PSI* 2019/2020
T.D. 08 — Espaces préhilbertiens et euclidiens
1. c Polynômes orthogonaux - généralités : soient a, b dans R (a < b) et ω une application continue de ]a, b[dans R+, s’annulant en un nombre fini de points et telle que, pour tout polynôme P de R[X], la fonction t→P(t)ω(t)soit intégrable sur]a, b[.
a)Montrer que l’on définit un produit scalaire sur R[X]en posant :
∀(P, Q)∈R[X]2 (P|Q) =
b a
P(t)Q(t)ω(t)dt.
b)Soit (en)n∈N la suite orthormalisée de la suite(Xn)n∈N, par la méthode de Schmidt pour ce produit scalaire. Montrer que, pour toutn≥1,en est scindé, à racines simples, toutes éléments de]a, b[(on pourra poser Q=
p k=1
(X−αk),où les αk sont les racines d’ordre impair de en appartenant à ]a, b[, puis s’intéresser au produit Q×en pour montrer que p=n).
2. c Soit p un projecteur d’un espace préhilbertien E. Montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si :
∀u∈E p(u) ≤ u .
3. c Déterminant de Gram : soit E un espace vectoriel euclidien,n∈N∗, n≤dimE,(u1, . . . , un)∈En etB= (e1, . . . , en) une base orthonormale directe d’un sous-espace orienté deE contenant u1, . . . , un ; on noteAla matrice du système(u1, . . . , un)dans la baseBetG(u1, . . . , un)la matrice((ui|uj))1≤i,j≤n, appelée matrice de Gram du système(u1, . . . , un).
a)Montrer que G(u1, . . . , un) = tAA. En déduire, lorsquen= dimE, la propriété du produit mixte : [u1, . . . , un]2 = detG(u1, . . . , un)
b)Montrer que rgA= rg tAA ; en déduire : rg(u1, . . . , un) = rgG(u1, . . . , un).
c)Soit F un sous-espace strict deE muni d’une base(b1, . . . , bp) etv un vecteur deE. Montrer que la distance ddev à F est donnée par :
d2 = detG(b1, . . . , bp, v) detG(b1, . . . bp) . 4. Soit E un espace vectoriel euclidien etf ∈ L(E) tel que
∀(x, y)∈E2 (x|y) = 0⇒(f(x)|f(y)) = 0.
Montrer qu’il existeα∈R+ tel que : ∀(x, y)∈E2 (f(x)|f(y)) =α(x|y).
(On pourra utiliser une base orthonormale de E.)
5. Déterminer inf
(a,b)∈R2
1 0
x2(lnx−ax−b)2dx.
6. c SoitE un espace vectoriel euclidien et u∈ L(E)tel que : ∀x∈E (u(x)|x) = 0.
a)Montrer que u est antisymétrique, c’est-à-dire que
∀(x, y)∈E2 x|u(y) =− u(x)|y . En déduire que Imu etKeru sont supplémentaires orthogonaux.
b)Montrer que u est de rang pair (on pourra s’intéresser à l’endomorphisme induit par u sur Imu).
7. Soient aun vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidienE etλ∈R; on considère l’endomorphisme fλ deE défini par : ∀u∈E fλ(u) =u+λ(a|u)a.
a)Montrer que fλ est un endomorphisme symétrique de E ; pour quelles valeurs deλ est-il un auto- morphisme ? Un automorphisme orthogonal ?
b)Déterminer les éléments de réduction de fλ.
8. Dans E espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, soit (a, b, c) ∈ E3,Det (a, b, c) désigne le déterminant de la famille(a, b, c) dans une base orthonormée directe (produit mixte).
Montrer que |Det (a, b, c)| ≤ a b c , avec égalité si, et seulement si, l’un des vecteurs est nul ou (a, b, c) est orthogonale.
9. c Expression intrinsèque d’une rotation dans l’espace : soitE une espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3,a un vecteur unitaire de E,θ réel etr la rotation d’axe orienté par ad’angle θ. Montrer que :
∀u∈E r(u) =p(u) + cosθ.q(u) + sinθ.a∧u
où p est la projection orthogonale sur l’axe D= Vect (a) et q = IdE−p (on pourra commencer par le cas où u est orthogonal à l’axe).
Montrer comment cette relation permet d’obtenir directement la matrice der dans une base orthonor- male directe donnée.
Expliquer comment déterminer l’axe et l’angle d’une rotation donnée par sa matrice dans une base orthonormale directe (on pourra séparer parties symétrique et antisymétrique).
10. Déterminer la matrice dans la base canonique de R3 de la rotation d’angle2π/3 d’axe dirigé et orienté par le vecteur(1,−1,1).
11. Caractériser géométriquement les endomorphismes de R3 dont les matrices suivent :
A= 1 6
1 2 −1
2 4 −2
−1 −2 1
; B= 1 9
8 −1 −4
−1 8 −4
−4 −4 −7
; C= 1 3
2 1 2
2 −2 −1 1 2 −2
12. a)Soient f etgdeux endomorphismes symétriques et positifs d’un espace vectoriel euclidienE tels que g2 =f ; soit{λ1, . . . , λp} le spectre def. Montrer que les valeurs propres de gsont les √
λk,k∈Np et que : ∀k∈Np Ker g−√
λk.IdE = Ker (f −λk.IdE).
b) c Racine carrée d’un endomorphisme symétrique et positif : en déduire que, pour tout endomor- phisme symétrique et positif f deE, il existe un unique endomorphisme symétrique et positifg tel que g2 =f.
c) c Décomposition polaire : soit A ∈ GLn(R). Montrer qu’il existe une unique matrice symétrique définie positive S telle queS2 =AtA.
En déduire qu’il existe un unique couple(Ω, S)oùΩest orthogonale etS symétrique définie positive tel que A=SΩ.
