Espaces préhilbertiens réels

Espaces préhilbertiens réels

E désigne un R-espace vectoriel.

I - Produit scalaire I.1 - Dénitions Définition 1 (Symétrie).

Une forme bilinéairef : E×E→Rest symétrique si pour tous vecteurs x, y∈E,f(x, y) = f(y, x).

Exercice 1.

1. Donner des exemples de formes biliéaires symétriques.

2. Soit A ∈Mn(R). Donner une condition nécessaire et susante sur A pour que l'application ϕ : Mn,1(R)×Mn,1(R)→R,(X, Y)7→^tXAY soit une forme bilinéaire symétrique.

Définition 2 (Produit scalaire).

Une applicationf : E×E →Rdénit un produit scalaire si f est (i). une forme bilinéaire symétrique,

(ii). dénie :∀ x∈E, f(x, x) = 0 si et seulement si x= 0_E, (iii). positive : ∀ x∈E, f(x, x)>0.

Notation.

Le produit scalaire de deux élémentsu, v ∈E sera notéhu, vi,u·v ou (u|v).

Exercice 2.

1. Donner des exemples de produits scalaires surR²,Rⁿ,C([a, b],R),R[X].

2. Montrer que l'application ϕ : Mn(R)×Mn(R) → R,(A, B) 7→ Tr(^tAB) est un produit scalaire.

Définition 3 (Espace vectoriel préhilbertien / euclidien).

(i). Un espace préhilbertien réel est un R-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

(ii). Un espace vectoriel euclidien est un R-espace vectoriel de dimension nie muni d'un produit scalaire.

I.2 - Inégalités

Proposition 1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour tous vecteursx, y ∈E,

|hx, yi|6p

hx, xip hy, yi, avec égalité si et seulement si xety sont colinéaires.

Exercice 3.Montrer que |Tr(A)|6p

nTr(A^tA). Proposition 2 (Inégalité de Minkowski).

Pour tous vecteursx, y ∈E,

phx+y, x+yi6p

hx, xi+p hy, yi.

I.3 - Norme & Distance euclidiennes Définition 4 (Norme).

Une applicationN : E→R+ dénit une norme surE si (i). Positivité. ∀x∈E, N(x)>0.

(ii). Séparation. N(x) = 0si et seulement si x= 0_E. (iii). Homogénéité.∀ λ∈R, x∈E, N(λx) =|λ| ·N(x).

(iv). Inégalité triangulaire. ∀x, y ∈E, N(x+y)6N(x) +N(y). Exercice 4.Montrer que les application suivantes sont des normes surRⁿ. 1. N∞ : Rⁿ→R,(x_i)7→sup

i

|x_i|. 2. N1 : Rⁿ→R,(xi)7→

n

P

i=1

|x_i|.

3. N2 : Rⁿ→R,(xi)7→

s n

P

i=1

x²_i.

Théorème 1 (Norme euclidienne).

SoitEun espace vectoriel muni d'un produit scalaireh·,·i. L'applicationk · k : E →R+, x7→

phx, xi est une norme surE. C'est la norme euclidienne issue du produit scalaire.

Six∈E est tel quekxk= 1, le vecteurx est normé ou unitaire.

Notation.

k · kdésignera la norme associée au produit scalaire h·,·i. Exercice 5.

1. Donner des exemples de normes euclidiennes surR²,Rⁿ,C([a, b],R) etMn(R). 2. Exprimer le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire.

Propriété 3 (Distance).

Une distance sur E est dénie par : ∀u, v ∈E, d(u, v) =ku−vk. La fonctiondest (i). Séparante.∀ u, v∈E, d(u, v) = 0 si et seulement siu=v.

(ii). Symétrique.∀ u, v∈E, d(u, v) =d(v, u).

(iii). Inégalité triangulaire. ∀u, v, w∈E, d(u, w)6d(u, v) +d(v, w). Propriété 4 (Identités de polarisation).

Soientx, y ∈E.

(i). kx+yk² =kxk²+kyk²+ 2hx, yi.

(ii). Al-Kashi.kx−yk²=kxk²+kyk²−2hx, yi.

(iii). Identité de polarisation.kx+yk²− kx−yk² = 4hx, yi.

(iv). Identité du parallélogramme.kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²).

Exercice 6.

1. Montrer quek · k_∞ : R² →R,(x, y)7→max{|x|,|y|}n'est pas une norme euclidienne.

2.Montrer queN : R²→R,(x, y)7→p

4x²+ 2xy+ 3y² est une norme euclidienne et identier le produit scalaire associé.

II - Orthogonalité II.1 - Dénitions

Définition 5 (Orthogonalité).

SoientEunR-espace vectoriel muni d'un produit scalaire,x, y deux vecteurs deE,F, Gdeux sous-espaces vectoriels de E,p∈N^? et(x1, . . . , xp)∈E^p.

(i). Les vecteurs xety sont orthogonaux si hx, yi= 0. On notex⊥y. (ii). Les espacesF etGsont orthogonaux si∀ (x, y)∈F×G, hx, yi= 0. (iii). La famille (x1, . . . , xp) est orthogonale si ∀i, j ∈J1, pK, i6=j, hx_i, xji= 0.

(iv). La famille (x1, . . . , xp) est orthonormée si∀ i, j ∈J1, pK,hx_i, xji=δij. (v). L'orthogonal de F est l'espace F^⊥={x∈E ; ∀ y∈F,hx, yi= 0}.

Exercice 7.

1. DéterminerE^⊥ puis {0_E}^⊥.

2. SoientF, Gdeux sous-espaces vectoriels deE tels queF ⊂G. Montrer que G^⊥⊂F^⊥. 3. Dans R³ muni du produit scalaire canonique, on considère D = Vect{(1,1,1)}. Déterminer D^⊥.

Propriétés 5 (Orthogonalité & Somme directe). SoientF, G deux sous-espaces vectoriels deE.

(i). Si F etGsont orthogonaux, alors ils sont en somme directe.

(ii). L'espaceF^⊥ est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 8. Dans R³ muni du produit scalaire canonique, on considère P = Vect{(1,1,2),(1,3,4)}. Déterminer une équation cartésienne de P ainsi queP^⊥.

Théorème 2 (Pythagore).

(i). Soient x, y ∈ E. Les vecteurs x et y sont orthogonaux si et seulement si kx+yk² = kxk²+kyk².

(ii). Soient p ∈ N^? et (x₁, . . . , x_p) ∈ E^p. Si la famille (x₁, . . . , x_p) est orthogonale, alors

p

P

i=1

x_i

2

=

p

P

i=1

kx_ik².

Exercice 9.Montrer que la réciproque du (ii) est fausse.

Propriété 6 (Orthogonalité & Libre).

Soientp∈N^? etF = (x1, . . . , xp)une famille de vecteurs deEnon nuls. SiF est orthogonale, alorsF est libre.

Théorème 3 (Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt).

Soit(e1, . . . , ep)une famille libre de E. Il existe une famille orthonormée(ε1, . . . , εp)telle que pour tout i∈J1, pK,Vect{e₁, . . . , ei}= Vect{ε₁, . . . , εi}.

Exercice 10.On munit R2[X] du produit scalaire hP, Qi = Z 1

0

P(t)Q(t)dt. Orthonormaliser la base(1, X, X²).

II.2 - Bases orthonormales

Théorème 4 (Base orthonormée incomplète).

Toute famille orthonormée deE peut être complétée en une base orthonormée. En particulier, tout espace vectoriel euclidien non réduit à son élément neutre possède une base orthonormée.

Théorème 5 (Isomorphisme canonique).

Soient B = (e₁, . . . , e_n) une base orthonormée de E et x, y des vecteurs de E. On note x=

n

P

i=1

x_ie_i ety=

n

P

i=1

y_ie_i. Alors, pour touti∈J1, nK,

hx, e_ii=x_i,hx, yi=

n

X

i=1

x_iy_i,kxk= v u u t

n

X

i=1

x²_i.

SiX=





 x₁

...

x_n





 etY =





 y₁

...

y_n





, alors hx, yi=^tY X etkxk=√

tXX.

III - Géométrie

III.1 - Orthogonal d'un sous-espace vectoriel Théorème 6 (Unicité du supplémentaire orthogonal).

Soit F un sous-espace vectoriel deE de dimensionr. (i). F etF^⊥ sont supplémentaires dansE.

(ii). SoitG un supplémentaire de F. SiG⊥F, alors G=F^⊥. De plus, si E est de dimension nien, alors dimF^⊥=n−dimF. Exercice 11.Montrer que (F^⊥)^⊥=F.

Définition 6 (Projection / Symétrie orthogonale).

(i). Une projection orthogonale de E est une projection p telle que Kerp et Imp soient orthogonaux.

(ii). Une symétrie orthogonale deEest une symétriestelle queKer(s+ Id_E)etKer(s−Id_E) soient orthogonaux.

Exercice 12.Soient r un entier naturel non nul et(ε₁, . . . , ε_r) une base orthonormée deF. Pour tout vecteurx de E, exprimerp(x)en fonction des (ε_i)_i∈

J1,rK. III.2 - Distances

Théorème 7 (Distance à un sev).

Soient z un vecteur deE préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension nie r. La distance de z àF, notéed(z, F), est dénie par d(z, F) = inf

x∈Fkz−xk.

Notons pla projection orthogonale sur F. Il existe un unique vecteury∈F tel qued(z, F) = kz−yk ety=p(z).

Exercice 13.Déterminer inf

a,b∈R

Z 1 0

x²(lnx−ax−b)²dx.

Corollaire 8 (Expression dans une base orthonormée).

SoientE un espace préhilbertien,F un sous-espace vectoriel de dimension nieret(ε1, . . . , εr) une base orthonormée de F. Pour tout vecteurx∈E,

(i). p(x) =

r

P

i=1

hx, ε_iiε_i. (ii). d(x, F) =

x−

r

P

i=1

hx, ε_iiε_i .

De plus, si E est de dimension nie n et (ε1, . . . , εn) est une base orthonormée de E, alors d(x, F) =

s n

P

i=r+1

hx, e_ii².

Exercice 14.On munit R⁴ du produit scalaire usuel. On note F = {(x₁, x2, x3, x4) ∈R⁴ ; x1+ x₂+x₃+x₄= 0etx₁+ 2x₂+ 3x₃+ 4x₄ = 0}. Déterminer la matrice de la projection orthogonale surF dans la base canonique.

Théorème 9.

Soient E un espace vectoriel euclidien, B une base orthonormée de E, F un sous-espace vectoriel de E etp le projecteur orthogonal surF. SoitP =M_B(p). Alors,^tP =P.

III.3 - Hyperplans Théorème 10 (Normale).

SoitHun hyperplan deE. L'espace vectorielH^⊥est une droite appelée normale à l'hyperplan H. SiE est euclidien, B= (e₁, . . . , e_n) est une base orthonormée deE et H a pour équation

n

P

i=1

aixi = 0 dans cette base, alors H^⊥ = Vect _n

P

i=1

aiei

.

Exercice 15. (Ligne de niveau)

1.Soient−→n un vecteur non nul deE,λ∈RetA∈E. Décrire l'ensemble des pointsM tels que h−−→

AM ,−→ni=λ.

2. Illustrer le théorème dansR² etR³. Théorème 11 (Distance à un hyperplan).

SoientH un hyperplan ane passant par un pointA, de vecteur normal unitaire−→n etM un point deE. Alors, d(M,H) =|h−−→

AM ,−→ni|. Exercice 16.

1.En dimension2, exprimer la distance d'un pointM de coordonnées(x₀, y₀)à la droite d'équa- tionax+by+c= 0.

2.En dimension3, exprimer la distance d'un pointM de coordonnées(x₀, y₀, z₀)au plan d'équa- tionax+by+cz+d= 0.

III.4 - Orientation : Hyperplans, Produit mixte

Dans cette partie, on suppose que E est un espace vectoriel euclidien.

Définition 7 (Orientation).

Un espace vectoriel euclidien orienté est un espace vectoriel euclidien muni d'une orientation.

Théorème 12 (Hyperplan & Orientation).

Soient E un espace vectoriel orienté et H un hyperplan de E. On note D= H^⊥ = Vect{a}, où a est un vecteur unitaire. Il existe une unique orientation de H telle que pour toute base orthonormée directe (e1, . . . , en−1) de H, la base (e1, . . . , en−1, a) soit directe. L'hyperplanH

est orienté par le vecteur normal a.

Exercice 17.Illustrer ce théorème en dimension3. Définition 8 (Produit mixte).

Soient E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n, B une base orthonormée di- recte de E et(u1, . . . , un) une famille de vecteurs deE. Le réeldet_B(u1, . . . , un) est indépen- dant du choix de la base orthonormée directe B. C'est le produit mixte de (u₁, . . . , u_n), noté [u₁, . . . , u_n].

Exercice 18.

1. Montrer que[u₁, . . . , u_n]6= 0 si et seulement si (u₁, . . . , u_n)est une base deE. 2. Soit(u1, u2)une base de R². Interpréter[u1, u2]en termes d'aire.

Propriété 7.

Soit f ∈L(E). Alors,[f(u₁), . . . , f(u_n)] = det(f)·[u₁, . . . , u_n]. IV - Automorphismes orthogonaux

On suppose dans cette partie queE est un espace vectoriel euclidien.

IV.1 - Dénitions

Définition 9 (Endomoprhisme orthogonal).

Un endomorphismef est orthogonal s'il préserve le produit scalaire, i.e.

∀x, y ∈E,hf(x), f(y)i=hx, yi.

On note O(E) l'ensemble des endomorphismes orthogonaux. Ses éléments sont également appelées isométries vectorielles.

Exercice 19.

1. Donner des exemples simples d'endomorphismes orthogonaux.

2. Montrer que sif est un endomorphisme orthogonal, alors pour toutx∈E,kf(x)k=kxk. Propriété 8 (Structure).

(O(E),◦) est un sous-groupe de (G`(E),◦). Propriété 9.

Les endomorphismes orthogonaux sont les endomorphismes qui préservent la norme.

O(E) ={f ∈L(E) ; ∀x∈E,kf(x)k=kxk}.

Exercice 20.Montrer qu'il existe des fonctions non linéaires telles que∀ x∈E,kf(x)k=kxk. Propriété 10 (Caractérisation).

Soit f ∈L(E).

∗ Sif est un automorphisme orthogonal, alors l'image de toute base orthonormée parf est une base orthonormée.

∗ S'il existe une base orthonormée dont l'image par f est une base orthonormée, alorsf est un automorphisme orthogonal.

Propriété 11.

Soit f ∈ O(E) et M sa matrice dans une base orthonormée. Alors, M^tM = ^tM M = I_n et det(f)∈ {−1,1}.

Définition 10 (Groupe spécial orthogonal).

Le groupe spécial orthogonal est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de déterminant 1, i.e.

SO(E) ={f ∈O(E) ; detf = 1}.

Les éléments de SO(E) sont les rotations vectorielles.

Propriété 12 (Structure).

SO(E) est un sous-groupe de O(E). Propriété 13 (Caractérisation).

Les endomorphismes de SO(E) transforment les bases orthonormées directes en bases ortho- normées directes.

Définition 11 (Réflexion).

Une réexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Exercice 21.Soit sune réexion. Montrer quedet(s) =−1. IV.2 - Matrices orthogonales

Définition 12 (On).

L'ensemble des matrices orthogonales est l'ensemble

On={M ∈Mn(R) ; ^tM M =I_n}.

Propriétés 14.

(i). (On,·)est un sous-groupe de (G`_n(R),·).

(ii). Si M ∈On etf est l'endomorphisme canoniquement associé à M, alors f ∈O(Rⁿ). (iii). Si M ∈On, alors det(M)∈ {−1,+1}.

On noteSO_n={M ∈On ; detM = 1}. L'espace (SO_n,·)est un sous-groupe de (On,·). Propriété 15.

Soit M = [C₁, . . . , C_n]. Alors, (C₁, . . . , C_n) est une base orthonormée de Rⁿsi et seulement si M ∈On(R).

Théorème 13 (Changement de base orthonormée).

SoientEun espace vectoriel euclidien etB,B⁰deux bases orthonormées deEetP =M_B(B⁰).

Alors, P est orthogonale, soit ^tP =P⁻¹. De plus, pour toute matricef ∈L(E),M_B⁰(f) =

tP M_B(f)P.

IV.3 - Automorphismes orthogonaux du plan

SoitEun espace vectoriel euclidien de dimension2etf un automorphisme orthogonal deE. On note(−→

i ,−→

j) une base orthonormée de E. Théorème 14 (Décomposition).

Les automorphismes orthogonaux du plan sont soit des réexions, soit des composées de deux réexions.

Théorème 15 (Rotations).

Soit r une rotation. Sa matrice dans une base orthonormée est de la forme

a −c

c a

, où a²+c² = 1. Ainsi, (SO(E),◦) est un groupe commutatif.

Exercice 22.Montrer que SO₂(R) etUsont isomorphes.

Propriété 16 (Angle).

Soitf ∈SO(E). Il existe un réelθdéni modulo2πtel que quelle que soit la base orthonormée directeB de E,M_B(f) =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

. Le réelθ est l'angle de la rotation vectoriellef.

Propriété 17.

Pour tout vecteur u non nul de E,

cosθ= hu, f(u)i

kuk² et sinθ= [u, f(u)]

kuk² .

Définition 13 (Angle entre deux vecteurs).

Soient−→u , −→v deux vecteurs normés de E. Il existe une unique rotation vectorieller_θ telle que rθ(−→u) =−→v. Le réelθ est l'angle orienté (−→\u ,−→v).