MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 14
Semaine du lundi 18 au vendredi 22 janvier
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 13 : espaces préhilbertiens réels et espaces euclidiens
Dans tout le chapitreE est unR-espace vectoriel.
1. Formes bilinéaires – rappels de MPSI.
1.1 Forme bilinéaire symétrique
Définition : forme bilinéaire (FB), forme bilinéaire symétrique (FBS).
Proposition : l’ensemble des FBS est un espace vectoriel.
Les formes quadratiques sont hors-programme.
1.2 Expression matricielle en dimension finie SupposonsE de dimension finien.
Définition : matrice d’une forme bilinéaire symétrique dans une base donnée.
Exemple : matrice de la forme bilinéaire symétrique(A, B)7→ tr (AB)surM2(R).
Proposition : isomorphisme entre l’espace des FBS et celui des matrices carrées réelles symétriques d’ordre n.
Dimension de ces espaces.
Théorème de changement de base pour une forme bilinéaire (pas nécessairement symétrique).
Définition : matrices congruentes (lorsqu’elles représentent la même FBS dans deux bases).
Proposition : la relation de congruence est une relation d’équivalence.
1.4 Forme bilinéaire symétrique positive, définie positive Définition : forme bilinéaire symétrique positive, définie positive.
Théorème : inégalité de Cauchy-Schwarz pour une forme bilinéaire symétrique positive (+ cas d’égalité).
2. Espace préhilbertien réel – rappels de MPSI.
2.1 Produit scalaire, définition et exemples Définition : produit scalaire, espace préhilbertien réel.
Exemples : dansRn, dansR[X], dansC([a, b],R), dansL2(I,R), dans`2(N,R).
2.2 Deux théorèmes
Theorème : inégalité de Cauchy-Schwarz (pour un produit scalaire) ; cas d’égalité.
Théorème : inégalité de Minkowski (norme euclidienne ssociée à un produit scalaire).
Exemples de normes euclidiennes.
Remarque : distance, distance euclidienne ; exemple de la distance discrète (non euclidienne).
2.3 Des propriétés
Proposition : identités de polarisation, identité du parallélogramme.
Remarque : interprétation géométrique (dans un parallélogramme la somme des carrés des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales).
Proposition : caractérisation des normes euclidiennes.
Exemples d’application (une norme euclidienne, une norme non euclidienne).
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/3 18 novembre 2020
MP 2020-21
3. Orthogonalité – rappels de MPSI.
Soit(E,(· | ·))un espace préhilbertien réel.
3.1 Vecteurs orthogonaux
Définition : orthogonalité de deux vecteurs.
Proposition : propriété de Pythagore.
3.2 Sous-espaces orthogonaux Définition : orthogonal d’un vecteur.
Proposition : l’orthogonal d’un vecteur est un sous-espace vectoriel deE.
Remarque : en dimension finie, l’orthogonal d’un vecteur est un hyperplan.
Définition : orthogonal d’une partie deE.
Remarque : l’orthogonal d’une partie est un sous-espace vectoriel deE même si la partie n’en est pas un ! Proposition : propriétés de l’orthogonal.
Définition : sous-espaces vectoriels orthogonaux.
Proposition : deux sous-espaces orthogonaux sont en somme directe.
3.3 Supplémentaire orthogonal
Définition : supplémentaire orthogonal d’un sous-espace ; sous-espaces supplémentaires orthogonaux.
Exemple dansR[X]d’un sous-espace n’admettant pas de supplémentaire orthogonal.
Théorème : dans un espace préhilbertien réel, tout SEV de dim. finie admet un supplémentaire orthogonal.
3.4 Famille orthogonale, famille orthonormale Définition : famille orthogonale, famille orthonormale.
Proposition : toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.
Corollaire : une famille orthonormée est libre ; en dimension n, une famille orthogonale a au plus n vecteurs non-nuls ; en dimension nune famille orthogonale ànéléments tous non-nuls est une base deE.
Proposition : relation de Pythagore pour une famille de pvecteurs orthogonaux.
4. Projection orthogonale, distance à un sous-espace – rappels de MPSI.
4.1 Définition et exemple
Définition : projection orthogonale, sur un SEV de dimension finie et parallèlement à son orthogonal.
Remarque : caractérisation de la projection.
Remarque : projecteurs associés à une décomposition deE en somme directe.
Exemple : produit scalaire de Frobénius, défini surMn(R)par(A|B) = tr (tA·B); projection orthogonale sur Sn (matrices symétriques), surAn (matrices antisymétriques).
4.2 Expression d’une projection dans une base orthonormée
Proposition : expression d’une projection sur un SEV dont on connaît une base orthonormée.
Remarque : en dimension finie, cas particuliers des projections sur une droite ou sur un hyperplan.
Théorème : inégalité de Bessel, pour une famille orthonormale finie de vecteurs.
Théorème : inégalité de Bessel généralisée, pour une famille orthonormale dénombrable de vecteurs.
4.3 Distance d’un point à un sous-espace
Proposition : caractérisation du projeté d’un vecteur sour un sous-espace comme unique vecteur du sous-espace minimisant une distance.
Définition : distance d’un point à une partie.
Corollaire : la distance d’un point à un sous-espace de dimension finie est atteinte en le projeté orthogonal.
Méthode : calcul pratique de la distance à un sous-espace.
Exemple détaillé.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/3 18 novembre 2020
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5. Espaces euclidiens – rappels de MPSI.
5.1 Bases orthonormales
Définition : espace vectoriel euclidien (espace préhilbertien réel de dimension finie).
Théorème : tout espace euclidien possède des bases orthonormales.
Théorème de la base orthonormale incomplète.
Définition : dual d’un espace vectoriel.
Théorème de représentation : tout EVE est isomorphe à son dual.
5.2 Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Proposition : algorithme de Gram-Schmidt d’orthonormalisation d’une base. Unicité, sous condition.
Exemple détaillé.
Remarque : dans la pratique on orthogonalise une base, puis on normalise les vecteurs à la fin en les divisant par leur norme.
5.3 Isomorphisme deE sur son dual E∗
Théorème : toute forme linéaire sur un EVE s’écrit et de façon unique sous la forme(· |y).
6. Suites totales.
6.1 Définitions et premières propriétés
Définition : une suite(an)nest totale lorsque l’espace vectoriel qu’elel engendre est dense dans l’espace ambiant.
Remarque : une suite est totale ssi tout voisinage d’un élément deE contient une combinaison linéaire des an, ssi tout élément est limite d’une suite de combinaisons linéaires desan.
Prpoposition : l’orthogonal d’une famille totale est{0E}.
Remarque : la réciproque est fausse : on peut avoirVect(an/ n∈N)⊥={0}sans que(an)n soit totale. Contre- exemple détaillé.
Remarque : en dimension finie, toute suite totale est génératrice.
Proposition : caractérisation des suites totales par la convergence de la suite des projections.
6.2 Suites orthonormales totales
Corollaire : une suite orthonormale(en)nest totale ssi pour toutx, la sérieP
(x|en)2converge et a pour somme kxk2.
6.3 Polynômes orthogonaux
Définition : produit scalaire à poids (mais pas à rayures) surR[X].
Proposition : pour tout produit scalaire à poids, existence d’une suite de polynômes orthogonaux.
Théorème : pour tout produit scalaire à poids, toute suite de polynômes orthogonaux est totale.
Proposition : si(Pn)nest une suite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire à poids, alors pour tout n Pn admetnracines réelles distinctes.
Remarque : abondance des polynômes orthogonaux dans les concours. Vingt-quatre références de sujets.
Semaine suivante : endomorphismes symétriques.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/3 18 novembre 2020
