleMat_B(φ) est la matrice diagonale de termes diagonaux(1, . . . ,1,0, . . . ,0), le nombre de1´etant ´egal `ar= rang(φ); si l’on note(x1, . . . , xn)les coordonn´ees dans la baseB, on a alorsQ(x1, . . . , xn) =x<sup>2</sup><sub>1</sub>+· · ·+x<sup>2</sup><sub>r</sub>. D´emonstration. — Soitr= rang(φ). D’apr`es le th´eor`eme 1.3.3, il existe une base orthogonale (e1, . . . , en) telle que Q(ei) 6= 0 pour i ≤ r, et Q(ei) = 0 pour i > r. Pour tout i = 1, . . . , r, soit λi ∈ C tel que λ<sup>2</sup><sub>i</sub> =Q(ei). Rempla¸cantei parei/λi, pouri≤r, on obtient une baseBayant la propri´et´e ´enonc´ee dans le th´eor`eme.

On montre maintenant que la signature d’une forme quadratique, vue dans le th´eor`eme 1.3.3, ne d´epend pas de base orthogonale choisie.

Th´eor`eme 1.3.9 (Th´eor`eme d’inertie de Sylvester). — Soient E un R-espace vectoriel de dimen-



_sionn,Qune forme quadratique surE et φsa forme polaire.

(1) Soit B = (e₁, . . . , e_n) une base orthogonale pourφ et soient p (resp. q) le nombre d’indices i tels queQ(e_i)>0 (resp.<0). Alorspetq ne d´ependent pas de la base orthogonale choisie.

(2) Le couple (p, q)s’appelle lasignature deQ(ou deφ) ; on arang(φ) =p+q.

(3) De plus, on peut choisirBde sorte que la matrice diagonaleD= Mat_B(φ)ait pour termes diagonaux (1, . . . ,1,−1, . . . ,−1,0, . . . ,0), le nombre de1 (resp.−1) ´etantp(resp.q).

D´emonstration. — Posons r = rang(φ). Soient B = (e₁, . . . , e_n) et C = (f₁, . . . , f_n) deux bases de E orthogonales pour φ. Notons p(resp.p⁰) le nombre d’indicesi tels queQ(e_i)>0 (resp. Q(f_i) >0) et q (resp.q⁰) le nombre d’indicesitels queQ(ei)<0 (resp.Q(fi)<0). Alors

r=p+q=p⁰+q⁰

et il s’agit de montrer queq=q⁰etp=p⁰. Quitte `a renum´eroter les ´el´ements deBetC, on peut supposer que

(?)







Q(e_i)>0 pour i= 1, . . . , p

Q(ei)<0 pour i=p+ 1, . . . , p+q Q(e_i) = 0 pour i > p+q=r;







Q(f_i)>0 pour i= 1, . . . , p⁰

Q(fi)<0 pour i=p⁰+ 1, . . . , p⁰+q⁰ Q(f_i) = 0 pour i > p⁰+q⁰=r .

Notons P+ le sous-espace de E engendr´e par les vecteurs ei tels que Q(ei)≥0. Ces vecteurs sont au nombre den−q, donc dimP+=n−q. Soitxun ´el´ement arbitraire deP+, ´ecrivons x=P

i∈Ixiei, avec I={1, . . . , p} ∪ {r+ 1, . . . , n}; alors, d’apr`es (?), on obtient

(1) Q(x) =

p

X

i=1

x²_iQ(ei)≥0.

D’autre part, soitP₋⁰ le sous-espace deEengendr´e par les vecteursfjtels queQ(fj)<0. Ces vecteurs sont au nombre de q⁰, donc dimP₋⁰ =q⁰. Soit y un ´el´ement non nul de P₋⁰, on peut ´ecrire y =Pp⁰+q⁰

j=p⁰+1y_jf_j, avec au moins l’un desy_j non nul (cary6= 0). Alors, d’apr`es (?) `a nouveau, on obtient

(2) Q(y) =

p⁰+q⁰

X

j=p⁰+1

y²_jQ(fj)<0.

Par cons´equent, on a P₊∩P₋⁰ ={0} et donc

n= dimE≥dimP++ dimP₋⁰ =n−q+q⁰

d’o`u q≥q<sup>0</sup>. ´Echangeant les rˆoles des basesB etC, on obtient de mˆemeq<sup>0</sup>≥q, d’o`u q=q⁰, et de mˆeme p=p⁰. Ceci prouve la premi`ere assertion du th´eor`eme.

Voyons la deuxi`eme assertion. Soit B = (e₁, . . . , e_n) comme ci-dessus ; pour i = 1, . . . , p+q, notons

|Q(ei)|>0 la valeur absolue deQ(e_i). En rempla¸cante_i pare_i/p

|Q(ei)|, pouri= 1, . . . , p+q, on obtient une base orthogonale ayant la propri´et´e ´enonc´ee dans le th´eor`eme.

CHAPITRE 2

ESPACES EUCLIDIENS ET GROUPES ORTHOGONAUX O(n)

R´esum´e : Ce chapitre constitue le coeur de la partie«g´eom´etrique» du cours. Dans la section 1, on introduit les espaces vectoriels euclidiens, dont le prototype estRⁿmuni du produit scalaire standard, puis on d´emontre l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, qui assure que le produit scalaire donne naissance `a une«norme euclidienne»(d’o`u une notion de«distance», cf. 2.1.5). On introduit ensuite le groupe O(n) des isom´etries de l’espace euclidien Rⁿ. Dans la section 2, on on d´emontre l’important th´eor`eme de diagonalisation simultan´ee 2.2.9. Dans la section 3, on introduit les projections et sym´etries orthogonales, ainsi que le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Enfin, dans la section 4, on ´etudie en profondeur les isom´etries de R² et R³. En r´esum´e, ce chapitre contient beaucoup de r´esultats nouveaux et importants, qu’il faut essayer d’assimiler !

On a indiqu´e par des symboles



les d´efinitions, exemples et r´esultats fondamentaux. Par ailleurs, des compl´ements de cours, pour les ´etudiants int´eress´es, sont donn´es dans des appendices `a la fin du chapitre ; ces passages n’interviendront pas dans les ´evaluations.

2.1. Espaces euclidiens. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Isom´etries

D´efinitions 2.1.1 (Produits scalaires et espaces euclidiens). — SoitE unR-espace vectoriel, pas n´ecessairement de dimension finie.

(1) Soient φ une forme bilin´eaire sym´etrique sur E et Q la forme quadratique associ´ee (i.e.Q(x) = φ(x, x) pour tout x∈E). On dit queQ(ouφ) estd´efinie positive si l’on a :



(D´ef. Pos.) ∀x∈E−−− {0}, Q(x) =φ(x, x)>0.

Dans ce cas, on dit queφest unproduit scalaireet on note souventφ(x, y) = (x|y).

Remarquons que si Q (ou φ) est d´efinie positive, elle est non-d´eg´en´er´ee : en effet, si x∈ N(φ), on a 0 =φ(x, y) pour tout y∈E, en particulierφ(x, x) = 0, d’o`ux= 0.

(2) Dans ce cas, on dit que : « E, muni de ( | )» (ou que : «le couple (E, φ)») est un espace euclidien⁽¹⁾. Pour abr´eger, on ´ecrira souvent : «Soit E un espace euclidien», sans pr´eciser le produit scalaire (|), celui-ci ´etant sous-entendu.

Exemples 2.1.2. — (1)Rⁿ muni du produit scalaire euclidien standard :



(x|y) =x₁y₁+· · ·+x_ny_n six=





 x1

... xn





, y=





 y1

... yn







et de la forme quadratique associ´eeQ(x) =x²₁+· · ·+x²_n, est un espace euclidien de dimensionn. Pour ce produit scalaire, la base canonique (e1, . . . , en) de Rⁿ est orthonorm´ee, i.e. on a (ei | ej) = 1 si i =j et

= 0 sinon.

(0)Version du 9 avril 2019.

(1)En fait, on r´eserve d’habitude cette terminologie au cas o`uE est de dimension finie ; sinon on dit queE est un espace pr´ehilbertien r´eel(voir l’explication de cette terminologie dans l’Appendice 4.6 `a la fin du dernier chapitre). Nous n’utiliserons pas cette terminologie.