Espaces préhilbertiens réels
1. (76) SoitE unR-espace vectoriel muni d'un produit scalaire noté (|). On pose∀x∈E,||x||=p
(x|x).
(a) i. Énoncer et démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
ii. Dans quel cas a-t-on égalité? Le démontrer.
(b) SoitE={f ∈ C([a, b],R), ∀x∈[a, b] f(x)>0}. Prouver que l'ensemble
(Z b
a
f(t)dt× Z b
a
1
f(t)dt , f∈E )
admet une borne inférieure met déterminer la valeur dem.
2. (77) SoitE un espace euclidien.
(a) SoitA un sous-espace vectoriel deE. Démontrer que A⊥⊥
=A.
(b) SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE. i. Démontrer que (F+G)⊥=F⊥∩G⊥. ii. Démontrer que(F∩G)⊥=F⊥+G⊥. 3. (79) Soitaetb deux réels tels quea<b.
(a) Soithune fonction continue et positive de[a, b] dansR.
Démontrer queZ b a
h(x)dx= 0 =⇒h= 0.
(b) SoitE leR-espace vectoriel des fonctions continues de[a, b]dansR.
On pose,∀(f, g)∈E2,(f|g) = Z b
a
f(x)g(x)dx.
Démontrer que l'on dénit ainsi un produit scalaire surE. (c) MajorerZ 1
0
√xe−xdxen utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
4. (80) SoitE l'espace vectoriel des applications continues et2π-périodiques deRdansR.
(a) Démontrer que (f |g) = 1 2π
Z 2π
0
f(t)g(t)dtdénit un produit scalaire surE. (b) SoitF le sous-espace vectoriel engendré parf :x7→cosxetg:x7→cos (2x).
Déterminer le projeté orthogonal surF de la fonctionu:x7→sin2x.
5. (81) On dénit dans M2(R)× M2(R) l'application ϕ(A, A0) = tr(tAA0), où tr(tAA0) désigne la trace du produit de la matricetApar la matrice A0.
On noteF=
a b
−b a
, (a, b)∈R2
.
On admet queϕest un produit scalaire surM2(R) .
(a) Démontrer que F est un sous-espace vectoriel deM2(R). (b) Déterminer une base deF⊥.
(c) Déterminer la projection orthogonale deJ =
1 1 1 1
surF⊥ . (d) Calculer la distance deJ à F.
6. (82) SoitE un espace préhilbertien etF un sous-espace vectoriel deE de dimension nien >0.
On admet que pour toutx∈E, il existe un élément uniquey0 deF tel quex−y0soit orthogonal àF et que la distance dexà F soit égale àkx−y0k.
PourA= a b
c d
etA0=
a0 b0 c0 d0
, on pose(A|A0) =aa0+bb0+cc0+dd0. (a) Démontrer que (.|.)est un produit scalaire surM2(R).
(b) Calculez la distance de la matrice A =
1 0
−1 2
au sous-espace vectoriel F des matrices triangulaires supérieures.
7. Soientx, ydeux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien. Établir :
x kxk2 − y
kyk2
=kxkkykkx−yk.
8. SoientE un espace préhilbertien réel etf, g:E →E telles que ∀x, y∈E,(f(x)|y) = (x|g(y)). Montrer que f etg sont linéaires.
9. SoientE un espace préhilbertien réel,F un sev deE, etxun vecteur deE. Montrer : x∈F⊥ ⇐⇒ (∀y∈F, (x|y)6kyk2
10. Mn(R)est muni du produit scalaire : (A|B) =tr(tA.B). (a) Déterminer l'orthogonal deDn(R)
(b) Montrer que l'orthogonal de Sn(R)est An(R)
11. (a) Montrer l'existence et l'unicité deA∈Rn[X]tel que : ∀P∈Rn[X], P(0) =R1
0 A(t)P(t) dt. Montrer queAest de degrén.
(b) Existe-t-ilA∈R[X]tel que ∀P ∈R[X], P(0) =R1
0 A(t)P(t) dt? 12. Soit E=C([−1,1],R)muni du produit scalaire déni parhf |gi=R1
−1f(t)g(t) dt. On poseF ={f ∈E/∀t∈[−1,0], f(t) = 0} etG={g∈E/∀t∈[0,1], g(t) = 0}.
(a) Montrer queF⊥ =G.
(b) Les sous-espaces vectorielsF etGsont-ils supplémentaires ? 13. On munit l'espaceE=C([0,1],R)du produit scalaire hf, gi=R1
0 f(x)g(x) dx.
Pour f ∈ E, on note F la primitive de f qui s'annule en 0 : ∀x ∈ [0,1], F(x) = Rx
0 f(t) dt et on considère l'endomorphismev deE déterminé parv(f) =F.
(a) Déterminer un endomorphismev? vériant∀f, g∈E,hv(f), gi=hf, v?(g)i (b) Déterminer les valeurs propres de l'endomorphismev?◦v.
14. Soienta, bdeux vecteurs unitaires d'un espace vectoriel euclidienEde dimensionn, etf :x→x−(a|x)b. (a) A quelle condition la fonction f est-elle bijective ?
(b) Exprimerf−1(x)lorsque c'est le cas.
(c) A quelle condition l'endomorphismef est-il diagonalisable ?
15. SoitF un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien réelE. ÉtablirF⊥=F⊥ oùF désigne l'adhérence de F.
16. SoitE un espace vectoriel hermitien, etBetB0deux bases orthonormée deE. On noteP la matrice de passage deBàB0. Que dire de det(P)?
17. Soit Eeve, et p∈L(E)une projection. Montrer : pprojection orthogonale ⇐⇒ ∀x∈E, kp(x)k6kxk
18. Soit Eun eve, etpetqdeux projecteurs orthogonaux. Montrer que : Im(p)⊂Im(q) ⇐⇒ ∀x∈E, kp(x)k6kq(x)k
19. Soient F, G deux sous-espaces de E tels que F ⊥G. On notesF et sG les symétries orthogonales de basesF etG. Montrer quesF◦sG=sG◦sF =s(F⊕G)⊥.
