MPSI – Programme de colles – Semaine 26
(du 25/05/2021 au 28/05/2021)1 Séries numériques. Groupe symétrique. Déterminant
Tout le programme précédent sur les chapitres 28, 29 et 30. Les questions de cours au programme sont les suivantes :
• Condition nécessaire de convergence d’une série (divergence grossière) (Proposition 9, Chap 28).
• Critère de convergence des séries de Riemann (Théorème 18, Chap 28).
• La convergence absolue implique la convergence (Théorème 20, Chap 28).
• Image d’une famille liée de p vecteurs par une forme p-linéaire alternée(Proposition 6, Chap 30).
• Caractérisation des bases par le déterminant (Théorème 13, Chap 30).
• Relation A¨tCompAq “ tCompAq ¨A “detpAqIn (Théorème 42, Chap 30).
2 Espaces préhilbertiens réels.
• Produit scalaire. Notations acceptées :xx, yy,px|yq,x¨y. Espace préhilbertien, espace euclidien. Produit scalaire canonique sur Rn, produit scalaire
żb
a
f gsur Cpra, bs,Rq.
• Norme associée à un produit scalaire, distance. Formules de polarisation, égalité du parallélogramme. Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d’égalité. Inégalité triangulaire, cas d’égalité.
Question de cours : Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d’égalité (Théorème 6, Chap 31).
• Vecteurs orthogonaux. Famille orthogonale, famille orthonormée. Théorème de Pythagore. Algorithme d’ortho- normalisation de Gram-Schmidt. Orthogonal d’une partie, d’un sous-espace vectoriel.
• Bases orthonormées. Existence dans un espace euclidien. Théorème de la base orthonormée incomplète. Coor- données dans une base orthonormée, expressions du produit scalaire et de la norme.
Question de cours : Coordonnées dans une base orthonormée, expressions du produit scalaire et de la norme.
(Théorèmes 31 et 32, Chap 31).
Question de cours : Supplémentaire orthogonal d’un sev de dimension finie (Théorème 33, Chap 31).
Question de cours : Distance à un sev de dimension finie (Théorème 40, Chap 31).
• Vecteur normal à un hyperplan affine d’un espace euclidien. Si l’espace est orienté, orientation d’un hyperplan par un vecteur normal. Équations d’un hyperplan affine dans un repère orthonormé. Distance à un hyperplan affine défini par un point A et un vecteur normal unitaire :|xÝÝÑ
AM , ~ny|.
• Produit mixte dans un espace euclidien orienté. Notation rx1, . . . , xns. Interprétation en termes de volume orienté. Effet d’une application linéaire.
3 La semaine suivante.
Espaces préhilbertiens réels. Isométries et matrices orthogonales.
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