Lycée Henri IV MP 2020-21 Programme d’interrogations
Semaine 18 : Lundi 08 mars - Vendredi 12 mars
• Équations différentielles linéairesscalaires d’ordre 1ou 2.
Donc pas encore de systèmes différentiels.
• Espaces préhilbertiens et euclidiens.
• Espaces euclidiens (tout le programme). Bien que cela ne soit pas au programme, on utilisera les notations
Sn+(R) := {A∈Sn(R) ; ΦA: (X, Y)7→tXAY est bilinéaire symétrique et positive}
et
Sn+(R) :={A∈Sn(R) ; ΦAest un produit scalaire}.
Quelques questions pour fêter l’arrivée prochaine du printemps :
– La matrice A :=
2 0 1
0 0 3
1 3 −1
est-elle la matrice d’un produit scalaire dans une certaine base ? Ou tout autre exemple du même acabit ;
– Appliquer Gram-Schmidt sur un exemple pratique (pas plus de deux calculs à faire) ; – Si F est un sev de dimension finie d’un préhilbertien E alors E =F ⊕⊥F⊥;
– Calculer min
(a,b)∈R2
Z π 0
x−asinx−bcosx2
dx ou tout autre exemple du même acabit ;
– Si (en)n∈N est une suite orthonormale d’un préhilbertien E et si x ∈ E alors
+∞
X
k=0
hx, eki2 6 kxk2, avec égalité ssix est dans l’adhérence de Vect{en; n ∈N};
– Montrer qu’un projecteur est orthogonal ssi il est 1-lipschitzien ;
– Tout endomorphisme d’un R-ev de dimension finie laisse stable une droite ou un plan ;
– Décrire les éléments deO2(R)et citer le théorème de réduction des endomorphismes orthogonaux ; – Les valeurs propres complexes d’une matrice symétrique réelle sont réelles ;
– L’ensemble SO2(R) est connexe par arcs mais O2(R) ne l’est pas ;
– L’ensemble O2(R)et l’ensemble des projecteurs orthogonaux sont compacts ; – Si A∈Sn(R) alors A∈Sn+(R) ssi les valeurs propres de A sont positives ou nulles ;
– SiA∈Sn(R)alorstXAXdécrit[min Sp(A),max Sp(A)]quandXdécrit la sphère unité deMn,1(R).
Prévisions pour la semaine 19 :
• Espaces préhilbertiens et euclidiens (révisions).
• Sous réserve :Calcul différentiel (début).
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