Ab1 : Espaces préhilbertiens réels

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Le calcul des harmoniques spheriques utilise les polynômes orthogo- naux de Legendre

1

I Produit scalaire sur un R-espace vectoriel

I.1 Définitions

SoitEunR-espace vectoriel. On appelle produit scalaire surEtoute application (.|.) : E×E −→ R

(x,y) 7−→ (x|y)

bilinéaire symétrique définie positive, c’est-à-dire vérifiant les propriétés sui- vantes :

1. ∀(x,y₁,y₂)∈E³ ∀λ∈R (x|y₁+λy₂)=(x|y₁)+λ(x|y₂) (linéarité à droite)

2. ∀(x1,x₂,y)∈E³ ∀λ∈R (x₁+λx₂|y)=(x₁|y)+λ(x2|y) (linéarité à gauche)

3. ∀(x,y)∈E² (y|x)=(x|y) (symétrie)

4. ∀x∈E (x|x)∈R⁺ (positivité)

5. (x|x)=0=⇒x=0_E (définition)

Dans la pratique, on commence par vérifier la symétrie, alors la linéarité à gauche implique la linéarité à droite et réciproquement.

UnR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilber- tien réel. Les autres notations usuelles pour un produit scalaire sontx.y,〈x,y〉.

I.2 Exemple-avertissement

Montrer que

(P,Q)7−→

Z _+∞

0

e^−t P(t)Q(t) dt

définit un produit scalaire surR[X] (on confond comme d’habitude polynômes et fonctions polynômes).

On remarquera quelques confusions possibles dans le vocabulaire : ici, montrer que le produit scalaire est « défini » peut être compris comme « bien défini » (l’intégrale existe) ou comme « défini » dans le sens (P|P)=0⇒P=0.

I.3 Exemples fondamentaux

a Rⁿ

A deux éléments quelconquesx=(x₁, . . . ,x_n) ety=(y₁, . . . ,y_n) deRⁿ, on associe (x|y)=

n

X

i=1

x_iy_i

On définit ainsi un produit scalaire, appelé produit scalaire canonique surRⁿ. SiX etY désignent les matrices colonnes des composantes dexet deydans la base canonique, on remarque que

(x|y)=^tX Y

b Mn(R)

Suivant la démarche du paragraphe précédent, il y a un produit scalaire cano- nique surMn(R) : siAetB sont deux matrices,

(A|B)= X

1≤i,j≤n

A_i,jB_i,j

Il est intéressant de savoir que ce produit scalaire s’exprime en utilisant la trace.

c C¡

[a,b],R¢

où a et b sont deux réels, a <b. A deux éléments quelconques f etg de cet espace des fonctions continues sur [a,b] à valeurs réelles, on associe

(f|g)= Z _b

a

f(t)g(t) dt On définit ainsi un produit scalaire.

Mais si on remplace C¡

[a,b],R¢

par Cpm

¡[a,b],R¢

(avec des notations « évi- dentes »), ce n’est plus tout-à-fait un produit scalaire.

d fonctions continues de carré intégrable sur un intervalle quelconque (h.p.) Soit E l’ensemble des fonctions f continues sur I, intervalle de R, à valeurs réelles, de carré intégrable surI, c’est-à-dire telles que|f²| =f²soit intégrable surI. De l’inégalité

|f g| ≤1 2

¡f²+g²¢

on déduit que le produit de deux fonctions de carré intégrable est intégrable.

Donc, si f etg sont de carrés intégrables, siλest un nombre réel quelconque, f +λg est de carré intégrable, car

(f +λg)²=f²+λ²g²+2λf g.

Comme la fonction nulle est de carré intégrable,E est unR-espace vectoriel.

On a vu que pour deux éléments f etg deEon pouvait définir (f|g)=

Z

I

f g . On définit ainsi un produit scalaire surE. e Suites de carré sommable (h.p.)

On note`²_R(N) les suites réelles de carré sommable, c’est-à-dire les suites réelles (u_n)_n∈N telles que la série X

u²_n soit (absolument) convergente. De l’inégalité

|ab| ≤1

2(a²+b²) on déduit que`<sup>2</sup><sub>R</sub>(N) est unR-espace vectoriel (voir méthodes au paragraphe précédent) et que, en définissant, pour tout couple (u,v) d’élé- ments de`²_R(N),

(u|v)=

+∞X

n=0

unvn

on définit un produit scalaire sur`²_R(N).

f Presque un exemple

Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles discrètes de carré sommable sur (Ω,A,P), on définit

(X|Y)=E(X Y)

Définit-on ainsi un produit scalaire sur l’espace vectoriel des variables aléa- toires réelles discrètes de carré sommable sur (Ω,A,P) ?

I.4 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Hermann Schwarz, mathématicien allemand de la deuxième moitié du XIXème siècle, ne doit pas être confondu avec Laurent Schwartz, mathématicien fran- çais du XXème siècle. Donc, pas de t au Schwarz de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Soitx,ydeux éléments d’un espace préhilbertien réelE,λun nombre réel quel- conque. On sait qu’alors

(x+λy|x+λy)∈R⁺

ce qui donne, en développant par bilinéarité et en utilisant la symétrie, λ²(y|y)+2λ(x|y)+(x|x)≥0

Si y n’est pas nul, on obtient un trinôme du second degré qui garde un signe constant surR. Son discriminant est donc négatif ou nul, ce qui s’écrit

(x|y)²−(x|x)(y|y)≤0 ou encore

Proposition

¯

¯(x|y)¯

¯≤p

(x|x)p (y|y) .

Cette inégalité, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz, est encore vraie si y est nul (c’est alors une égalité).

Bien sûr, à plus forte raison,

(x|y)≤p

(x|x)p (y|y) . On peut aussi écrire :

(x|y)²=(x|x) (y|y)

Proposition L’inégalité de Cauchy-Schwarz (avec la valeur absolue !) est une égalité si et seulement sixetysont liés.

L’égalité (x|y)=p

(x|x)p

(y|y) est obtenue si et seulement sixetysont « posi- tivement liés », c’est-à-dire si et seulementy=0 oux=λyavecλ≥0.

Méthode plus rapide :On développe, sixetynon nuls, pour²= ±1,

°

°

°

° x

kxk+² y kyk

°

°

°

°

2

=1+1+2² (x|y) kxk kyk

≥0

ce qui donne presque immédiatement l’inégalité et le cas d’égalité.

ApprofondissementL’inégalité est encore vraie si (.|.) est une forme bilinéaire symétrique positive, sans que l’on ait besoin de la supposer définie. En revanche, les cas d’égalité sont plus nombreux.

I.5 Norme associée à un produit scalaire

De l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on déduit que, pour tout couple (x,y) d’élé- ments deE,

(x+y|x+y)=(x|x)+(y|y)+2(x|y)

≤(x|x)+(y|y)+2p

(x|x)p (y|y)

≤³p

(x|x)+p

(y|y)´2

et finalement :

p(x+y|x+y)≤p

(x|x)+p (y|y) . L’applicationx7→ kxk =p

(x|x) est donc une application deEdansR⁺vérifiant les propriétés suivantes (pour tousxetydansE,λdansR) :

kλxk = |λ|kxk kx+yk ≤ kxk + kyk kxk =0⇒x=0_E

C’est donc une norme surE. Un espace préhilbertien réel est donc muni d’une structure d’espace vectoriel normé, la norme précédente est dite associée au produit scalaire ; on parle denorme euclidienne. La distance associée est une distance euclidienne.

I.6 Exemples fondamentaux

a Rⁿ

Pour tous élémentsx=(x₁, . . . ,x_n) ety=(y₁, . . . ,y_n) deRⁿ, on a :

¯

¯

¯

n

X

i=1

xiyi

¯

¯

¯≤ s n

X

i=1

x_i² s n

X

i=1

y_i². Et aussi, d’ailleurs :

n

X

i=1

|xiy_i| ≤ s n

X

i=1

x_i² s n

X

i=1

y_i². La norme est définie par

kxk = s n

X

i=1

x_i²=p

tX X.

b C¡

[a,b],R¢

oùaetbsont deux réels,a<b. Pour tous élémentsf etg de cet espace, on a

¯

¯

¯

¯ Z b

a

f(t)g(t) dt

¯

¯

¯

¯≤ s

Z b a

f(t)²dt s

Z b a

g(t)²dt. On peut évidemment mettre des valeurs absolues sur f etg,

Z

[a,b]|f g| ≤ s

Z

[a,b]

f² s

Z

[a,b]

g². La norme associée au produit scalaire est définie par

N₂(f)= s

Z _b

a

f(t)²dt. c fonctions de carré intégrable (h.p.)

Soit f,g continues surI, intervalle deR, à valeurs réelles, de carré intégrable surI. On a

¯

¯

¯ Z

I

f g

¯

¯

¯≤ s

Z

I

f² s

Z

I

g².

Et, aussi

Z

I|f g| ≤ s

Z

I

f² s

Z

I

g². Ce qui s’écrit aussiN1(f g)≤N2(f)N2(g).

La norme est définie par

N₂(f)= s

Z

I

f².

On peut utilement remarquer que ces inégalités intégrales sont encore valables pour des fonctions continues par morceaux.

Une application célèbre: montrer que la fonctionx7→ln (Γ(x)) est convexe (on rappelle que, six>0,Γ(x)=

Z _+∞

0

e^−tt^x−1d t et que l’on peut dériver indéfini- ment cette expression sous le signeR

).

d Suites de carré sommable (h.p.)

Soitu,vdeux suites réelles, telles que les sériesX

u_n²etX

v_n²convergent. Alors la série de terme généralu_nv_nest absolument convergente et

¯

¯

¯

+∞X

n=0

u_nv_n

¯

¯

¯≤ s+∞

X

n=0

u²_n s+∞

X

n=0

v_n²

A rapprocher du paragraphe précédent

e Espérances

Si X etY sont des variables aléatoires réelles discrètes de carré intégrable sur un espace probabilisé (Ω,A,P), alorsX Y est d’espérance finie, et

|E(X Y)| ≤p

E(X²)p E(Y²)

I.7 « Polarisation »

Soitxetydeux éléments d’un espace préhilbertien réel,αetβdeux nombres réels. Alors

kαx+βyk²=

On obtient alors les identités dites de polarisation, qui permettent de retrouver le produit scalaire à partir de la norme :

(x|y)=1

2(kx+yk²− kxk²− kyk²) (x|y)=1

4(kx+yk²− kx−yk²) .

Seule la première de ces formules est au programme.

I.8 Identité du parallélogramme

kx+yk²+ kx−yk²=2(kxk²+ kyk²)

Très utile dans plusieurs problèmes géométriques, dans la projection sur un convexe compact. . .A mémoriser géométriquement !Hors programme ?

I.9 Continuité du produit scalaire

Soit³ E, (.|.)´

un espace préhilbertien réel. Alors l’application (.|.) : E×E −→ R

(x,y) 7−→ (x|y)

est continue (E étant muni de la norme associée à (.|.)). Ce résultat n’est au programme qu’en dimension finie.

II Orthogonalité

II.1 Définitions

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque (x|y)=0

On écritx⊥y.

Une famille orthogonale est une famille de vecteurs deux à deux orthogonaux.

Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1 (kxk =1).

Une famille orthonormale est une famille orthogonale de vecteurs unitaires.

II.2 Indépendance linéaire

Proposition Une famille orthogonale de vecteursnon nuls, en particulier une famille orthonormale, est libre.

C’est une méthode utile pour démontrer qu’une famille est libre. . .ne pas ou- blier « non nuls ».

II.3 Théorème de Pythagore

Théorème Si (x_i)1≤i≤nest une famille orthogonale,

°

°

°

n

X

i=1

x_i

°

°

°

2=

n

X

i=1

kxik²

La réciproque est vraie quandn=2.

II.4 Sous-espaces orthogonaux

Deux sous-espacesF etGsont orthogonaux lorsque tout vecteur de F est or- thogonal à tout vecteur deG. On noteF⊥G. La sommeF+Gest alors directe.

Plus généralement, si lesF_i (1≤i ≤p) sont des sous-espaces deux à deux or- thogonaux (sii6=j, alorsFi⊥Fj), alors leur somme est directe : on peut la noter

II.5 Orthogonal d’un sous-espace vectoriel

Définition L’orthogonalF^⊥d’un sous-espaceF est l’ensemble des vecteurs deE orthogonaux à tout vecteur deF.

F^⊥={x∈E; ∀y∈F (x|y)=0}

Proposition F^⊥est un sous-espace vectoriel de E, orthogonal àF. Autre- ment dit :

F ⊥F^⊥

De plus, tout sous-espace vectoriel orthogonal àF est inclus dansF^⊥:

(G⊥F)=⇒¡

G⊂F^⊥¢

On a toujoursF∩F^⊥={0E}, mais en général,FL

F^⊥6=E.

Avertissement En général, l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel n’est pas un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel : on peut avoirF⊕F^⊥ÚE. Par exemple, soitE=C¡

[0, 1],R¢

, muni de son produit scalaire usuel, etF le sev des fonctions polynômes réelles sur [0, 1]. Le premier théorème de Weierstrass

permet de voir (c’est un exercice classique !) queF^⊥={0E}. Et donc que F⊕F^⊥=F 6=E

On retiendra donc que la sommeFL

F^⊥est toujours directe, mais que ce n’est en général pasE, donc l’orthogonal deF n’est pas nécessairement un supplé- mentaire deF.

Comme souvent, notre intuition est bonne seulement en dimension finie : il suffit d’ailleurs queF soit de dimension finie pour queF⊕F^⊥=E.

III Espaces euclidiens

III.1 Définition

On appelle espace euclidien un espace préhilbertien réel de dimension finie.

III.2 Existence de bases orthonormales

Théorème Tout espace euclidien a des bases orthonormales.

Démonstration Récurrence sur la dimension de l’espace.

Soit (e1, . . . ,en) une base orthonormale deE,xun vecteur deE. Alors x=

n

X

i=1

(e_i|x)ei

kxk = s n

X

i=1

(ei|x)² et, siyest un autre vecteur :

(x|y)=

n

X

i=1

(e_i|x)(e_i|y) .

ou encore, en notantX etY les vecteurs colonnes des composantes respectives dexetydans cette base orthonormale. Alors

(x|y)=^tX Y ; kxk =p

tX X .

III.3 Isomorphisme canonique avec l’espace dual (h.p ?)

SoitEun espace euclidien. Pour tout élémentadeE, on définit φa : E −→ R

x 7−→ (a|x)

φaest une application linéaire, c’est donc un élément deE^∗=L(E,R).

L’applicationa7−→φaest un isomorphisme deEsurE^∗, appelé isomorphisme canonique deEsurE^∗.

On utilise fréquemment ce résultat sous la forme suivante :

Proposition : Soitφune forme linéaire non nulle sur l’espace euclidienE. Il existe alors un unique élémentadeEtel que∀x∈E (a|x)=φ(x).

IV Projection orthogonale sur un s.e.v. de dimension finie

F

0_E

p_F(x) x

IV.1 Théorème de projection

Théorème SoitF un sous-espacede dimension finied’un espace préhil- bertien réelE (E n’est pas nécessairement de dimension finie). Alors l’ap- plication définie sur F : z7→ kx−zkatteint son minimum en un point unique. Autrement dit, il existe un unique pointz₀deF tel que

kx−z₀k = inf

z∈Fkx−z₀k =d(z₀,F)

Notons p_F(x)=z₀. Alors p_F(x) est caractérisé par les deux propriétés suivantes :

p_F(x)∈F et x−p_F(x)∈F^⊥.

F^⊥est donc un supplémentaire deF (on dit queF^⊥est le supplémen- taire orthogonal deF), et l’applicationx7→p_F(x) est la projection surF parallèlement àF^⊥. On l’appellera projection orthogonale surF.

La distance dexàF estkx−p_F(x)k.

Si (e₁, . . . ,ep) est une base orthonormale deF, alors, pour tout vecteurx

deE :

p_F(x)=

p

X

i=1

(e_i|x)e_i .

Le théorème de Pythagore montre quekxk²= kpF(x)k²+kx−pF(x)k², on en déduit l’inégalité de Bessel :

p

X

i=1

(e_i|x)²≤ kxk².

SiE est de dimension finie, on a de plus

dim(F^⊥) + dim(F)=dim(E) On peut noter aussi que¡

F^⊥¢_⊥

=F, mais cette relation n’est pas très utile, il est surtout intéressant de comprendre qu’elle n’est pas vraie en toute généralité (siF n’est pas de dimension finie. . .).

SiF n’est pas de dimension finie, il se peut queFL

F^⊥ne soit pasE tout en- tier : alorsF n’a pas de supplémentaire orthogonal, et il n’y a pas de projection orthogonale surF. Mais il se peut aussi queFL

F^⊥=E. Alors la projection or- thogonale surF est bien définie.

IV.2 Orthonormalisation de Schmidt

Théorème Soit (e₁, . . . ,en) une base d’un espace euclidien. Alors il existe une base orthonormale (f₁, . . . ,f_n) de cet espace telle que

∀i∈{1, . . . ,n} Vect(e1, . . . ,ei)=Vect(f1, . . . ,fi).

La base (f₁, . . . ,f_n) est dite obtenue à partir de la base (e₁, . . . ,e_n) par or- thonormalisation de Schmidt.

Construction - Démonstration

Les conditions Vect(e₁)=Vect(f₁) etkf₁k =1 équivalent à f₁= ± 1

ke₁ke₁

Maintenant, on veut construiref₂unitaire tel quef₂∈Vect(f₁)^⊥et Vect(e₁,e₂)= Vect(f1,f2).

1. Représenter dans le plan les trois vecteurse₁,e₂, f₁.

2. On note F₁=Vect(e₁)=Vect(f₁). Donner les deux expression pos- sibles def₂en faisant intervenir la projection orthogonalep_F1.

3. Supposantf₁, . . . ,f_pconstruits, on noteF_p =Vect(e₁, . . . ,e_p)=Vect(f₁, . . . ,f_p).

Donner les deux expression possibles def_p+1en faisant intervenir la projection orthogonalep_Fp.

Le procédé d’orthonormalisation de Schmidt a une interprétation matricielle, la décompositionQR, qui est un thème d’exercice classique.

Corollaire (base orthonormale incomplète) Toute famille orthonormale de vecteurs d’un espace euclidien peut être complétée en une base ortho- normale de cet espace.

IV.3 Projecteurs orthogonaux associés à une décomposition de l’espace en somme directe orthogonale

Soit (F_i)1≤i≤p une famille de p sous-espaces d’un espace euclidien E, deux à deux orthogonaux. On suppose que la somme (directe orthogonale) desFi est E. On associe à cette décomposition deE en somme directe orthogonale les projecteurs orthogonaux suivants :p_iest la projection orthogonale surF_i, c’est- à-dire la projection surFi parallèlement àM

j6=i

Fj. Les pi sont des projecteurs orthogonaux vérifiant

p

X

i=1

pi=IdE et i6=j⇒pi◦pj=Θ

Table des matières

I Produit scalaire sur un R-espace vectoriel 2

I.1 Définitions . . . 2

I.2 Exemple-avertissement . . . 2

I.3 Exemples fondamentaux . . . 3

a Rⁿ . . . 3

b Mn(R) . . . 3

c C¡ [a,b],R¢ . . . 4

d fonctions continues de carré intégrable sur un intervalle quelconque (h.p.) . . . 4

e Suites de carré sommable (h.p.) . . . 4

f Presque un exemple . . . 5

I.4 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . 6

I.5 Norme associée à un produit scalaire . . . 7

I.6 Exemples fondamentaux . . . 8

a Rⁿ . . . 8

b C¡ [a,b],R¢ . . . 8

c fonctions de carré intégrable (h.p.) . . . 8

d Suites de carré sommable (h.p.) . . . 9

e Espérances . . . 9

I.7 « Polarisation » . . . 9

I.8 Identité du parallélogramme . . . 10

I.9 Continuité du produit scalaire . . . 10

II Orthogonalité 11 II.1 Définitions . . . 11

II.2 Indépendance linéaire . . . 11

II.3 Théorème de Pythagore . . . 11

II.4 Sous-espaces orthogonaux . . . 12

II.5 Orthogonal d’un sous-espace vectoriel . . . 12

III Espaces euclidiens 13

III.1 Définition . . . 13 III.2 Existence de bases orthonormales . . . 13 III.3 Isomorphisme canonique avec l’espace dual (h.p ?) . . . 14 IV Projection orthogonale sur un s.e.v. de dimension finie 15 IV.1 Théorème de projection . . . 15 IV.2 Orthonormalisation de Schmidt . . . 17 IV.3 Projecteurs orthogonaux associés à une décomposition de l’es-

pace en somme directe orthogonale . . . 18