Chapitre 10 Espaces euclidiens

(1)

Chapitre 10

Espaces euclidiens

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

(2)

1 Produit scalaire dans Rⁿ. 2

1.1 D´efinition . . . 2

1.2 Norme euclidienne . . . 3

2 Orthogonalit´e 5 2.1 D´efinition . . . 5

2.2 Familles orthonormales . . . 6

2.3 Pythagore . . . 7

2.4 Bases orthonormales . . . 7

2.5 Interpr´etation matricielle . . . 9

2.6 Applications aux matrices symétriques à cœfficients réels . . . 11

3 Projection orthogonale 12 3.1 Notion de distance . . . 12

3.2 Entre deux vecteurs . . . 12

3.3 Entre un vecteur et un ensemble . . . 13

3.4 D´efinition . . . 14

3.5 Propri´et´es . . . 15

3.6 Applications pour la m´ethode des moindres carr´es . . . 17

4 Exercices du td 19

(3)

Chapitre 10: Espaces euclidiens Produit scalaire dans Rⁿ.

Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, n d´esignera un entier strictement positif.

1 Produit scalaire dans R

ⁿ

.

1.1 D´ efinition

Soient −→u et −→v deux ´el´ements deRⁿ, on pose :

(u1, u2,· · · , un) =−→u et (v1, v2,· · · , vn) =−→v .

Le produit scalaire de−→u et−→v est le réel, noté−→u · −→v ou (−→u|−→v) ou h−→u ,−→vi, défini par :

−

→u · −→v =u₁×v₁+u₂ ×v₂+· · ·+u_n×v_n. D´efinition 1

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. On a −→u ·−→ 0 = 0.

, Exemple :

On peut ainsi calculer −→u · −→v , −→u · −→w et −→x · −→y avec :

−

→u = (1,0,1),−→v = (1,2,3),−→w = (−2,2,2),−→x = (1,2,3,4,5) et −→y = (7,8,1,2,3).

Comme−→u · −→w = 0, on dit que−→u et −→w sont orthogonaux.

• Le produit scalaire est lin´eaire en ses deux variables : Pour tout (λ, µ) ∈ R² et tout (−→u ,−→v ,−→w)∈(Rⁿ)³ on a :

−

→u ·(λ−→v +µ−→w) =λ(−→u · −→v ) +µ(−→u · −→w) et (λ−→u +µ−→v)· −→w =λ(−→u · −→w) +µ(−→v · −→w).

• Le produit scalaire est sym´etrique : Pour tout (−→u ,−→v )∈(Rⁿ)², on a :

−

→u · −→v =−→v · −→u .

• Le produit scalaire est une forme d´efinie positive : Pour tout −→u ∈Rⁿ, on a :

−

→u · −→u >0 et −→u · −→u = 0⇔ −→u =−→ 0

. Proposition 2

(4)

* Remarque :

On dit que l’application ϕsuivante : ϕ:

(

Rⁿ×Rⁿ →R (−→u ,−→v ) 7→ −→u · −→v

est bilinéaire car, si −→v est un élément de Rⁿ alors les deux applications suivantes sont linéaires : (

Rⁿ →R

−

→u 7→ −→u · −→v et (

Rⁿ →R

−

→u 7→ −→v · −→u .

Soient (λ1;· · ·;λp) unp-uplet de réels (avec pun entier strictement positif), (µ1;· · ·;µq) un q-uplet de réels (avec q un entier strictement positif), (−→u₁;· · ·;−→u_p) un p-uplet de vecteurs deRⁿet enfin (−→v ₁;· · ·;−→v _q) unq-uplet de vecteurs deRⁿ, on a l’égalité suivante :

hλ₁−→u₁+· · ·+λ_p−→u_p, µ₁−→v ₁+· · ·+µ_p−→v _pi=

p

X

i=1 q

X

j=1

λ_iµ_jh−→u_i,−→v _ji

! . Proposition 3

, Exemple :

On peut ainsi calculer D

2−→u +−→v ,−→

2w− −→u + 3−→v E

avec les vecteurs −→u, −→v, et −→w du pr´ec´edent exemple.

1.2 Norme euclidienne

Soit −→u un ´el´ement de Rⁿ.

• On appelle norme euclidienne de −→u et on note ||−→u||le r´eel :

||−→u||=

√−→u · −→u .

• En particulier si (u₁, u₂,· · · , u_n) =−→u alors :

||−→u||= q

u²₁+u²₂+· · ·+u²_n. D´efinition 4

, Exemple :

1. On peut ainsi calculer ||−→

0||, ||−→u||, ||−→v||, ||−→w||, ||−→x|| et ||−→y|| avec les vecteurs du premier exemple.

(5)

Chapitre 10: Espaces euclidiens Produit scalaire dans Rⁿ.

2. On peut aussi calculer (−→u +−→v )·(−→u − −→v) avec −→u et −→v deux vecteurs quelconques de Rⁿ.

Soient −→u et−→v deux ´el´ements deRⁿ.

• ||−→u|| est un r´eel positif.

• Pour tout r´eel λ, on a : ||λ−→u||=|λ| × ||−→u||.

• ||−→u||= 0 ⇐⇒ −→u =−→ 0.

• Identit´e remarquable :

||−→u +−→v||² =||−→u||²+||−→v ||²+ 2−→u · −→v et ||−→u − −→v ||² =||−→u||²+||−→v||²−2−→u · −→v .

||−→u||²− ||−→v||² = (−→u +−→v)·(−→u − −→v).

• Identit´e du parall´elogramme :

||−→u +−→v||²+||−→u − −→v ||² = 2× ||−→u||²+||−→v ||² .

• Identit´e de polarisation :

−

→u · −→v = 1

4 × ||−→u +−→v||² − ||−→u − −→v||² . Proposition 5

* Remarque :

L’identité du parallélogramme traduit le fait que, dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des deux diagonales et égale à la somme des carrés des quatre côtés.

Voici quelques in´egalit´es remarquables :

Soient −→u et−→v deux ´el´ements deRⁿ.

• In´egalit´e de Cauchy-Schwarz :

|−→u .−→v|6||−→u|| × ||−→v ||.

De plus, si −→u et−→v sont colin´eaires, on a alors |−→u .−→v|=||−→u|| × ||−→v ||.

• Inégalité triangulaire ou inégalité de Minkowski :

||−→u +−→v ||6||−→u||+||−→v||.

De plus, si−→u et−→v sont colin´eaires et de mˆeme sens alors||−→u+−→v ||=||−→u||+||−→v||.

Proposition 6

M´ethode:

On peut traduire ainsi l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz :

(u₁v₁+u₂v₂+· · ·+u_nv_n)² 6 u²₁+u²₂+· · ·+u²_n

× v₁²+v₂²+· · ·+v²_n

(6)

avec u₁, u₂,· · · , u_n, v₁, v₂,· · · , v_n des réels. On pourra l’utiliser si on nous demande de prouver une inégalité avec des histoires de carrés et de sommes, on essaye de reconnaˆıtre des ”u_i” et des ”v_i” de fa¸con à ce que le membre de gauche ressemble à du X

u_iv_i2

et celui de droite `a du X u²_i

× Xv_i²

. Signalons un cas particulier classique : Si les v_i valent tous 1, on a alors : (u₁+u₂+· · ·+u_n)² 6n u²₁+u²₂+· · ·+u²_n

.

- Exercice 1 :

Soit (x, y, z)∈R³ tels que x²+ 2y²+ 3z² 61. En utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz, montrer que :

(x+y+z)² 6 11 6 .

2 Orthogonalit´ e

2.1 D´ efinition

Soient −→u et −→v deux ´el´ements deRⁿ.

• On dit que −→u est norm´e ou unitaire si ||−→u||= 1.

• On dit que −→u et −→v sont orthogonaux si −→u .−→v = 0 et on note alors −→u ⊥ −→v.

• On dit que −→u et −→v ne sont pas orthogonaux si −→u .−→v 6= 0.

D´efinition 7

, Exemple :

On peut ainsi v´erifier si les vecteurs deR³ puis deR⁵ du premier exemple sont ou non orthogonaux.

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition.

1. Si −→u et−→v sont orthogonaux et si λ etµ sont deux r´eels alors λ−→u etµ−→v sont orthogonaux.

2. Le vecteur nul est orthogonal `a tous les autres vecteurs.

3. Si −→u est orthogonal `a lui mˆeme alors −→u est nul.

4. Si −→u et −→v sont tous les deux non nuls et si −→u et −→v sont orthogonaux alors (−→u ,−→v) est une famille libre.

(7)

Chapitre 10: Espaces euclidiens Orthogonalit´e

2.2 Familles orthonormales

Soient I une partie finie de N et (−→u_i)_i∈I une famille de vecteurs deRⁿ.

• On dit que (−→u_i)_i∈I est une famille orthogonale si pour tout couple (i;j) d’´el´ements distincts de I, −→u_i et−→u_j sont orthogonaux.

• On dit que (−→u_i)_i∈I est une famille orthonormale si c’est une famille orthogonale dont tous les vecteurs sont unitaires.

D´efinition 8

, Exemple :

1. On peut regarder rapidement si la base canonique deRⁿest ou non une famille orthonormale.

2. ((1,2),(2,−1),(0,1)) n’est pas une famille orthogonale.

3. ((1,2,0),(2,−1,0),(0,0,2)) est une famille orthogonale mais n’est pas une famille orthonormale.

4.

1

√5(1,2,0), 1

√5(2,−1,0),(0,0,1)

est une famille orthonormale.

5. On peut aussi chercher d’autres familles orthonormales de R³.

* Remarque :

Soient m un entier sup´erieur `a 1 et (−→ui)_i∈

J1,mK une famille orthogonale de vecteurs de Rⁿ tous non nuls. La famille

−→ui

||−→u_i||

i∈J1,mK

est une famille orthonormale.

Soient m un entier sup´erieur `a 1 et (−→u_i)_i∈

J1,mK

une famille de vecteurs de Rⁿ tous non nuls.

• Si la famille (−→u_i)_i∈

J1,mK est une famille orthogonale alors c’est une famille libre.

• Si la famille (−→u_i)_i∈

J1,mK est une famille orthogonale et si m = n alors c’est une base de Rⁿ.

Proposition 9

+ Mise en garde :

Ne pas oublier l’hypothèse ”Les vecteurs sont non nuls” dans la précédente proposition. La famille ((1,0),(0,1),(0,0)) est une famille orthogonale mais elle n’est pas libre.

* Remarque :

Cette dernière proposition permet de prouver facilement qu’une famille est libre. Il faut donc rajouter cette technique à la liste des techniques prouvant la liberté d’une famille (par un calcul de rang, par un système, par récurrence, comme sous-famille...).

(8)

2.3 Pythagore

Th´eor`eme de Pythagore

Soient −→u et −→v deux éléments deRⁿ. On a l’équivalence suivante :

−

→u ⊥ −→v si et seulement si ||−→u +−→v||² =||−→u||²+||−→v||². Th´eor`eme 10

Soientm un entier sup´erieur `a 1 et (−→ui)_i∈

J1,mK une famille de vecteurs deRⁿ orthogonale.

On a :

||−→u₁+· · ·+−u→_m||² =||−→u₁||²+· · ·+||−u→_m||². Proposition 11

2.4 Bases orthonormales

Soit F un sous-espace vectoriel de Rⁿ. On appelle base orthonormale de F toute base deF qui est en plus une famille orthonormale.

D´efinition 12

Soit F un sous-espace vectoriel de Rⁿ de dimension non nul.

• F admet une famille orthonormale.

• Toute famille orthonormale de F peut être complétée en une base orthonormale de F.

• F admet une base orthonormale.

• Toute famille orthonormale de F peut être complétée en une base orthonormale de Rⁿ.

Proposition 13

, Exemple :

On peut chercher une base orthonormale de {(x, y, z)∈R³ tel que x+z = 2y} puis la compl´eter en une base orthonormale deR³.

(9)

Soit (−→e₁,· · · ,−→e_n) une base orthonormale de Rⁿ, on appelle B cette base. Soient −→u et

−

→v deux éléments deRⁿ. Soient (u₁, u₂,· · · , u_n) les coordonnées de−→u dans la base B et (v₁, v₂,· · ·, v_n) les coordonnées de −→v dans la baseB.

• On a :

−

→u · −→v =u₁ ×v₁+u₂×v₂+· · ·+u_n×v_n

• On a donc en particulier : ||−→u||² =u²₁+· · ·+u²_n. Proposition 14

Soit (−→e₁,· · · ,−→e_n) une base orthonormale de Rⁿ, on appelle B cette base. Soit −→u un

´el´ement de Rⁿ.

• On a :

−

→u = (−→u · −→e₁)−→e₁ + (−→u · −→e₂)−→e₂ +· · ·+ (−→u · −→e_n)−→e_n

• Les coordonn´ees de −→u dans la base B sont donc (−→u · −→e₁,−→u · −→e₂,· · · ,−→u · −→e_n).

Proposition 15

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. On en déduit, en utilisant les deux propositions précédentes que :

||−→u||² = (−→u · −→e₁)²+· · ·+ (−→u · −→e_n)²

, Exemple :

Soit B la famille (−→e₁,−→e₂,−→e₃) avec :

−

→e₁ = 1

√2(1,1,0),−→e₂ = 1

√2(1,−1,0) et−→e₃ = (0,0,1)

On peut d’abord prouver que cette famille est une base orthonormale de R³ puis tester ces formules avec les vecteurs −→v et −→u avec −→v = (1,0,1) et −→u = (1,1,1). On peut chercher les coordonnées de ces vecteurs dans la baseB puis évaluer de deux fa¸cons différentes −→u · −→v.

M´ethode:

On voit que les calculs (obtention de coordonn´ees, produit scalaire..) sont grandement simplifi´es dans des bases orthonormales. C’est pour cela qu’il faut savoir orthonormaliser une famille quelconque.

Prenons une famille (−→e1,· · · ,−e→m) une famille libre de Rⁿ qu’on va orthonormaliser en deux ´etapes :

• On orthogonalise :

• Pour orthogonaliser cette famille, on laisse intacte −→e₁ (on l’appelle −→ε₁).

• On remplace ensuite −→e2 par −→e2 +a−→ε1 aveca réel de fa¸con à ce que h−→e2 +a−→ε1,−→ε1i= 0. En développant, on se rend compte que a est −h−→e₂,−→ε₁i

h−→ε₁,−→ε₁i (Inutile d’apprendre par cœur cette quantité, il suffit de refaire le raisonnement). On appelle −→ε2 ce deuxième vecteur. A ce stade là, (−→ε₁,−→ε₂) est une famille orthogonale et Vect (−→e₁,−→e₂) = Vect (−→ε₁,−→ε₂).

(10)

• On remplace ensuite −→e₃ par −→e₃ +b−→ε₁ + c−→ε₂ avec b et c deux réels de fa¸con à ce que h−→e₃ +b−→ε₁ +c−→ε₂,−→ε₁i= 0 et h−→e₃ +b−→ε₁ +c−→ε₂,−→ε₂i= 0 . En développant, on se rend compte que :

b=−h−→e₃,−→ε₁i

h−→ε₁,−→ε₁i et c=−h−→e₃,−→ε₂i h−→ε₂,−→ε₂i.

De nouveau, retenir par cœur ces résultats seraient contre productif ! On appelle −→ε3 ce troisième vecteur. A ce stade là, (−→ε₁,−→ε₂,−→ε₃) est une famille orthogonale et Vect (−→e₁,−→e₂,−→e₃) et Vect (−→ε₁,−→ε₂,−→ε₃) sont confondus.

• On poursuit.... Ainsi, −→e₄ devient par exemple−→e₄ − h−→e₄,−→ε₁i h−→ε1,−→ε1i

−

→ε₁ − h−→e₄,−→ε₂i h−→ε2,−→ε2i

−

→ε₂ − h−→e₄,−→ε₃i h−→ε3,−→ε3i

−

→ε₃. A la fin de cette ´etape, la famille obtenue est orthogonale et engendre le mˆeme espace que la famille d’origine.

• On norme :

En divisant chaque vecteur par sa norme, on obtient une famille unitaire. On remplace donc (−→ε₁,−→ε₂,· · · ,−ε→_m) par

−→ε₁

||−→ε₁||,

−

→ε₂

||−→ε₂||,· · ·,

−→ ε_m

||−ε→_m||

.

2.5 Interpr´ etation matricielle

Soit (−→e₁,· · · ,−→e_n) une base orthonormale de Rⁿ, on appelle B cette base. Soient −→u et

−

→v deux éléments deRⁿ. Soient (u₁, u₂,· · · , u_n) les coordonnées de−→u dans la base B et (v1, v2,· · ·, vn) les coordonnées de −→v dans la baseB. On pose :

U =





 u₁

... u_n





 et V =





 v₁

... v_n





.

• On a :

−

→u · −→v =^tU ×V.

• On a donc en particulier : ||−→u||² =^tU ×U. Proposition 16

* Remarque :

Bien noter que dans cette dernière proposition, la base utilisée est orthonormale et c’est pour cela que l’expression est particulièrement simple. De manière générale, si on utilise les mêmes notations que dans cette dernière proposition mais en ne supposant plus que B est orthonormale, on obtient que :

−

→u · −→v =^tU ×G(−→e₁,· · · ,−→e_n)×V.

avecG(−→e₁,· · · ,−→e_n) la matrice de Gramm de (−→e₁,· · · ,−→e_n), c’est la matrice suivante :

G(−→e₁,· · · ,−→e_n) =







−

→e1 · −→e1 −→e1 · −→e2 · · · −→e1 · −→en

−

→e₂ · −→e₁ −→e₂ · −→e₂ · · · −→e₂ · −→e_n

... ...

−

→e_n· −→e₁ −→e_n· −→e₂ · · · −→e_n· −→e_n







(11)

Ces notions ne sont pas au programme.

Soit (−→e₁,· · · ,−→e_n) une base orthonormale deRⁿ, on appelleBcette base. Soit (−→

f₁,· · · ,−→ f_n) une famille de Rⁿ, on appelle F cette famille. On note P la matrice de la famille F relativement `a la base B. On a l’´equivalence suivante :

La famille F est une base orthonormale de Rⁿ ⇐⇒ ^tP ×P =I_n. Proposition 17

* Remarque :

On peut bien sûr utiliser la proposition précédente dans le cas particulier de la base canonique, c’est a priori le plus simple. On prend alors (−→

f₁,· · · ,−→

f_n) une famille de RⁿetP la matrice des coordonn´ees de la famille F, on a alors :

la famille F est une base orthonormale deRⁿ ⇐⇒ ^tP ×P =In.

Soient (−→e1,· · · ,−→en) et (−→

f1,· · · ,−→

fn) deux bases orthonormales deRⁿ. On noteP la matrice de passage de la première base à la deuxième. On a :

P est inversible etP⁻¹ =^tP.

On dit alors que P est une matrice orthogonale.

Proposition 18

* Remarque :

Ainsi, si P est une matrice carr´ee de taille n de coordonn´ees d’une famille (−→

f₁,· · · ,−→

f_n) et que (−→

f₁,· · · ,−→

f_n) est une famille orthonormale de Rⁿ alors on peut affirmer que P est inversible et on peut donner sans calcul sa matrice inverse, c’est ^tP.

(12)

2.6 Applications aux matrices sym´ etriques ` a cœfficients r´ eels

Th´eor`eme spectral

Soit A une matrice de M_n(R). On suppose que A est sym´etrique. Il existe une matrice inversible P deM_n(R) et une matrice diagonale ∆ deM_n(R) telles que :

A=P ×∆×^tP.

Il existe donc une base orthonormale de M_n,1(R) diagonalisant A.

Th´eor`eme 19

, Exemple :





1 2 3 2 5 6 3 6 8



est par exemple diagonalisable.

* Remarque :

On utilise les notations du précédent théorème. Le gros avantage de cette formule par rapport à une diagonalisation classique du style :

A=P ×∆×P⁻¹ est d’´eviter le calcul de P⁻¹.

+ Mise en garde :

On utilise les notations du précédent théorème.

1. Pour obtenir cette forme de diagonalisation, il faut absolument prendre une base orthonormale de M_n,1(R) constitu´ee uniquement de vecteurs propres de A et pas une base quelconque de M_n,1(R) de vecteurs propres de A (sinon, il n’y a aucune raison que^tP soit P⁻¹.

2. Cette proposition n’est pas applicable siAest une matrice symétrique à coefficients complexes ou si A n’est pas symétrique ! Par exemple,

1 i i −1

est une matrice sym´etrique et non diagonalisable.

3. Ce n’est pas une condition n´ecessaire et suffisante. On peut avoir des matrices diagonalisables et non sym´etriques ! C’est le cas de





1 1 0 0 2 0 0 0 3



.

4. Dans le principe, en rassemblant des bases orthonormales de vecteurs propres, on obtient encore une famille orthonormale. Cela n’a rien d’´evident et n’est pas vrai si on rassemble des familles orthonormales quelconques. Par exemple, ((1,0,0)) est une famille orthonormale,

(0,0,1), 1

√2(1,−1,0)

aussi mais

(1,0,0),(0,0,1), 1

√2(1,−1,0)

n’est pas une famille orthonormale.

M´ethode:

Soit A une matrice symétrique, à coefficients réels et d’ordre n. Voici deux étapes pour obtenir la forme Q×∆×^tQ :

(13)

Chapitre 10: Espaces euclidiens Projection orthogonale

• Etape 1 :´

On diagonalise A (cf. chapitre ”Diagonalisation” si besoin est). On trouve donc ses valeurs propres λ₁, λ₂, ..., λ_r et ses sous-espaces propres associ´es E_λ₁, E_λ₂, ..., E_λ_r.

• Etape 2 :´

On orthonormalise, pour tout ideJ1, rK, la baseB_i obtenue de E_λ_i, on obtient alors une base C_i. On appelle alorsC la famille otenue par concaténation (i.e. en rassemblant) les éléments de C₁,C₂,C₃... jusqu’àC_r. Cette famille est, d’après le cours, une base orthonormale deM_n,1(R).

Sa matrice de coordonn´ees est une matrice Q telle que : A=Q×∆×^tQ

avec ∆ une matrice diagonale, matrice avec les valeurs propres deAsur la diagonale, ordonn´ees comme le sont les vecteurs propres de A dans Q.

Soient f un endomorphisme deRⁿ etA une de ses matrices associées dans une base or- thonormée. SiAest symétrique alors il existe une base orthonormale deRⁿ dans laquelle la matrice de f est diagonale, il existe donc une base orthonormale de Rⁿ constituée uniquement de vecteurs propres de f.

Th´eor`eme 20

* Remarque :

On utilise les notations du précédent théorème. Pour trouver une base orthonormale dans laquelle la matrice de f est diagonale, il suffit de juxtaposer des bases orthonormales de sous-espaces propres def associés à des valeurs propres deux-à-deux distinctes.

- Exercice 2 : Montrer que





2 2 0 2 0 2 0 2 2



 est diagonalisable et diagonaliser la avec une base orthonormale de vecteurs propres.

3 Projection orthogonale

3.1 Notion de distance 3.2 Entre deux vecteurs

Soient−→u et−→v deux éléments deRⁿ. La distance entre−→u et−→v est le réel, notéd(−→u ,−→v ), défini par :

d(−→u ,−→v ) =||−→u − −→v||.

D´efinition 21

(14)

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. Si (−→e₁,· · · ,−→e_n) est une base orthonormale deRⁿ, (u₁, u₂,· · ·, u_n) les coordonnées de −→u dans la base B et (v₁, v₂,· · · , v_n) les coordonnées de −→v dans la baseB alors on a :

d(−→u ,−→v ) =p

(v₁−u₁)²+ (v₂−u₂)² +· · ·+ (v_n−u_n)². Ceci est en particulier vrai dans la base canonique. Ainsi, on a :

d(−→u ,−→v) = p

(v1−u1)²+ (v2−u2)²+· · ·+ (vn−un)² si−→u est (u₁, u₂,· · · , u_n) et −→v est (v₁, v₂,· · · , v_n).

, Exemple :

On peut ainsi calculer d(−→u ,−→v ) ,d(−→w ,−→v ) et d(−→u ,−→w) avec :

−

→u = (1,0,1),−→v = (1,2,3), et −→w = (−2,2,2).

Soient −→u, −→v et −→w trois ´el´ements de Rⁿ, on a :

• d(−→u ,−→v) = 0⇐⇒ −→u =−→v . (Propriété de Séparation)

• d(−→u ,−→v) = d(−→v ,−→u) . (Propriété de Symétrie)

• d(−→u ,−→v)6d(−→u ,−→w) +d(−→w ,−→v ). (In´egalit´e triangulaire) Proposition 22

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. On peut aussi prouver l’inégalité triangulaire inversée qui est :

d(−→u ,−→w)>|d(−→u ,−→v)−d(−→v ,−→w)|.

3.3 Entre un vecteur et un ensemble

Soient −→u un vecteur de Rⁿ etAune partie de Rⁿ. La distance de −→u à la partie Aest le réel, noté d(−→u , A), défini par :

d(−→u , A) = inf{d(−→u ,−→v),−→v ∈A}. D´efinition 23

(15)

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. On n’a pas supposé queAétait un espace vectoriel dans la définition précédente. Par contre, si Aest un espace vectoriel, on verra un outil simple pour

´evaluer d(−→u , A), celui de projection orthogonale.

, Exemple :

On peut ainsi calculer d(−→u , A) ,d(−→w , B) et d(−→v , C) avec :

−

→u = (3,2),−→w = (−3,0), et −→v = (−2,−3)

et







A ={(x,0), x∈R}

B ={(x, y)∈R² tel que : x²+y² 64}

C ={(x, y)∈R² tel que : (x+ 2)²+ (y+ 3)² = 4 et x6−2} .

3.4 D´ efinition

Dans tout cette partie,F d´esigne un sous-espace vectoriel deRⁿde dimension strictement positive.

Soit −→u un vecteur de Rⁿ. Il existe un unique vecteur −→v de F tel que −→u − −→v soit orthogonal `a tout vecteur deF.

Proposition 24

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. SiF estRⁿ alors −→v est tout simplement...

On appelle projection orthogonale sur F l’application p qui `a tout vecteur −→u de Rⁿ associe le vecteur −→v deF tel que −→u − −→v soit orthogonal `a tout vecteur deF.

D´efinition 25

(16)

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition.

1. Si −→u est un vecteur deF alors p(−→u) est −→u. Si F estRⁿ alors p est tout simplement....

2. Si on ´ecrit −→u sous la forme −→u₁ +−→u₂ avec −→u₁ un vecteur de F et −→u₂ un vecteur orthogonal `a tout vecteur de F alors p(−→u) est −→u₁.

3.5 Propri´ et´ es

Soitpla projection orthogonale surF. On notem la dimension deF et (−→e₁,· · · ,−e→_m) une base orthonormale de F. Pour tout vecteur −→u de Rⁿ, on a :

p(−→u) = (−→u · −→e₁)−→e₁ + (−→u · −→e₂)−→e₂ +· · ·+ (−→u · −e→_m)−e→_m. Proposition 26

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

1. On rappelle que −→u = (−→u · −→e1)−→e1 + (−→u · −→e2)−→e2 +· · ·+ (−→u · −e→m)−e→m+ (−→u · −−→em+1)−−→em+1+· · ·+ (−→u · −→e_n)−→e_n avec (−→e₁,· · · ,−e→_m,−−→e_m+1,· · · ,−→e_n) une base orthonormale deRⁿ .

2. On note P la matrice canoniquement associée à p. On peut interpréter matriciellement cette dernière proposition. Notons, pour tout i de J1, mK, E_i la matrice canoniquement associée à

−

→e_i. On a :

P =E₁×^tE₁+E₂×^tE₂+· · ·+E_m×^tE_m

=Q×^tQavec Q la matrice canoniquement associ´ee `a (−→e₁,· · · ,−e→_m)

3. Si on ne dispose que d’une base (pas forcément orthonormale) de F alors, on appelle B la matrice canoniquement associée à cette base. On peut prouver que ^tB ×B est une matrice inversible et que :

P =B× ^tB ×B−1

×^tB.

Cette derni`ere formule est hors-programme.

M´ethode:

Deux ´etapes suffisent donc pour expliciter p, la projection orthogonale surF :

• Etape 1 :´

On expliciter une base orthonormale de F, on l’appelle (−→e₁,· · · ,−→e_r). Attention, on n’a pas besoin de (−→e₁,· · · ,−→e_n) une base orthonormale de Rⁿ puisque toutes les composantes suivant

−−→e_r+1,· · ·,−→e_n vont ˆetre annul´ees par p_F, ce travail est donc inutile.

• Etape 2 :´ Il nous reste quelques produits scalaires `a calculer puisque p_F(−→u) est donn´ee par la formule que l’on vient de voir :

p_F(−→u) =h−→u ,−→e₁i −→e₁ +h−→u ,−→e₂i −→e₂ +· · ·+h−→u ,−→e_ri −→e_r. Il nous faut donc calculer h−→u ,−→e₁i, h−→u ,−→e₂i... jusqu’`a h−→u ,−→e_ri.

(17)

, Exemple :

On peut ainsi expliciter facilementp₁ la projection orthogonale sur F₁, p₂ la projection orthogonale surF₂ et p₃ la projection orthogonale sur F₃ avec :

F1 ={(x,0,0), x∈R}, F2 ={(x, x, x), x∈R} et F3 =

(y, y+x, x),(x, y)∈R² .

Soitpla projection orthogonale surF. On notem la dimension deF et (−→e₁,· · · ,−e→_m) une base orthonormale deF. On compl`ete cette famille en (−→e₁,· · · ,−→e_n) une base orthonormale deRⁿ.

• p est une application lin´eaire.

• On a p◦p=p.

• Si q est la projection sur F^⊥, l’ensemble d´efini par : F^⊥ =n−→u ∈Rⁿ tels que : ∀ −→

f ∈F,D−→u ,−→ fE

= 0o alors pour tout vecteur −→u, on a : −→u =p_F (−→u) +q(−→u).

• Im (p) estF, Ker(p) est Vect (−−→e_m+1,· · · ,−→e_n), soitF^⊥. Les vecteurs du noyau dep sont donc orthogonaux `a tous les vecteurs de F.

• Les valeurs propres de p ne peuvent ˆetre que 0 ou 1.

Proposition 27

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. A partir de ces propriétés, on peut affirmer que pn’a que deux valeurs propres possibles, c’est 0 et 1. On peut relier ses sous-espaces propres à F et F^⊥.

Soient −→u un vecteur de Rⁿ et pla projection orthogonale sur F. On a : d(−→u , F) =||−→u −p(−→u)||

Proposition 28

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente proposition. Ne pas oublier dans la proposition précédente que F est un espace vectoriel. Sinon, si F est un ensemble quelconque, on ne sait pas, a priori, si d(−→u , F) existe et, en cas d’existence, on ne sait pas si elle vaut ||−→u −p(−→u)||.

- Exercice 3 :

On note F l’ensemble suivant : {(x, y, x),(x, y)∈R²} et−→u le vecteur (1,1,1). Calculer d(−→u , F).

(18)

M´ethode:

On se donne une matriceAtelle queA² =A(sinon,Ane peut pas être la matrice d’une projection) et on souhaite trouverF, un sous-espace vectoriel deRⁿ non réduit au vecteur nul, et p, une projection orthogonale sur F, tels queA soit une matrice associée à p.

• Pour cela, on explicite Ker(A) et Ker(A−I). On sait alors que A est une matrice associ´ee

`

a p la projection sur Ker(A−I) parallèlement à Ker(A). Pour vérifier que p est bien une projection orthogonale, il suffit d’expliciter une base (−→ε₁,· · · ,−→ε_r) de Ker(A−I) et une base (−−→ε_r+1,· · · ,−→ε_n) de Ker(A) et s’assure que h−→ε_i,−→ε_ji vaut 0 pour tout i de J1, rK et tout j de Jr+ 1, nK.

• Afin d’expliciter totalement p, il suffit d’utiliser la méthode précédente en notant que l’ensemble F de la méthode précédente est Ker(A−I).

3.6 Applications pour la m´ ethode des moindres carr´ es

On suppose dans cette partie que l’on dispose de deux séries de données réelles, (x_k)_k∈

J1,NK et (y_k)k∈J1,NK indiquant les valeurs de deux caract`eres x et y sur une population de N individus (avec N un entier naturel non nul). On suppose qu’il n’existe pas de r´eel α tel que (x₁, x₂,· · · , x_N) = (α,· · · , α). On pose :

−

→x = (x₁, x₂,· · · , x_N),−→y = (y₁, y₂,· · · , y_N) et −→w = (1,· · · ,1).

La droite de régression dey enx est la droite d’équationy=ax+b aveca et b les réels tels que la quantité suivante soit minimale :

N

X

k=1

(y_k−(ax_k+b))². D´efinition 29

On appelle p_F la projection orthogonale sur F avec F = Vect(−→x ,−→w). On note m le minimum de

N

X

k=1

(y_k−(ax_k+b))² avec (a, b) d´ecrivant R², on a : m=d(−→y , F).

m est atteint en un unique point, c’est lorsque a et b sont deux r´eels tels que a−→x +b−→w soit p_F(−→y).

Proposition 30

(19)

La droite de r´egression de y en xest la droite d’´equationy =ax+b avec : a= c_x,y

σ²_x et b=y− c_x,y σ_x² ×x

avecx= 1 N

PN

k=1xk (moyenne du caract`ere x),y= 1 N

N

X

k=1

yk (moyenne du caract`erey),

σ_x = v u u t

1 N

N

X

k=1

x²_k− 1 N

N

X

k=1

x_k

!²

(´ecart-type du caract`erex) etc_xy = 1 N

N

X

k=1

x_k.y_k−x×y (covariance des caract`eres x ety).

Proposition 31

.) Illustration :

Voici un exemple de droite de r´egression. On note que G, le point moyen, soit le point de coordonn´ees (x, y) , est un point de cette droite.

(20)

4 Exercices du td

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Soit n un entier naturel non nul.

1. Montrer, en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz que, pour tout (a₁;· · ·;a_n) de R^?+

n

, on

a : n

X

i=1

1 a_i

!

×

n

X

i=1

a_i

!

>n².

2. D´eterminer le minimum de

n

X

i=1

1 a_i

!

×

n

X

i=1

a_i

!

quand (a₁;· · ·;a_n) d´ecrit R^?+

n

.

. Exercice 2 :

Soit n un entier naturel non nul. Pour tout sous-ensemble A de Rⁿ, on d´efinit l’orthogonal de A, ensemble not´e A^⊥, par :

A^⊥={u∈Rⁿ tel que :∀ a ∈A,hu, ai= 0}.

1. Montrer que, pour tout sous-ensemble A deRⁿ,A^⊥ est un sous-espace vectoriel deRⁿ. 2. On pose E₁ = Vect ((1; 2; 0; 1); (0; 1; 3; 2)).

(a) Soit −→u un vecteur de R⁴. Montrer l’´equivalence :

−

→u ∈E₁^⊥⇐⇒ h−→u ,(1; 2; 0; 1)i=h−→u ,(0; 1; 3; 2)i= 0.

(b) En d´eduire E₁^⊥. . Exercice 3 :

Soit E = Vect ((1,−1,2),(1,0,1)), un sous-espace vectoriel de R³. 1. D´eterminer une base orthonormale de E.

2. Donner une base orthonormale de E^⊥, l’orthogonal de E, ensemble d´efini par : E^⊥ =

u∈R³ tel que : ∀ e∈E,hu, ei= 0 .

3. D´eterminer la matrice canoniquement associ´ee de la projection orthogonale psur E.

4. Justifier l’existence d’une base orthonormale C de R³ telle que la matrice de p dans la base C soit une matrice diagonale et d´eterminer une telle base.

soit

. Exercice 4 :

Dans cet exercice, pour toutideJ1,2K, on veut trouver une matriceP_iinversible telle que^tP_i×A×P_i soit diagonale avec :

A₁ =

4 3 3 −4

et A₂ =





0 0 1 0 1 0 1 0 0



.

(21)

Chapitre 10: Espaces euclidiens Exercices du td

. Exercice 5 :

Soit f un endomorphisme de R³ dont la matrice canoniquement associ´ee est :

M = 1 6





4 −√

6 −√ 2

−√

6 3 −√

3

−√

2 −√

3 5



.

Montrer quef est une projection orthogonale sur un plan et déterminer une équation cartésienne de ce plan.

. Exercice 6 :

Soient n un entier supérieur à 2, Y le vecteur (y₁,· · ·, y_n) de Rⁿ etU le vecteur (1,· · · ,1) de Rⁿ 1. Trouver b un réel en fonction de Y tel que la quantité ||Y −bU||² soit minimale.

2. Soit X un vecteur (x₁,· · · , x_n) de Rⁿ non colin´eaire `aU.

(a) Donner une base orthonormale de l’espace engendr´e par X etU.

(b) Montrer que deux r´eels a et b tels que ||Y −(aX+bU)||² soit minimale sont : a= c_x,y

σ²_x etb =y− c_x,y σ_x² ×x

avecx= 1 n

Pn

k=1x_k,y = 1 n

n

X

k=1

y_k,σ_x = v u u t 1 n

n

X

k=1

x²_k− 1 n

n

X

k=1

x_k

!2

etc_x,y = 1 n

N

X

k=1

x_k.y_k− x×y La droite d’´equationy =ax+b s’appelle la droite de r´egression deY de X.

3. Trouver la droite de régression de Y en X et faire un schéma dans le cas particulier où : (x₁, y₁) = (1,2),(x₂, y₂) = (2,5),(x₃, y₃) = (3,4) et (x₄, y₄) = (4,7).

. Exercice 7 :

SoientM une matrice symétrique réelle,a etb deux valeurs propres réelles distinctes deM associées respectivement aux vecteurs propres X et Y . En calculant le produit scalaire de M X et Y de deux fa¸cons distinctes, montrer que X et Y sont orthogonaux.

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 8 :

Soit n un entier naturel non nul.

1. Soit A un ´el´ement de M_n(R). On pose S =A×^tA. Montrer que S est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.

2. Soit A un élément de M_n(R). On suppose que A est symétrique et que toutes ses valeurs propres sont positives. Montrer qu’il existe une matrice S d’ordren telle queA =S×^tS.

3. On consid`ere la matrice suivante : A =

2 1 1 2

. D´eterminer une matrice S d’ordre 2 telle que A=S×^tS.

(22)

- Exercice 9 :

Soit f l’endomorphisme de R³ dont la matrice canoniquement associ´ee est la matrice A suivante : A=−1

9





−8 4 1

4 7 4

1 4 −8



.

1. Justifier qu’il existe une base orthonormale de vecteurs propres pour f.

2. Calculer ^tA×A et en déduire que ||f(−→v)||=||−→v || pour tout élément −→v deR³. 3. Que peut-on en déduire pour les valeurs propres def?

4. D´eterminer E−1(f).

5. En déduire le spectre def ainsi que la dimension des sous-espaces propres def. 6. Donner la nature géométrique def.

Exercices bonus

M Exercice 10 :

Dans cet exercice, pour toutideJ1,2K, on veut trouver une matriceP_iinversible telle que^tP_i×A×P_i soit diagonale avec :

A1 =





0 0 1 0 1 0 1 0 0



 et A2 =





1 0 1 0 2 0 1 0 1



.

_) Exercice 11 : Soit la matrice M =





0 −2 1

−2 3 −2

1 −2 0



. Le but de cet exercice est de calculerMⁿ, pour tout entier natureln, de deux mani`eres diff´erentes.

1. (a) Justifier que M est diagonalisable.

(b) Calculer les valeurs propres de M et les sous-espaces propres associ´es.

(c) Déterminer une base orthogonale de R³ formée de vecteurs propres de M et en déduire une matriceP telle que ^tP ×M ×P soit diagonale.

(d) En d´eduire Mⁿ en fonction de n, pour tout entier naturel n.

2. (a) On pose F = Vect ((1,−2,1)) et G= Vect ((1,0,−1),(1,1,1)). Soit p le projecteur sur F de direction G etq le projecteur sur Gde direction F.

i. Justifier quepetq sont des projecteurs orthogonaux et d´eterminer les endomorphismes p◦q, q◦p et p+q.

ii. On appelle respectivementA etB les matrices de petq dans la base canonique deR³. Calculer A et B.

(b) On posef l’endomorphisme deR³ dont la matrice dans la base canonique estM. Montrer que f = 5p−q et en d´eduire fⁿ en fonction de n, p et q puis Mⁿ en fonction de n pour tout entier naturel n.