Espaces préhilbertiens réels (fin)

Programme colle math Semaine 29 du 02/06/20 au 06/06/20 MPSI B Hoche

Attention au lundi de Pentecôte.

Espaces préhilbertiens réels (fin)

f) Hyperplans affines d’un espace euclidien

Vecteur normal à un hyperplan affine d’un espace Lignes de niveau deM 7→−−→

AM·~n.

euclidien. Si l’espace est orienté, orientation d’un hyperplan par un vecteur normal.

Équations d’un hyperplan affine dans un repère or- Cas particuliers deR²et R³. thonormal.

Distance à un hyperplan affine défini par un point Cas particuliers deR²et R³. Aet un vecteur normal unitaire~n:

−−→AM·~n .

g) Isométries vectorielles d’un espace euclidien

Isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogo- nal) : définition par la linéarité et la conservation des normes, caractérisation par la conservation du produit scalaire, caractérisation par l’image d’une base orthonormale.

Symétrie orthogonale, réflexion.

Groupe orthogonal. Notation O(E).

h) Matrices orthogonales

Matrice orthogonale : définition^tAA=I_n, caracté- risation par le caractère orthonormal de la famille des colonnes, des lignes.

Groupe orthogonal. Notations On(R), O(n).

Lien entre les notions de base orthonormale, isomé- trie et matrice orthogonale.

Déterminant d’une matrice orthogonale, d’une iso- métrie. Matrice orthogonale positive, négative ; iso- métrie positive, négative.

Produit mixte dans un espace euclidien orienté. Notation

x₁, . . . , x_n .

Interprétation géométrique en termes de volume orienté, effet d’une application linéaire.

Groupe spécial orthogonal. Notations SO(E), SOn(R), SO(n).

i) Isométries vectorielles en dimension 2

Description des matrices orthogonales et orthogo- Lien entre les éléments de SO₂(R) et les nombres

nales positives de taille 2. complexes de module 1.

Rotation vectorielle d’un plan euclidien orienté. On introduira à cette occasion, sans soulever de difficulté sur la notion d’angle, la notion de mesure d’un angle orienté de vecteurs.

SI : mécanique.

Classification des isométries d’un plan euclidien orienté.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S29

Programme colle math Semaine 29 du 02/06/20 au 06/06/20 MPSI B Hoche

Questions de cours

Étude des matrices orthogonales 2x2. Angle de la composée de deux réflexions en fonction de l’angle orienté entre les deux droites. Pas vraiment de résultats substantiels dans le programme de cette semaine pour être posé en question de cours. Je suis sorti du programme en définissant le produit vectoriel et en prouvant ses principales propriétés. J’ai aussi classifié les isométries en dimension 3 et donné une méthode pratique pour déterminer les éléments géométriques d’une matrice 3x3 orthogonale.

Prochain programme Séries numériques. Révision sur toute l’année.

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2 Rémy Nicolai S29