I Formes linéaires, hyperplans
I.1 Définitions
a Formes linéaires
Définition Une forme linéaire sur unK-espace vectorielEest une application linéaire deEdansK.
Exemples
A7→Tr(A) est une forme linéaire surMn(K).
f 7→Rb
a f est une forme linéaire surC([a,b],K).
SiEest de dimension finiep, si (e1, . . . ,ep) est une base deE, l’application πi : x=
p
X
i=1
xiei7−→xi
est une forme linéaire surE. Lesπi (1≤i ≤p) sont les formes coordon- nées associées à la base (e1, . . . ,ep).
Le mot « forme » indique une application à valeurs dans le corps des scalaires : on a déjà vu des formes bilinéaires (produits scalaires), une formen-linéaire (déterminant). . .
b Espace dual, dimension
La terminologie « espace dual » est hors-programme
L(E,K) est l’espace des formes linéaires sur leK-espace vectorielE. Proposition
SiE est de dimension finie,L(E,K) l’est aussi, et dim (L(E,K))=dim(E)
c Hyperplans
On appelle hyperplan tout sous-espace qui est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
I.2 Droites et hyperplans
Proposition Si G1 etG2 sont deux supplémentaires d’un même sous-espace vectorielF de l’espace vectorielE,G1etG2sont isomorphes.
Démonstration Facile en dimension finie. . .En dimension quelconque, il suffit d’appliquer le théorème d’isomorphisme à une projection bien choisie.
On ne demandera pas aux concours cette preuve légèrement astucieuse.
Proposition Si H est un hyperplan deE, siDest une droite non incluse dans H, alors
H⊕D=E
Proposition Un sous-espaceH d’unK-espace vectorielEest un hyperplan de Esi et seulement si il existeDdroite deE telle que
H⊕D=E
Proposition Un sous-espaceH d’unK-espace vectorielE de dimension finie est un hyperplan deEsi et seulement si
dim(H)=dim(E)−1
Proposition SiD est une droite d’un espace vectorielE, tout supplémentaire deDest un hyperplan deE.
Résumé :
Un hyperplan, en dimensionn, c’est un sous-espace de dimensionn−1.
En « dimension infinie », c’est le noyau d’une forme linéaire non nulle, ou un supplémentaire d’une droite, ces deux définitions sont équivalentes.
I.3 Equations d’un hyperplan
Proposition (equation(s) d’un hyperplan)
SoitH un hyperplan deE. Soitφune forme linéaire non nulle surEtelle queH=Ker(φ). Alors
x∈H ⇐⇒ φ(x)=0
On dit queφ(x)=0 est une « équation » deH. Une forme linéaireψnon nulle surE est telle queH =Ker(ψ) si et seulement si il existeλ∈K\ {0}
tel queψ=λφ.
Autrement dit, siφ(x)=0 est une équation deH, les équations deH sont les équationsλφ(x)=0 avecλ6=0.
Il y a donc pseudo-unicité (terminologie non officielle !) de l’équation de H.
Proposition (analyse en dimension finie)
SoitE un espace vectoriel de dimension finie, (e1, . . . ,ep) une base deE. SoitHun hyperplan deE. Il existe (α1, . . . ,αp)∈Kp\ {(0, . . . , 0)} tel que
à x=
p
X
i=1
xiei ∈H
!
⇐⇒¡
α1x1+α2x2+. . .+αpxp=0¢ Réciproquement, si (α1, . . . ,αp)∈Kp\ {(0, . . . , 0)},
α1x1+α2x2+. . .+αpxp=0
est l’équation dans la base (e1, . . . ,ep) d’un hyperplanH. Les équations de cet hyperplan sont les équations
λα1x1+λα2x2+. . .+λαpxp=0 oùλ6=0.
Dans une base d’un espace de dimension 2, l’équation d’une droite est donc de la forme
α1x1+α2x2=0 (où (α1,α2)6=(0, 0)), et réciproquement.
Dans une base d’un espace de dimension 3, l’équation d’un plan est de la forme α1x1+α2x2+α3x3=0
(où (α1,α2,α3)6=(0, 0, 0)), et réciproquement.
I.4 Intersection d’hyperplans
Proposition SoitEun espace de dimension finien. SiH1,. . .,Hmsontmhyper- plans deE, alors
dim à m
\
k=1
Hk
!
≥
Réciproquement, tout sous-espace de dimensionn−mest l’intersection demhyperplans.
Démonstration Montrer la première propriété par récurrence, en utilisant une relation célèbre qui parle de dimension et d’intersection. . .
Pour la réciproque, faire simple : siF est un sous-espace de dimension n−m, prendre une base de F, la compléter en une base deE. Utiliser cette base pour définir simplement des hyperplans convenables.
I.5 Cas particulier des espaces euclidiens
SoitEun espace euclidien. Une forme linéaire non nulleφsurEest une appli- cation
φa : x7→(a|x) oùa6=0. Son noyau est l’hyperplan Vect(a)⊥.
Réciproquement, siH est un hyperplan, ses équations sont λ(a|x)=0
oùaest un vecteur directeur deH⊥etλ6=0.
I.6 Un exercice sur les hyperplans
Exercice :Posé à l’oral de l’X. . .mais faisable !
Soitu∈L(E), oùE est unK-espace vectoriel de dimensionn. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i)uest diagonalisable.
(ii)Il existenhyperplansH1,. . . ,HndeE, stables paru, et tels que
\n i=1
Hi={0E}
I.7 Un exercice sur les bases duales
La notion de base duale est hors programme.
Exercice :On considère unK-espace vectorielE de dimensionn, on noteE∗= L(E,R).
1. Soit (e1, . . . ,en) une base deE, et soit, pour touti, φi : x=
n
X
k=1
xkek7−→xi
Montrer que (φ1, . . . ,φn) est une base deE∗.
2. Ici,E=Kn−1[X], (α1, . . . ,αn) unn-uplet d’éléments distincts deK. On dé- signe par (L1, . . . ,Ln) la base des polynômes interpolateurs de Lagrange associés auxαi. Quelle est la base (φ1, . . . ,φn) correspondante ?
3. Soit (ψ1, . . . ,ψn) une base de E∗. Montrer qu’il existe une unique base (f1, . . . ,fn) deE telle que
∀x∈E x=
n
X
i=1
ψi(x)fi
II Points et vecteurs : affine et vectoriel
Le programme est très léger sur ce point, il s’agit de révisions de mpsi, et prin- cipalement de vocabulaire.
II.1 Structure affine sur un espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel ; si l’on considère deux élémentsuetv de E comme des « points », on peut naturellement définir le « vecteur »−→uv:
−→uv=v−u
On aura alors :
u+ −→uv=v
Il est en général plus intéressant de distinguer, dans les notations, les points et les vecteurs, et de noterB=A+ −→u,→−u =−→
AB.
En particulier, l’espaceRn peut être considéré indifféremment comme espace affine ou comme espace vectoriel, ses éléments étant appelés points ou vec- teurs ;
six=(x1, . . . ,xn) ety=(y1, . . . ,yn) sont deux « points » deRn, le « vecteur »z= −→x y =y−xestz=(y1−x1, . . . ,yn−xn).
Il sera donc permis d’écrire, dansRn:−−→
O A=A−O (si, bien entendu,O désigne (0, . . . , 0)).
Remarqueajouter deux vecteurs est évidemment autorisé ; « ajouter » un vec- teur à un point (et non un point à un vecteur !) prend aussi un sens, mais ajouter deux points ne signifie rien.
II.2 Translations ; sous-espaces affines d’un espace vectoriel
a Définition des translations
Soituun élément de l’espace vectoriel E. L’application tu : x7−→x+u
est latranslation de vecteuru. C’est une bijection de E dans lui-même, de ré- ciproquetu.
Attention ! une translation n’est pas une application linéaire.
b Définition des sous-espaces affines
F
0E x
F
On appellesous-espace affined’un espace vectoriel E toute partie de E qui est l’image par une translation d’un sous-espace vectoriel : autrement dit, une par- tieF de E est un sous-espace affine de E si et seulement si il existe un vecteur xdans E et un sous-espace vectoriel F de E tel que
F=x+F=©
x+u ; u∈Fª
F est unique, et est appelédirectiondu sous-espace affineF. Elle se caractérise par
F ={−→
AB ; A∈F,B∈F}={B−A; A∈F,B∈F}.
En revanche, on peut remplacerxpar n’importe quel autre élément deF. Ladimensiond’un sous-espace affine est par définition celle de sa direction.
Une base quelconque de la direction F est appeléefamille de vecteurs direc- teursdu sous-espace affineF. On parle ainsi de vecteur directeur d’une droite affine affine, d’un couple de vecteurs directeurs d’un plan affine.
II.3 Equations « linéaires »
SiE etF sont deux espaces vectoriels, siu∈L(E,F), sib∈F, l’ensemble des solutions de l’équation
u(x)=b
,autrement dit u−1({b}), est soit vide, soit un sous-espace affine de direction Ker(u). Il n’est un sous-espace vectoriel que si et seulement sib=0F.
Ce cadre est celui de la résolution des équations différentielles linéaires, des systèmes linéaires dem équations àninconnues. Notons que Ker(u) est l’en- semble des solutions de l’équationu(x)=0F, parfois appelée équation homo- gène.
II.4 Intersection de sous-espaces affines
Proposition L’intersection de deux sous-espaces affines F etG est soit vide, soit un sous-espace affine de direction l’intersection F∩G des directions des sous-espacesFetG.
Si, donc,F∩G6= ;, alors
dim(F∩G)=dim(F∩G)=dim(F)+dim(G)−dim(F+G)
La relation de Grassmann (établie d’ailleurs pour cela, au départ) permet ainsi d’étudier les intersections de sous-espaces affines. Par exemple, si une droite est parallèle (terminologie hors-programme, c’est dire si on ne souhaite pas faire beaucoup d’affine !) à un plan en dimension 3, leur intersection est vide ou la droite entière. Sinon, l’intersection est un point.
Proposition si FL
G=E,F∩Gest un singleton.
Démonstration Pas fondamentale, mais comme on a très peu l’occasion de manipuler de l’affine, elle n’est pas inintéressante.
Fixonsx∈Fety∈G (ce sont des « points »). Alors F={x+u; u∈F}
G={y+v ; v∈G}
(dans ces écritures, on doit voirxet ycomme des points,uetv comme des vecteurs, mais en fait tout se passe dansE, doncxetysont aussi des vecteurs. . .)
ChercherF∩G, c’est résoudre l’équation, d’inconnuesu∈F etv∈G: x+u=y+v
Reste à bien utiliser l’hypothèse. . .
Il ne faut donc pas confondre le vectoriel et l’affine : les s.e.a ont le même « as- pect » géométrique que les s.e.v., puisqu’ils en sont des translatés, mais ces der- niers contiennent tous0E (passent tous par l’origine) alors que ce n’est pas le cas des s.e.a.
II.5 Repères cartésiens d’un espace affine
a Définition
Un repère cartésien d’un espace affine est un couple (O,B) oùOl’espace affine (origine du repère) etBest une base de la direction (base du repère).
F
0E e1
e2 O
F
b Equation d’un hyperplan affine dans un repère cartésien
Un hyperplan affine est un sous-espace affine dont la direction est un hyper- plan vectoriel. Si l’on notenla dimension deE, les hyperplans (vectoriels) sont les sev deE de dimensionn−1. Ce sont les noyaux des formes linéaires non nulles surE.
Soitφune telle forme linéaire non nulle, et soitB=(e1, . . . ,en) une base deE. Six=
n
X
i=1
xiei, alors
x∈kerφ⇐⇒
n
X
i=1
αixi = 0 où l’on noteαi=φ(ei).
On en déduit :
Proposition Dans un repère cartésien, un hyperplan affine a une équation du type
α1x1+ · · · +αnxn=b
(lesαi n’étant pas tous nuls), unique à un facteur multiplicatif non nul près. Sa direction a alors pour équation, dans la base associée au repère,
α1x1+ · · · +αnxn=0
En effet, si H est un hyperplan affine de direction H, soitx0 un point deH. Soitφune forme linéaire non nulle telle que kerφ=H; on a alors
x∈H ⇐⇒x−x0∈H⇐⇒φ(x)=φ(x0)
c Exemple : droite en dimension 2
D’après le paragraphe précédent, une droite, en dimension 2, a dans un repère cartésien une équation du type
ax+b y+c=0 ((a,b)6=(0, 0))
sa direction, dans la base associée, ayant pour équation ax+b y=0 .
d Exemple : plan en dimension 3
Un plan, en dimension 3, a dans un repère cartésien une équation du type ax+b y+c z+d=0 ((a,b,c)6=(0, 0, 0))
sa direction, dans la base associée, ayant pour équation ax+b y+c z=0 .
e Exemple : droite en dimension 3
Une droite, dans un espace affine de dimension 3, a dans un repère affine quel- conque une équation du type
ax+b y+c z = d a0x+b0y+c0z = d0
l’équation de la direction étant encore obtenue en « annulant les constantes » (on remplacedetd0par 0).
f Espaces euclidiens
Une droite d’un plan euclidien a, dans un repère cartésien une équation du type
ax+b y+c=0 ((a,b)6=(0, 0)) sa direction, dans la base associée, ayant pour équation
ax+b y=0 .
Si le repère est orthonormal, le vecteur de composantes (a,b) dirige l’orthogo- nal de la direction de la droite.
Un plan, dans un espace euclidien de dimension 3, a dans un repère cartésien une équation du type
ax+b y+c z+d=0 ((a,b,c)6=(0, 0, 0)) sa direction, dans la base associée, ayant pour équation
ax+b y+c z=0 .
Si le repère est orthonormal, le vecteur de composantes (a,b,c) dirige l’ortho- gonal de la direction du plan.
g Un « lieu géométrique »
Soit−→u un vecteur non nul d’un espace euclidienE, Aun point deE,k un réel.
Alors l’ensemble des pointsM qui vérifient l’équation³−→u|−−→
AM´
=0 est
III Arcs paramétrés, courbes paramétrées
III.1 Définitions
a Arc paramétré
Définition On appelle arc paramétré de classeCktoute applicationf de classe Cksur un intervalleI deR, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE(en généralE=R2ouE=R3).
En pratique, l’image du paramètretest donnée par ses composantes dans une base :
f(t)=x(t)−→u +y(t)→−v¡
+z(t)→−w¢ si on est en dimension 2 ou 3,
f(t)=
n
X
i=1
xi(t)ei si on est en dimensionn.
Rappelons que f est de classeCk si et seulement si chacune des applications composantes l’est (voir : dérivation des fonctions à valeurs vectorielles).
b Interprétation cinématique
Les vecteurs f0(t) et f00(t) s’interprètent naturellement en termes de vitesse et d’accélération (lorsqu’ils sont définis !).
III.2 Tangente, normale en un point associé à un paramètre ré- gulier
Définition Soit f : I →E un arc paramétré de classeC1; si f0(t0)6=0, la tan- gente à l’arc de paramétragef au point de paramètret0est la droite affine passant par f(t0) et dirigée parf0(t0). C’est donc
©f(t0)+s f0(t0) ; s∈Rª
Définition Soit f : I → E un arc paramétré plan de classeC1 (on suppose dimE=2). On suppose de plusE euclidien.
Si f0(t0)6=0, la normale à l’arc de paramétrage f au point de paramètre t0est la droite affine passant par f(t0) et orthogonale à la tangente en ce point. Un pointM appartient donc à cette normale si et seulement si
³−−−−−→
f(t0)M|f0(t0)´
=¡
M−f(t0)|f0(t0)¢
=0
Justification géométrique Un vecteur directeur de la droite joignant les points f(t0) etf(t) sur l’arc est
1 t−t0
¡f(t)−f(t0)¢
= 1 t−t0
−−−−−−−→
f(t0)f(t)
On dit que le paramètre t est régulierpour l’arc f lorsque f0(t)6=−→
0 . En un point de paramètre régulier, il peut y avoir une tangente. . .mais elle ne se déter- mine pas à l’aide de la dérivée.
Exemple On considère la cardioïde de représentation paramétrique x(t)=(1+cost) cost , y(t)=(1+cost) sint
Donner en tout point régulier un vecteur directeur de la tangente, un vec- teur directeur de la normale, l’équation de la tangente, l’équation de la normale.
IV Vecteurs tangents à une partie d’un espace vecto- riel normé
IV.1 Définition
Pour comprendre la définition suivante, imaginer le cas oùX est une surface,E étant un espace de dimension 3.
Définition SoitX une partie d’un espace vectoriel normé de dimension finie E, soitx∈X. On dit quev∈Eest tangent àX enxlorsqu’il existe²>0 et
γ : ]−²,²[ −→ E t 7−→ γ(t) vérifiant les propriétés suivantes :
(i)∀t∈]−²,²[ γ(t)∈X (ii)γ(0)=x
(iii)γest dérivable en 0, etγ0(0)=v
Traduction v ∈E est tangent à X en x lorsqu’il existe un « petit bout d’arc » tracé surX, passant parx, et dont le vecteur vitesse enxestv.
Exercice Montrer que siv ∈E est tangent àX enx, alorsαv est aussi tangent enxàX (α∈K).
IV.2 Un exemple peu géométrique
Exercice :Quels sont les vecteurs tangents enInàSO(n) ?Indication : que peut- on dire de l’exponentielle d’une matrice antisymétrique réelle ?
IV.3 Cas particulier d’une partie définie par une équation
Proposition Soit f : U ⊂E → R, où U est un ouvert de l’espace vectoriel normé de dimension finieE. Soit
X ={x∈U ; f(x)=k}
oùkest un réel fixé. Sif est différentiable enx0∈X, les vecteurs tangents àX enx0sont orthogonaux à∇f(x0).
Démonstration Intéressante et importante.
Exemple L’exemple d’une sphère de centre 0E est particulièrement facile à voir.
V Tangente, normale à une courbe f (x , y ) = k
V.1 Application du résultat précédent
Soit f différentiable sur un ouvertU deR2, à valeurs réelles, et (x0,y0)∈U tel que f(x0,y0)=k. Soit
(C)={(x,y)∈U ; f(x,y)=k}
Le résultat précédent montre que tout vecteur tangent àC en (x0,y0) est or- thogonal à ∇f(x0,y0). Si on admet queC est bien une « courbe », alors on en déduit :
Proposition Si∇f(x0,y0)6=−→
0 , il dirige la normale à (C) en (x0,y0).
RemarquePour ne pas se tromper, on pourra reprendre l’exemple du cercle : x2+y2=1.
V.2 Tangente, normale à une courbe plane d’équation y = f (x )
On considère f : I−→Rde classeC1,Iintervalle ouvert, et (x0,y0)∈I×Rtels quey0=f(x0).
1. Déterminer la tangente à l’arc paramétréx7−→(x,f(x)) au point de para- mètrex0.
2. On définitF(x,y)=y−f(x) surU×R. Déterminer la normale en (x0,y0) à (C)={(x,y)∈I×R; y−f(x)=0}.
VI Normale, plan tangent à une surface F (x , y, z ) = k
VI.1 Application des résultats précédents
On procède comme pour les courbes. Cette fois,F est définie sur un ouvertU deR3. On obtient, siF(x0,y0,z0)=ketF différentiable en (x0,y0,z0) :
Proposition Si∇F(x0,y0,z0)6=−→
0 , il dirige la normale à la surfaceF(x,y,z)=k en (x0,y0,z0).
Cettenormaleest une droite ; leplan tangentest le plan contenant (x0,y0,z0) et orthogonal à cette normale. Son équation est donc
(x−x0)∂F
∂x(x0,y0,z0)+(y−y0)∂F
∂y(x0,y0,z0)+(z−z0)∂F
∂z(x0,y0,z0)=0 Ici aussi, l’exemple de la sphère :x2+y2+z2=R2permet de retrouver le résultat.
VI.2 Cas particulier des surfaces z = f (x, y )
a Application des résultats précédents
On peut voir la surface d’équation z = f(x,y) comme la surface d’équation F(x,y,z)=0 avecF(x,y,z)=z−f(x,y). On calcule facilement le gradient de F, ce qui permet d’obtenir l’équation du plan tangent en un point (x0,y0,z0) :
z−z0=(x−x0)∂f
∂x(x0,y0)+(y−y0)∂f
∂x(x0,y0)
b Autre point de vue
Soit f une fonction différentiable sur un ouvertU ⊂R2, (x0,y0)∈U. Soit γ : ]−²,²[ −→ U
t 7−→ γ(t)
un arc continu, dérivable en 0, tel queγ(0)=(x0,y0). Notonsγ(t)=¡
γ1(t),γ2(t)¢ . L’applicationΓ : t7→¡
γ1(t),γ2(t),f ¡
γ1(t),γ2(t)¢¢
est un arc « tracé » sur la sur- facez=f(x,y) (son « support » est inclus dans cette surface). EtΓ(0)=¡
x0,y0,f(x0,y0)¢ . De plus,Γest dérivable en 0, et
Γ0(0)=
On voit donc queΓ0(0)∈Vect µµ
1, 0,∂f
∂x(x0,y0)
¶ ,
µ 0, 1,∂f
∂y(x0,y0)
¶¶
. Réciproque- ment, pour tous réels αet β, il existe un arc tracé sur la surface z = f(x,y), passant par le point (x0,y0,f(x0,y0)) et ayant pour vecteur tangent en ce point le vecteur
α µ
1, 0,∂f
∂x(x0,y0)
¶ +β
µ 0, 1,∂f
∂y(x0,y0)
¶
= µ
α,β,α∂f
∂x(x0,y0)+β∂f
∂y(x0,y0)
¶
Il suffit en effet de prendre
γ : t7→(x0+αt,y0+βt) et donc
Γ : t7→¡
x0+αt,y0+βt,f(x0+αt,y0+βt)¢
On définit naturellement le plan tangent à la surfacez=f(x,y) au pointM0=
¡x0,y0,f(x0,y0)¢
comme le plan contenantM0et dont la direction contient tous les vecteurs tangents enM0aux arcs tracés sur la surfacez=f(x,y). On a donc les descriptions suivantes :
Le plan tangent à la surface z = f(x,y) au pointM0=¡
x0,y0,f(x0,y0)¢ est le plan contenantM0et dirigé par Vect
µµ 1, 0,∂f
∂x(x0,y0)
¶ ,
µ 0, 1,∂f
∂y(x0,y0)
¶¶
. C’est
le plan d’équation
z−z0=(x−x0)∂f
∂x(x0,y0)+(y−y0)∂f
∂x(x0,y0)
(équation que l’on retiendra assez facilement si on la compare à l’équation de la tangente à une courbe d’équationy=f(x)).
VII Géométrie des complexes
Peu de choses, révisions du programme de MPSI. Faire de la géométrie eu- clidienne du plan avec les nombres complexes est très intéressant, voir par exemple la démonstration du théorème de Morley par Alain Connes, mais cette géométrie est tellement passée de mode qu’on n’a guère intérêt à y consacrer du temps.
VII.1 Genre
Affixe est un nom féminin (il y a un affixe masculin, mais la signification est d’ordre grammatical).
VII.2 Modules et distances, angles et arguments
C, c’estR2, et il possède donc une structure canonique de plan euclidien. Cette structure est en général nommée « plan complexe ».
Le « point »M=(a,b)∈R2a pour « affixe » le complexea+i b. Inversement, on dit queMest l’image dez=a+i b.
Le « vecteur »u=(a,b)∈R2a pour « affixe » le complexea+i b. Inversement, on dit queuest l’image dez=a+i b.
Cela n’est pas absurde : les éléments deR2peuvent être considérés comme des
points ou comme des vecteurs suivant l’usage qu’on veut en faire.
SoitA,B,Ctrois points d’affixes respectivesa,b,c; on supposea6=b. Alors
¯
¯
¯ c−a b−a
¯
¯
¯= AC AB (bien clair :c−a, par exemple, est l’affixe de−→
AC, donc|c−a| = k−→
AC).
Les angles sont plus compliqués à manier que les distances, m ais si on écrit sous forme module-argumentb−a=r1eiφ1 et c−a=r2eiφ2alors
c−a=r2
r1ei(φ2−φ1)(b−a) ce qui signifie que si on prend l’image de−→
ABpar rotation d’angleφ2−φ1(ce qui revient à ajouterφ2−φ1à l’argument deb−a) puis par homothétie de rapport r2/r1, on obtient−→
AC. Cela justifie le résultat suivant : les arguments de c−b c−a sont les mesures de l’angle orienté de vecteurs³á−→
AC,−→
BC´
. On peut donc obser- ver que, si
c−a
b−a =r eiφ (r≥0) alors
c−a=r eiφ(b−a) ce qui signifie que le vecteur−→
AC est l’image du vecteur−→
AB par une similitude de rapportret d’angle de mesureφ.
VII.3 Similitudes directes
Une similitude du plan est une transformation qui multiplie les distances par une constante, cette constante étant le rapport de la similitude. Par exemple une isométrie est une similitude de rapport 1. Considérons l’application du plan complexe qui à un point d’affixezassocie le point d’affixe f(z)=az+b, où (a,b)∈C2.
Sia=1, f est une translation, de vecteur d’affixeb.
Sia6=1,
f(z)=z ⇐⇒ az+b=z ⇐⇒ (a−1)z= −b.
Donc f a un point fixe unique, d’affixez0= b
1−a. On a alors
∀z∈C f(z)−z0=a(z−z0)=r eiα(z−z0)
en utilisant la forme module-argument dea. On en déduit que f est composée (commutative) d’une rotation et d’une homothétie, toutes les deux de centre d’affixez0.
Proposition : La transformationz7→az+best, sia6=0, une similitude directe de rapport |a|; tout argument de a est une mesure de l’angle de cette similitude.
. . .et réciproquement, toute similitude du plan complexe s’écrit de cette ma- nière.
Sia=1, la transformationz7→z+best une translation de vecteur→−u d’affixeb.
Si |a| =1, on peut écrirea =eiφ. Si φ6≡0 [2π], z7→eiφz+b est une rotation d’angleφ. L’affixe du centre s’obtient en résolvant l’équationz=eiφz+b.
Les translations et les rotations sont les isométries affines directes du plan, ap- pelées aussi déplacements.
Sia∈R\ {1}, la transformationz7→az+best une homothétie.
Remarquons que la conjugaison :z7→zest une isométrie, mais indirecte : c’est la réflexion d’axe réel (une réflexion en dimensionnest une symétrie orthogo- nale par rapport à un sous-espace de dimensionn−1).
Table des matières
I Formes linéaires, hyperplans 1
I.1 Définitions . . . 1
a Formes linéaires . . . 1
b Espace dual, dimension . . . 1
c Hyperplans . . . 2
I.2 Droites et hyperplans . . . 2
I.3 Equations d’un hyperplan . . . 3
I.4 Intersection d’hyperplans . . . 4
I.5 Cas particulier des espaces euclidiens . . . 5
I.6 Un exercice sur les hyperplans . . . 6
I.7 Un exercice sur les bases duales . . . 6
II Points et vecteurs : affine et vectoriel 7 II.1 Structure affine sur un espace vectoriel . . . 7
II.2 Translations ; sous-espaces affines d’un espace vectoriel . . . 8
a Définition des translations . . . 8
b Définition des sous-espaces affines . . . 8
II.3 Equations « linéaires » . . . 9
II.4 Intersection de sous-espaces affines . . . 9
II.5 Repères cartésiens d’un espace affine . . . 10
a Définition . . . 10
b Equation d’un hyperplan affine dans un repère cartésien . 11 c Exemple : droite en dimension 2 . . . 11
d Exemple : plan en dimension 3 . . . 12
e Exemple : droite en dimension 3 . . . 12
f Espaces euclidiens . . . 12
g Un « lieu géométrique » . . . 13
III Arcs paramétrés, courbes paramétrées 14
III.1 Définitions . . . 14
a Arc paramétré . . . 14
b Interprétation cinématique . . . 14
III.2 Tangente, normale en un point associé à un paramètre régulier . . 14
IV Vecteurs tangents à une partie d’un espace vectoriel normé 16 IV.1 Définition . . . 16
IV.2 Un exemple peu géométrique . . . 16
IV.3 Cas particulier d’une partie définie par une équation . . . 17
V Tangente, normale à une courbe f(x,y)=k 17 V.1 Application du résultat précédent . . . 17
V.2 Tangente, normale à une courbe plane d’équationy=f(x) . . . . 17
VI Normale, plan tangent à une surfaceF(x,y,z)=k 18 VI.1 Application des résultats précédents . . . 18
VI.2 Cas particulier des surfacesz=f(x,y) . . . 18
a Application des résultats précédents . . . 18
b Autre point de vue . . . 19
VIIGéométrie des complexes 20 VII.1Genre . . . 20
VII.2Modules et distances, angles et arguments . . . 20
VII.3Similitudes directes . . . 21
