Chapitre 22 Espaces préhilbertiens

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Chap 22 : Espaces préhilbertiens

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Chap 22 : Espaces préhilbertiens

, ev, ( , )

E F  uL E F

Préliminaires : applications semi-linéaires

( , ) 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

est semi-linéaire lorsque : , et ,

u  x y E u xy u x u y   x  E u x u x

ker Im

dim ker dim Im dim

: :

et semi-linéaires aussi et sont des sev

Les propriétés relatives aux bases se préservent ( ) : de dim finie Représentation matricielle :

u v u v u u

E u u E

u X AX v u X B AX

 

 

 

   

I. Généralités

: 3 / 2

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

est une forme sequilinéaire ( linéaire) lorsque :

, est linéaire , est semi-linéaire

hermitienne si, de plus, , ( )

est hermitienne positi f E E

x E f x y E f y

x y E E f y x f x y f x x f

 

     

    

*

, ( , ) ( , )

| ( , )

( , | )

ve si, de plus, définie positive si, de plus, ,

Une forme hermitienne définie positive est alors un produit scalaire hermitien, on note est un espa

x E f x x x E f x x

x y f x y E





  

   



  

  ce préhilbertion complexe, on note x ₂  x x| 

( , ) ( , ) | |2 ( , )

( , ) ( , ) 2Re( ( , )) ( , )

hermitienne ,

f x E f x x f x x

f x y x y f x x f x y f y y

   

    

     

1

2 2

0

2 2

| || ([ , ], ) |

( ) {( ) / | | } |

( ) { ( , )/ | | } |

psh canonique : ,

,

intervalle de , int. sur

n b

i a n

i i

n n

n

n n

I n

E X Y x y E a b f g f g

x x X Y x y

I L I f I f I f g f g







       

      

    

 

 



C

2

2 2

( , ) | | |

Cauchy-Schwarz : x y E , x y  x y avec égalité ssi  , xy

( )^I Utiliser  /eⁱ^x y|   | x y| | pour les preuves (pb Re/Im...) Dans le cas réel, CS est vrai même si  | n'est pas définie

2 2 2

2

( , ) 2

Minkowski :  x y E , xy  x  y , avec égalité ssi  ^, xy  est une norme

2 2 2 2 2

2 2 2 2

( , ) 2( )

| 1( ( ))

4 Egalité de la médiane : ,

Identité de polarisation complexe :

u v E u v u v u v

x y x y x y i x iy x iy

      

         

2 2 2

( , ) 2 | 0 Re | 0

Pythagore : u v E , u v   u v  u  v PAS DE RECIPROQUE (on obtient u v  )

(2)

2 / ( , )

( , )E E | est continue si est muni de ( ° bilin : )

E C x y C x y

x y^{ } x y 

  

  

 C

' ( , )

| ^C est une isométrie semi-linéaire, bij. si est de dim finie

E E E

j E

x x

 

  



L

II. Orthogonalité

( , | ) espace préhilbertien complexeE 

, |

, ( , ) | 0 { | | }

0

, 0

sont orthogonaux lorsque , on not ,

e y

x y E x y x

A B E A B x y A B x y A^ y E x A x y



         

  

     



2 2

1 1 2 2

1

... ... ( ) ( \ {0}) ( )

est un sev et

2 à 2 orthogonaux 2 à 2 est libre

n

i I i

I

n n i i I

i

A A B B A A A A A

x x x x x x E x

    











     

   



  

2

( ) , | 0 , 2 1

Un espace préhilbertien complexe de dimension finie est un espace hermitien.

est orthonormée si et

i I i

i j i

x _   i j x x    i I x 

Tout espace hermitien complexe possède une BON, et pour tout E sev de , E FF^ E

1 1

( ) ( ,..., ) ( ) ( ... )

( ) ( ) 1, , ( ... ) ( ... )

Procédé de Schmidt : base de . On dit que est une base de Schmidt attachée à lorsque est orthornormée et,

On obtient le même al

n n

k k

e e e E

e k n Vect e e Vect

  

 

  

gorithme qu'en ev euclidien

1

( , | ) ( ) ( ) ( ) ( ')

( ) ( ... ) { 1,1} 1, , '

ev euclidien, base de : il existe une base de Schmidt attachée à , et si est une autre

base de Schmidt attachée à , _n ⁿ tel que, _i _i _i

E e E e

e u u i n u

 

 

     

( )_i famille de sev de l'espace préhilbertien ( , | ). est orthogonale lorsque : ,

i i i

I

i j

F _I E F i j F F



 



  

Une somme orthogonale est directe. On note _i, et si _i , les ( )_{i i I} sont suppl. orthogonaux

i IF i IF E F

 

   

 

( ) ( ) ( ) ker Im

Im (Im ) ker

, ( ) ( ( )).

ker Im (ker )

Dans ce cas, est un projecteur orthogonal, et on a ,

proj .

et

I p E p p p p p x E p x x p x

p p p E p p p p

  

    

  

 

 L 

( )

sev de On a équiv entre : . possède un supplémentaire orthogonal

projecteur orthogonal d'image (unique dans ce cas)

I

F E F G

F F^ E p F



    

( ) Im (ker )

Si FF^ E, on a F^{ } F car p p ^ FAUX en général

1

( ... )1 . ( ) |

sev de dim. finie de , BON de Il existe un projecteur orthogonal de sur :

p

i

p i i

F E e e F E F  x e x e





 

' ", ( ' "

Si sev de de dim finie, , est de codim finie

Rmq gen : Si sev de possède deux suppl. et de dim finie aussi, de même dim.)

F E F F E F

G E G G G G

 

  



(3)

: ( , ) ( )2 ( )

sev de tq proj orth de sur , (atteinte en seulement)

F E p E F  x E d x F  x p x p x

([0,1], ) ( , [ ]) 0

f C d f X 

2 2 2

1

) ( , ) | |

( ... BON d |

En dim finie, si e ,

p

p i

i

e e F d x F x e x



 



 

2 ( )

( ) 2 0 | |

( , | ) (

0

) 1

( Dvt, Méth. variationnelle : ... , id

préhilbertien réel, proj. est orth e

em ,

st e t

)

I E p

p y E

tz y tz y z z y

p

z

p p

 

   

      

 

  

L C

III. Bessel, Parseval

( , | )E  espace préhilbertien complexe de dim finie. ( )e_k _k_ E suite orthonormée de E

2 2 2

2 2

0

| | |

( ( )) ( ) | | |

Bessel : , CV de somme

, on a équivalence entre : CV vers (Parseval)

k

p

k

k k

k

p k

x E e x x

x E  x x x Vect e x x e





 

    

        



2

1

2 2

) _p( ) _p( ) ) 0, ( ...0 _N) tq , ( , ( ... ))_p pour

iiii x  x  x   x iii  y Vect e e x y  x y d x Vect e e pN

0

, ( ) | | |

( ) , lim |

Avec l'id. de polarisation : , (extension de la dim finie)

Si ,

n n

n

k p

n p

k k

n n

x y Vect e x y e x e y

Vect e E x E x e x e





 

       

     



2 2

2

( )

( ( ), ) ||

( ) ( ) ( )

([0,1], ) |

est complet espace de Hilbert (=préhilbertien complet). Si est séparable (possède une partie den. dense), possède sys ON tq , et

,

n n n

I

n

E E

E e Vect e E E

E f g

 

C  

2

1 2 1

0 0

2 2

[0,1]

1 1

([0,1] , ) : ( ( , ) ( ) )

... ( )

( ( )( ) ( , )

, |

, on pose

Pour vp de attachées à des vect. p. orth, est de dim finie Si est symétrique, pour

n i

n

i

fg K f x K x y f y dy

K E

K E E f x K x f







  

 



  

 

    



  

 

 

C

Bessel, Fubini...)

Complément : Théorème de Riesz

/ /

2

/ /

( , | )

! ( , ) | 0

( ). 1

espace préhilbertien réel. partie convexe complète non vide de

, , , et ,

Notons Alors est lipschitzien

HP E C E

x E y C x y d x C z C x y z y

y p x p

 

            

 

2 2

2

1) ( ), ( , ) ( ) (1 ) ...

0 2 | 2)1 ' | ( ) ( ') ( ) ( ')

: médiane de Cauchy . Unicité : médiane encore.

n n n

y x y d x C y y x y x t y tz

x y y z t y z x x p x p x p x p x CS

         

               

( , | ) sev complet de

F E    F F^ E