MPSI – Programme de colles – Semaine 27
(du 31/05/2021 au 04/06/2021)1 Espaces préhilbertiens réels.
Tout le programme précédent sur le chapitre31. Lesquestions de cours au programme sont les suivantes :
• Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d’égalité (Théorème 6, Chap 31).
• Coordonnées dans une base orthonormée, expressions du produit scalaire et de la norme (Théo- rèmes 31 et 32, Chap 31).
• Supplémentaire orthogonal d’un sev de dimension finie (Théorème 33, Chap 31).
• Distance à un sev de dimension finie (Théorème 40, Chap 31).
2 Isométries d’un espace euclidien et matrices orthogonales.
• Isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal)
• Définition par la linéarité et la conservation des normes. Caractérisation par la conservation du produit scalaire.
Caractérisation par l’image d’une base orthonormée.
QC :Caractérisation des isométries vectorielles par la conservation du produit scalaire (Théorème 3, Chap 32).
QC : Caractérisation des isométries vectorielles par l’image d’une base orthonormée (Théorème 4, Chap 32).
• Symétries orthogonales, réflexions. Groupe orthogonal.
• Matrices orthogonales. Définition tAA “ In. Caratérisation par le caractère orthonormé de la famille des co- lonnes, des lignes. Groupe orthogonal. Caractérisation des isométries par leur matrice dans une base orthonor- mée. Déterminant d’une matrice orthogonale, d’une isométrie. Matrice orthogonale positive, négative ; isométrie positive, négative. Groupe spécial orthogonal.
QC : Caractérisation des isométries par leur matrice dans une base orthonormée (Théorème 15, Chap 32).
• Description des matrices orthogonales et orthogonales positives de taille2. Rotation vectorielle d’un plan eucli- dien orienté. Classification des isométries d’un plan euclidien orienté.
QC : Description des matrices orthogonales de taille2.
3 La semaine suivante.
Espaces préhilbertiens. Isométries vectorielles. Ensembles finis. Probabilités sur un ensemble fini.
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