ESPACES EUCLIDIENS

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ESPACES EUCLIDIENS

1) PRODUIT SCALAIRE.

A) Généralités.

Les précédentes leçons d’Algèbre Linéaire nous ont déjà habitué à une certaine généralisation de la Géométrie. Il y a en effet été question de droites et plans, de projections et symétries, dans des espaces non conventionnels où les vecteurs pouvaient être des objets aussi divers que des polynômes, des matrices, des suites finies ou infinies.

Nous nous proposons d’étendre dans ces espaces les notions métriques usuelles de distance, d’orthogonalité, d’angle, souvent résumées sous l’appellation de ‘propriétés Euclidiennes’.

Le chemin le plus facile consiste à partir du produit scalaire des vecteurs de la géométrie plane,

( )

u,v ur.vr ur vr cos(ur,vr)

r a

r = , de passer au second plan sa définition chargée d’un lourd héritage physique, et de ne retenir que les propriétés algébriques fondamentales de cette correspondance. Le produit scalaire que nous connaissons s’est en effet avéré un outil

remarquable à cause de la simplicité de ses règles de calcul. Examinons les attentivement.

_ Il est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables vectorielles, l’autre étant considérée constante, figée.

_ Il est symétrique, le résultat ne dépendant pas de l’ordre des 2 vecteurs.

_ Enfin le produit scalaire d’un vecteur ur par lui même est toujours positif et ne s’annule que si est le vecteur nul. ur

Nous poserons alors naturellement les définitions suivantes :

On appelle produit scalaire sur un R espace vectoriel quelconque E, toute application ϕ de E×E vers R satisfaisant aux 3 propriétés suivantes :

_ ϕ est bilinéaire, c’est à dire linéaire par rapport à chacune de ses deux variables.

ϕ(αu+v, w)=αϕ(u, w)+ϕ(v, w) et ϕ(u, αv+w)=αϕ(u, v)+ϕ(u, w) _ ϕ est symétrique (sa valeur est inchangée si on permute les deux variables).

ϕ(v, u)=ϕ(v, u) .

_ ϕ est strictement positive. ϕ(u, u) ≥ 0 et ϕ(u, u)=0 ⇔ u=0E .

La norme d’un vecteur u pour ce produit scalaire sera définie comme étant : u = ϕ(u,u) Les deux vecteurs u et v seront dits orthogonaux si ϕ(u, v)=0. Notation : u ⊥v

Un vecteur de norme 1 sera dit normé ou unitaire.

(On dit aussi ϕ est ‘définie positive’ en place de ‘ϕ strictement positive’).

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Dans cette démarche inversée des questions surviennent naturellement.

_ La norme ainsi définie a t- elle bien les propriétés usuelles que l’on attend de la longueur d’un vecteur ? Par exemple a t- on encore l’inégalité du triangle : u+v ≤ u + v ? _ De même, pour cette nouvelle notion purement algébrique d’orthogonalité, pourra t- on encore utiliser les réflexes liés à la vision classique d’un angle droit ?

_ Est il possible de poursuivre le raisonnement en définissant le cosinus d’un angle de deux vecteurs non nuls (u, v) en posant

v u

v v u

u ×

= ϕ( , ) )

,

cos( ? Rien ne nous permet d’affirmer pour l’instant que le quotient précédent est bien élément de [-1, 1] !

Le déroulement de la théorie va nous donner des réponses claires et le plus souvent positives à ces interrogations. Ici encore la démarche structurelle va s’avérer extrêmement puissante et permettre une généralisation fertile en résultats .

Après un certain étonnement on verra qu’il devient naturel de mesurer des polynômes, d’évaluer l’angle de deux matrices, de vérifier l’orthogonalité de deux suites.

La seule différence réside dans le changement d’outils de mesure. La règle graduée où le rapporteur cèdent le pas devant une toise abstraite aux propriétés purement algébrique, la forme ϕ choisie sur l’espace E.

Mais avant de poursuivre la théorie donnant des exemples de produits scalaires.

_ Sur E=Rⁿ, si u=(x₁,…,x_n) et v=(y₁, …., y_n) , ϕ(u, v)=x₁.y₁+….+x_n.y_n _ Sur le R espace E des fonctions continues sur l’intervalle [a, b], ϕ(f, g)=

∫

_ Sur le R espace E des fonctions continues sur R, de période 2π, ϕ(f,g)=

b

a f(t)g(t)dt

∫

^π

π

2

0

) ( ) 2 (

1 f t g t dt

Les vérifications des caractéristiques sont évidentes.

B) Premières conséquences des définitions.

Commençons par alléger les notations. Au lieu de l’écriture ϕ(u, v) on pourra représenter le produit scalaire sous la forme simplifiée u.v ou également 〈u,v〉.

De même le produit scalaire d’un vecteur par lui même pourra être noté u² (carré scalaire).

Ainsi : ϕ(u, u)= u ² =u.u =u²

Donnons aussi un conseil pratique : Dans l’examen des attributs d’un produit scalaire

potentiel, il vaut mieux vérifier en premier la symétrie de ϕ. En effet, sous cette condition, la linéarité par rapport à la première variable entraînera aussitôt la linéarité par rapport à la deuxième. On y gagnera donc en écriture.

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Identités remarquables.

Pour tout couple (u, v) de vecteurs de E on établit les relations fondamentales suivantes :

v u v u v

u ) ² ² 2 .

( + ² = + + (u−v)² =u²+v²−2u.v (u+v).(u−v)=u²−v² ( )

4

.v 1 u v ² u v²

u = + − − (Identité de polarisation)

u+v² + u−v ² =2(u ² + v ²) (Identité de la médiane)

On notera aussi que : ∀α ∈R et ∀u∈E αu = α u

Les trois premiéres égalités sont des simples conséquences de la bilinéarité et de la symétrie.

Ainsi : (u+v)²=(u+v).(u+v)=u.(u+v)+v.(u+v)=u.u+u.v+v.u+v.v=u²+2u.v+v² (u-v)²=(u+(-v))²=u²+(-v)²+2u.(-v)=u²+v²-2u.v

(u+v).(u-v)=u.u-u.v+v.u-v.v=u²-v²

Les deux identités suivantes s’obtiennent simplement en effectuant respectivement les différence et somme des deux premières relations.

L’égalité αu = α u est évidente : (αu)² = α²u² = α² u² = α u Conséquences ‘géométriques’.

_ Notons la généralisation du théorème de Pythagore :

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si le carré de la norme de leur somme est égal à la somme du carré des normes de chacun.

En effet la première égalité donne l’équivalence : u+v² = u ²+ v ² ⇔u.v=0⇔u⊥v _ Deux vecteurs sont de même norme si et seulement si leur somme est orthogonale à leur différence.

Cela vient simplement de (u+v).(u-v)= u ²− v ²

_ Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur somme et leur différence ont même norme.

C’est une conséquence directe de l’identité de polarisation.

C) Inégalité de Cauchy- Schwartz.

Jusqu’à présent nous n’avons pas mis à profit la positivité du produit scalaire. En liaison avec

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les autres propriétés elle a pour conséquence une inégalité fondamentale, dite de Cauchy- Schwartz , généralisant une majoration bien connue en géométrie classique.

Théorème : La valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs est toujours inférieure ou égale au produit des normes de ces vecteurs. u.v ≤ u × v

Démonstration.

La relation étant évidente si l’un des vecteurs est nul, nous supposerons donc dans ce qui suit les deux vecteurs distincts de 0_E.

Pour tout réel x , le réel f(x)=(x.u+v)² est positif ou nul.

En développant ce carré scalaire, on en déduit que ∀x∈R : f(x)=(u²)x²+2(u.v)x +v² ≥ 0.

Ce trinôme à coefficients réels étant de signe constant sur R entier, on en déduit qu’il admet au plus une racine dans R et donc que son discriminant est négatif ou nul.

On obtient donc l’inégalité (u.v)² ≤ (u)²(v)² dont on tire u.v ≤ u × v

Remarque : Si u.v = u × v , le trinôme f(x) admet alors la racine double ₀ ( .₂) u

v x =− u On a donc l’égalité (x₀.u-v)²=0 , dont on tire v=x₀.u.

Réciproquement, si v est multiple de u, on vérifie immédiatement que u.v = u × v

L’inégalité de Cauchy Schwartz est donc stricte si et seulement si (u, v) est un système libre.

Premières conséquences.

_ En réponse à une interrogation précédente, on peut définir maintenant l’écart angulaire d’un couple (u, v) de vecteurs non nuls de E comme l’élément θ de [0, π] tel que

v u

= ×

θ .

)

cos( .

Avec cette convention , on retrouve l’expression familière :u.v= u × v ×cos(θ) Notons également, toujours sous réserve qu’aucun des 2 vecteurs ne s’annule, les équivalences suivantes :

u ⊥v ⇔ θ=

2

π (angle droit) ; u.v >0 ⇔ 0 ≤ θ <

2

π (θ aigu); u.v <0 ⇔ 2

π < θ≤ π (θ obtus)

_ Inégalité de Minkowski.

Partons de l’identité remarquable u+v² = u ²+ v ²+2u.v

Tout réel étant inférieur ou égal à sa valeur absolue, et vu l’inégalité de Cauchy précédente, on en déduit : u+v² ≤ u ² + v ²+2u v =(u + v)². Apparaît alors la relation dite de Minkowski, ou plus simplement l’inégalité triangulaire : u+v ≤ u + v

Remarquons que cette inégalité ne peut être une égalité que si le produit scalaire u.v est positif et si la relation de Cauchy est elle même une égalité.

Il est donc nécessaire et en fait suffisant qu’un des deux vecteurs soit multiple de l’autre avec

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un coefficient de proportionnalité positif.

Cette relation de Minkowski généralise la propriété bien connu du triangle en géométrie plane, toute mesure d’un côté est inférieure ou égale à la somme des mesures des autres côtés.

Notons que de u=v+(u-v) et de v=u+(v-u) on déduit les deux majorations suivantes : :

en nt synthétise se

qui et

v u v u

v u v

u ≤ + − ≤ + − v − u ≤ v−u

_ Distance de deux vecteurs induite par la norme.

Par analogie avec la géométrie classique, on définira la distance de deux vecteurs de E comme la norme de leur différence. Notation : d(u,v)= u−v

On vérifie immédiatement grâce à tout ce qui précède, les propriétés suivantes : d(u, v)=0 ⇔ u=v (séparation)

d(u, v)=d(v, u) (symétrie)

d(u, w) ≤ d(u, v)+d(v, w) (inégalité triangulaire) d(u+a, v+a)=d(u, v) (invariance par translation) d(αu, αv)=α d(u, v) (propriété de dilatation)

2) ESPACES EUCLIDIENS.

On appelle ainsi tout R espace vectoriel E de dimension finie et muni d’un produit scalaire.

La conjonction des propriétés métriques apportées par ce produit scalaire et de l’existence de bases finies en font les espaces les plus proches des cadres géométriques familiers. D’où le nom de structure Euclidienne, en hommage à l’un des plus célèbres pères de cette discipline.

Grâce à l’intervention des bases, on peut s’attendre à une pratique analytique du produit scalaire, similaire à celle employée pour les vecteurs de la géométrie plane ou de l’espace à 3 dimensions. On va voir que les matrices jouent également un rôle de synthèse fondamental, ce sera le premier point d’étude de ce paragraphe.

A) Notation matricielle du produit scalaire.

1) Matrices de Gram.

Soit B =(e1,…..,en) une base quelconque de l’espace Euclidien E.

On appelle matrice de Gram de la base B relativement au produit scalaire ϕ sur E, la matrice carrée d’ordre n notée ici A=Gram(B ), dont le coefficient générique est

Il s’agît donc tout simplement d’un tableau synthétisant les produits scalaires deux à deux des vecteurs de la base en question.

Considérons alors deux vecteurs quelconques u et v de E écrits dans cette base B et analysons leur produit scalaire. Si u=x

) ,

) (

,

(i j ei ej

a =ϕ

1e1+….+xnen et v=y1e1+….+ynen , on en déduit, vu la bilinéarité et la symétrie de la forme ϕ :

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∑ ∑ ∑ ∑

∑

⁼

=

= ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ϕ

= ϕ

=

ϕ ⁱ ⁿ

i

n i

i

n j

j

j j i i n

j

j i j i i

n i

i i n

i

i i

ie v x e v x y e e x a y

x v

u

1 1

) , ( 1

1 1

) , ( )

, ( )

, ( ) , (

1

Notons alors X et Y les matrices colonnes des composantes respectives de u et v dans B . Pour tout i de {1,…,n}, la somme si= représente l’élément de la ligne d’indice i du produit matriciel A.(Y). Le produit scalaire de u par v s’interprète alors à la lumière de la décomposition précédente, comme l’unique coefficient de la matrice scalaire

∑

⁼

= n j

j

j j

i y

a

1 ) , (

t(X).A.(Y) En utilisant la convention d’écriture usuelle (α)=α pour ces matrices réduites à un élément et en faisant jouer la symétrie, on obtient donc l’expression matricielle du produit scalaire : ϕ(u,v)=u.v=^tY.A.X=^tX.A.Y

2) Bases orthonormées.

On dira qu’une base B de E est orthonormée pour un produit scalaire ϕ, si et seulement si elle est formée de vecteurs unitaires (de norme 1) orthogonaux deux à deux. Cela revient à dire que la matrice de Gram de cette base pour ϕ est la matrice unité d’ordre n, soit In.

Dans une telle base, les expressions matricielles et analytique du produit scalaire se résument alors aux expressions simplifiées :

∑

⁼

=

= ⁱ ⁿ

i i i y x Y

X v u

1

t . .

.

∑

⁼

=

= ⁱ ⁿ

i i

tX X x

u

1 2 2

) ( .

3) Matrices orthogonales.

Commençons par remarquer que si deux matrices carrées A et B d’ordre n sont telles que

tX.AY=^tY.B.X pour tout couple (X,Y) de matrices colonnes d’ordre n, alors on a toujours A=B.

En effet si on remplace dans l’égalité supposée (X, Y) par le couple des colonnes représentant dans une base B les vecteurs d’indices respectifs i et j de cette même base, on en déduit la relation a_{(i, j)}=b_{(i, j)} exprimant la fusion des coefficients génériques respectifs des deux matrices.

Considérons alors une base orthonormée B de E et une base quelconque B’ de ce même espace. On notera P la matrice de passage de B à B’.

Avec les notations du paragraphe précédent, le produit scalaire de u et v représentés dans B orthonormée par les colonnes respectives X et Y s’écrira : u.v=^tX.Y

Or les colonnes X’ et Y’ des composantes de u et v dans la nouvelle base B’ sont reliées aux colonnes précédentes par les égalités : X=PX’ et Y=P.Y’.

On en déduit l’expression du produit scalaire dans la nouvelle base: u.v=^tX’.^tP.P.Y’

Vu la remarque en tête de paragraphe, on aura donc u.v=^tX’.Y’ pour tout couple (X’,Y’) de vecteurs colonnes si et seulement si ^tP.P=In

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On vient donc d’établir le résultat fondamental suivant :

Une base B’ de l’espace Euclidien E est orthonormée si et seulement si la matrice de passage P d’une base orthonormée donnée B à B’ satisfait à l’égalité ^tP.P=In , autrement dit si cette matrice de passage admet sa propre transposée pour inverse.

On peut retrouver ce résultat directement en remarquant que l’élément p_(i,j) générique du produit ^tP.P n’est autre que le produit scalaire ei’.ej’ des deux vecteurs d’indice respectifs i et j de la nouvelle base B’.

Pour faciliter la rédaction, on baptisera matrice orthogonale, toute matrice carrée inversible et admettant sa propre transposée pour inverse.

On notera On(R) l’ensemble des matrices carrées orthogonales d’ordre n.

Ainsi on obtient l'équivalence des écritures : P ∈ On(R) ⇔ ^tP.P=In

Le problème de la construction de bases orthonormées quelconques à partir d’une base orthonormée initiale est donc résolu. Subsiste le problème de l’existence de telles bases et de la construction effective d’une base première. Les réponses vont apparaître progressivement dans la suite du cours.

B) Orthogonal d’un sous espace.

D’après la bilinéarité du produit scalaire, il est clair que si un vecteur x de E est orthogonal aux deux vecteurs u et v, il sera orthogonal à toute combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

On aura en effet : ϕ(x, αu+βv)=αϕ(x, u)+βϕ(x, v)=α.0+β.0=0

On en déduit que l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d’une partie non vide S de E pour un produit scalaire donné ϕ est un sous-espace de E que l’on appellera orthogonal de la partie S et qui sera notée S⊥

ou S ⁰.

Remarquons que ce résultat est vrai que E soit ou non de dimension finie.

Dans le cas où E est de dimension finie, nous allons montrer que pour tout sous-espace F de E, l’orthogonal de F est un supplémentaire de F dans E, que nous appellerons naturellement supplémentaire orthogonal de F.

Théorème. Pour tout sous espace F d’un espace Euclidien E, on a la décomposition : E= F⊕F⊥ et la relation (F⊥)⊥=F

Démonstration :

_ Commençons par vérifier que la somme de F avec son orthogonal est bien directe.

Si u est un vecteur commun à F et F⊥, il doit être orthogonal à tout vecteur de F, donc en particulier à lui même. Il est donc nécessairement nul. Ainsi : F∩F⊥={0_E}

_ Soit B =(u₁,…,u_p) une base du sous espace de dimension finie F. (E est supposé Euclidien donc de dimension finie). Il est clair d’après la bilinéarité du produit scalaire qu’un vecteur x de E est orthogonal à tout vecteur de F si et seulement si il est orthogonal à chacun des p vecteurs de la base B .

On peut donc écrire que F⊥est l’intersection des p noyaux H

k des formes linéaires lk définies

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par les formules x al_k(x)=u_k.x , k décrivant {1,…, p}.

Montrons que ces p formes linéaires forment un système libre.

Soit un jeu de coefficients (α1,…, αp) tel que α1l1+….+αplp=0 On aura donc pour tout vecteur x de E : α1u₁.x+……+αp u_p.x=0

On en déduit que α₁u₁+….+α_p.u_p est orthogonal à tout vecteur de E, donc est égal au vecteur nul. Le système B étant libre (base de F), on en déduit que chacun des coefficients αk est nul.

Le Chapitre sur les formes linéaires nous a donné une formule pratique pour chiffrer la dimension d’une intersection d’Hyperplans :

dim(H1∩…...∩Hp)=dim(E)-r, avec r =rang(l1,…,lp) On obtient donc ici : dim(F )=dim(E)-p.

On en déduit dim(F⊕F

⊥

⊥)=dim(F)+dim(F⊥)=p+dim(E)-p=dim(E)

Ainsi le sous espace F⊕F a même dimension que l’espace total E et coincide bien avec celui-ci.

Remarquons maintenant que par définition même d’un orthogonal, ∀ x ∈F et ∀ y ∈F x.y=0 On en déduit que tout x de F est orthogonal à tout y de F

⊥

⊥, d’où l’inclusion F ⊂ (F⊥)⊥. Or d’après l’étude précédente : dim((F⊥)⊥)=dim(E)-dim(F⊥)=dim(F)

De l'inclusion précédente et de la coïncidence des dimensions il vient donc F=(F⊥)⊥. Corollaire : Dans tout espace Euclidien non réduit à {0E} il existe des bases orthonormées . Procédons par récurrence sur la dimension n de l’espace E.

_ Si n=1, tout système B ={u1} avec u1 vecteur de E de norme 1 répond à la question. Il s’agît en fait d’une base ‘normée’, l’orthogonalité de 2 vecteurs distincts de B ne se posant pas ici.

_ Supposons l’existence de bases orthonormées assurée au sein de tout espace Euclidien de dimension n et examinons le cas d’un espace E de dimension n+1.

Soit u1 un vecteur de norme 1 de E et H l’orthogonal de la droite engendrée par u1.

Le théorème précédent nous dit que E=VecR(u1)⊕H . Or H acquiert une structure Euclidienne si on le considère muni de la restriction du produit scalaire défini sur E.

L’hypothèse de récurrence nous assure alors l’existence d’une base orthonormée (u₂,…,u_n+1} pour cet espace Euclidien de dimension n.

Il est alors clair que le système B =(u₁, u₂,….., u_n+1) est une base orthonormée de E.

C) Théorème de la projection orthogonale.

E désigne ici un R espace vectoriel muni d’un produit scalaire et F un sous-espace vectoriel de

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E de dimension finie p .

F est donc Euclidien pour le produit scalaire induit par celui défini sur E.

Il possède donc des bases orthonormées et on notera B =(u1,….., up) une telle base.

Ceci posé nous allons établir le théorème suivant dit théorème de la projection orthogonale : Théorème.

_ a) E est somme directe de F avec F⊥. _ b) (F⊥ ⊥) =F

_ c) Le projeté d’un vecteur quelconque x de E sur F parallèlement à l’orthogonal de F est obtenu par la formule p(x)=(x.u₁)u₁+……+(x.u_p)u_p

_ d) Ce projeté orthogonal est le vecteur de F le plus proche de x pour la distance induite par le produit scalaire en question et la distance minimale d de x à F sera donnée par la formule :

∑

⁼

=

−

= ^k ^p

k

uk

x x

d

1

2 ( . )²

²

Démonstration.

a) On a montré précédemment l’égalité E=F⊕F⊥ dans le cas où E était de dimension finie.

Plus généralement, et quelle que soit l’hypothèse sur la dimension de E, cherchons à décomposer un vecteur quelconque x de E sous la forme x=y+(x-y), avec y=α₁u₁+….+α_pu_p choisi dans F tel que x-y soit orthogonal à F.

On sait que cela revient à réaliser (x-y).u_k =0 pour chaque k de {1,…, p}, ou encore y.u_k=x.u_k La base B étant orthonormée, le produit scalaire de y par u_k se résume alors à α_k

On obtient donc bien un et un seul y possible, défini par y=(x.u1)u1+….+(x.up)up Ceci justifie à la fois E=F⊕F et l’expression du projeté orthogonal p(x)=y de x sur F mentionnée dans le point c).

b) Remarquons que l’inclusion F ⊂ (F

⊥

⊥)⊥ a été établi plus haut sans aucune hypothèse sur la dimension. Etudions directement l’inclusion réciproque.

Soit x est un vecteur quelconque de (F⊥)⊥. On pourra le décomposer d’après l’étude ci- dessus en x=y+z avec y ∈F et z ∈F⊥. On en déduit que z=x-y appartient à (F ) , en tant que différence de deux vecteurs de ce sous-espace. Ainsi z ∈F

⊥ ⊥

⊥ ∩(F⊥)⊥={0E} et x=y ∈F d) Pour régler la question du minimum de distance, commençons par noter que pour tout vecteur u de F on peut écrire : x-u=x-p(x) +p(x)-u

Or x-p(x) étant élément de F est orthogonal au vecteur p(x)-u de F. On obtient donc, d’après le théorème de Pythagore, l'égalité :

⊥

2 2

2 x p(x) p(x) u

u

x− = − + − .

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On en déduit : ∀ u ∈F x−u ≥ x− p(x) )

(x p x

d = − apparaît donc comme la distance minimale de x aux vecteurs de F.

On emploiera souvent la notation ^d⁽^x^,^F⁾⁼^d ⁼ ^x⁻ ^p⁽^x⁾ ⁼^inf

{

^x⁻^u ^;^u^∈^F

}

De x=p(x)+x-p(x) on déduit alors par Pythagore : x² = p(x) ²+ x− p(x) ² De la décomposition de p(x) dans la base orthonormée B , on tire :

∑

⁼

=

=^k ^p

k

uk

x x

p

1

2 ( . )²

) (

Par suite il vient l’expression du carré de la distance de x à F :

∑

⁼

=

−

= ^k ^p

k

uk

x x

d

1

2 ( . )²

²

On verra dans l’exercice 20 de ce chapitre, une utilisation intéressante des matrices de Gram pour évaluer différemment la distance d précédente, par intervention des déterminants.

Projection orthogonale sur une droite vectorielle.

Dans le cas particulier où le sous espace F est une droite vectorielle engendrée par un vecteur de norme 1 noté n, les résultats se simplifient notablement. Ainsi :

_ L'expression du projeté orthogonal d'un vecteur x quelconque se résume à p(x)=(x.n).n _ Si N désigne la colonne des composantes de ce vecteur n dans une base orthonormée B de l'espace total E, on en déduit facilement que la matrice représentative de p dans cette même base n'est autre que le produit A=N ×^tN

En effet, si X est la colonne des composantes de x quelconque dans B , la colonne Y définissant le projeté p(x) dans B est donnée par l'égalité Y=α.N , avec α=x.n

Vu l'interprétation matricielle du produit scalaire, α est le seul coefficient de la matrice produit ^tN ×X . On peut donc écrire Y=N ×(^tN ×X)=(N ×^tN)×X .

On en déduit l'expression de la matrice représentant p dans B , soit : A=N ×^tN.

_ La distance d de x à la droite engendrée par n est donnée par d= x ×sin(θ), θ désignant l'écart angulaire entre n et x.

Le théorème de Pythagore s'écrit en effet ici : x² =(x.n)²+d²= x²cos²(θ)+d² Construction pratique de bases orthonormées.

Nous terminerons la leçon par une application du théorème de projection orthogonale à la construction de bases orthonormées suivant le procédé d’orthogonalisation de Schmidt.

Principe :

Soit B =(e1, ……, en) une base quelconque d’un espace Euclidien E.

On se propose de transformer par étapes élémentaires successsives le système B en une base orthonormée B’= (u1,…., un) de E.

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Première étape. On choisit simplement

1 1

1 e

u = e

Deuxième étape.

On considère le projeté orthogonal de e₂ sur la droite VecR(u₁), soit p(e₂)=(e₂.u₁)u₁ , puis la différence u’2=e2-p(e2) orthogonale à e2 et non nulle car e2 n’appartient pas à la droite dirigée par e1.

Il suffit alors de normer u’₂ en considérant

2 2

2 '

' u u = u

A ce stade (u1, u2) constitue une base orthonormée de l’espace engendré par (e1 , e2) Itération des étapes.

Supposons après p étapes avoir construit une base orthonormée (u₁,…., u_p) du sous-espace F engendré par le système (e1,…, ep)

_ On considère le projeté orthogonal de ep+1 sur F, soit :

∑

⁼

= + =^k ^p

k

k k k

p e u u

e p

1

1) ( . )

(

_ On pose u’p+1=ep+1-p(ep+1) , vecteur orthogonal à F et non nul car ep+1 n’appartient pas à F _ On définit enfin

1 1

1 '

'

+ + + =

p p

p u

u u , la norme d de u’_p+1 pouvant s’évaluer grâce à Pythagore

par : d²= ( . )²

1 1 2

1

∑

⁼

= +

+ −^k ^p

k

k p

p e u

e

A ce dernier stade, (u1, …, up , up+1) constitue une base orthonormée de VecR(e1, …, ep , ep+1) Après n étapes réalisées conformément au processus d’itération précédent, on obtiendra effectivement une base orthonormée de l’espace Euclidien E.

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Exercices sur les Espaces Euclidiens.

1. E désigne ici le R espace usuel des couples de réels. On considère l’application ϕ de E×E vers R qui à tout couple (u, v) tel que u=(x, y) et v=(x’, y’) associe le réel défini par : ϕ(u,v)=xx’+5yy’+2(xy’+x’y).

Montrez que ϕ est un produit scalaire et déterminer une base orthonormée pour ce produit.

2. On note E le R espace classique des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2 et ϕ

l’application de E×E vers R défini par

Montrer que ϕ est un produit scalaire et construire une base orthonormée de E pour ce produit.

) 0 ( ) 0 ( )

( ) ( )

, ( ) , (

1

Q P dx x Q x P Q P Q

P ϕ =

∫

′ ′ +

−

a

3. Soit B=(e1, e2, e3) une base d’un R espace vectoriel E.

a) Montrer que l’on peut définir un produit scalaire sur E (noté (u, v) au.v ) satisfaisant aux contraintes suivantes :

3 .

2 . 1 .

6 . 2 . 1

.₁ ₂ ₂ ₃ ₃ ₁ ₂ ₁ ₃ ₂ ₃

1e = e e = e e = e e =− e e = e e =−

e .

b) Déterminer ensuite une base orthonormée de E pour ce produit scalaire.

4. Soit B=(u, v, w) une base du R espace E. Peut on définir un produit scalaire sur E pour lequel on aura u+v⊥w ; v+w⊥u ; w+u⊥v ; et u+v = v+w = w+u =1 ?

5. Soit B une base orthonormée d’un espace Euclidien E de dimension 3 . On note f l’endomorphisme de E représenté dans B par la matrice A=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

2 1 1

1 2 1

1 1 2 3 1

Montrer que f est une projection orthogonale puis préciser son support et sa direction.

6. Soit E un espace Euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonormé B . On note P le plan de E d’équation x+ay+bz=0 dans la base B .

Déterminer la matrice dans B de la projection orthogonale p sur ce plan P et de la symétrie orthogonale s par rapport à P.

7. Soit B =(e₁, e₂, e₃) une base orthonormée d’un espace Euclidien E.

On considère les vecteurs a=αe₁+e₂-2e₃ et b=e₁-e₂+e₃.

Déterminer α de façon qu’il existe une projection orthogonale p sur un plan de E telle que p(a)=b , puis écrire la matrice de p dans la base B .

8. E désigne un espace Euclidien quelconque et p une projection de E.

a) Montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si pour tout couple (x, y) de vecteurs de E on a l’égalité des produits scalaires p(x).y et x.p(y).

b) En déduire que si p et q sont deux projections orthogonales, p q=0 ⇔ q_o _op=0

(13)

9. E est un espace Euclidien de dimension 4 et B une base orthonormée de E.

On note F et G les sous espaces de E définies par les équations respectives dans B : x+y+z+t=0 et x-y+z-t=0. Déterminer la matrice dans B de la projection orthogonale p sur le sous-espace P=F∩G.

10. Soit E un espace Euclidien quelconque, a et b deux vecteurs de E avec a ≠0E

Déterminer le minimum de ta+b lorsque la variable t décrit R entier.

a) En utilisant le théorème de la projection orthogonale.

b) En étudiant les variations de t a ^ta⁺^b

11. Déterminer le minimum de l’intégrale lorsque le couple (x, y) décrit R×R. On pourra utiliser le R espace Euclidien des fonctions continues sur [0, π]

muni du produit scalaire : (f, g)a

∫

0^π

(

⁺ ⁻

) 2

cos(

)

sin(t y t t dt

x

)

∫

0^πf(t)g(t)dt

12. Soit E un espace Euclidien quelconque, n un vecteur de E de norme 1 et H l’orthogonal de la droite engendrée par n. On note enfin p la projection orthogonale sur H.

Si u et v désignent deux vecteurs de E orthogonaux entre eux, les images p(u) et p(v) sont elles aussi orthogonales entre elles ? Préciser leur angle lorsque la réponse est négative.

13. Soit E un espace Euclidien quelconque. On note E* l’ensemble E privé du vecteur nul 0E. On considère l’application j de E* vers E* défini par : x aj(x)= ₂

x x

a) Montrer que j est bijective et expliciter la réciproque j^–1. b) Montrer que pour tout couple (x, y) :

y x

x x y

j y

j( ) ( ) −.

=

−

c) Soit a un vecteur donné de E et r un réel positif non nul. Etudier l’image par j de l’ensemble des vecteurs de E* situés à la distance r de a , c’est à dire tels que x−a =r 14. Soit E un espace Euclidien de dimension n.≥2

Montrer qu’il existe une base B =(u1,…., un) de E dont tous les vecteurs sont de norme 1 et telle que u_i −u_j =1 pour tout couple (i, j) tel que i ≠j.

Indications : On remarquera que u_i −u_j =1⇔ 2 ui.uj=1 et on effectuera une récurrence sur la dimension n. Pour établir l’hérédité on pourra chercher u_n+1 du type

un+1=λ1u1+…+λnun+αw , w étant choisi dans l’orthogonal de VecR(u1,…, un)

15. Soit E un espace Euclidien de dimension n et S=(u1,…, u_p) un système de p vecteurs de E tels que les produits scalaires de deux vecteurs distincts quelconques soient toujours strictement négatifs. Montrer que nécessairement p ≤ n+1.

Indications : On pourra procéder par récurrence sur n. et utiliser la projection orthogonale sur l’orthogonal de VecR(up) pour établir l’hérédité.

16. Soit P un plan Euclidien. On considère p et q deux projections orthogonales sur des droites distinctes de P.

(14)

A tout couple (x, y) de vecteurs de P on fait correspondre ϕ(x, y)=x.[p(y)+q(y)]

Montrer que l’on définit ainsi un nouveau produit scalaire sur P.

17. On note E le R espace classique des polynômes à coefficients réels de degré au plus n.

A tout couple (P, Q) de vecteurs de E on associe ϕ(P, Q)=

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E et déterminer une base orthonormée pour celui-ci.

∑

⁼

= n k

k

k a Q a

P

0

) ( )

( ( ) ( )

18. On note E le R espace usuel des fonctions à valeurs réelles continues sur [0, 1].

a) Montrer que la correspondance (f, g) a ϕ(f, g)= définit un produit scalaire sur E.

b) En déduire la valeur minimum de lorsque (a, b) décrit R×R.

∫

0¹x²f(x)g(x)dx

∫

0¹x²(e^x⁻ax⁻b)²dx

19. Soit E un espace Euclidien de dimension n , B une base orthonormée de E et A une matrice carrée inversible d’ordre n. On désigne par u l’endomorphisme de E représenté dans B par la matrice B=^tA.A. et par ϕ l’application de E×E vers R définie par la formule (x , y) a ϕ(x, y)=u(x).y.

Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.

20. E désigne un espace Euclidien. A tout système S=(u1,….,up) de vecteurs de E on associe la matrice carrée d’ordre p (dite de Gram ) dont le terme générique est (i, j) a u_i.u_{j .}On la notera Gram(S), c’est le tableau des produits scalaires deux à deux des vecteurs de S.

On désignera par G(S) le déterminant de cette matrice.

1) Montrer que S est lié ⇔ G(S)=0.

2) Montrer que rang(S)=rang( Gram(S))

3) Montrer que G(S) est inchangé si on ajoute à un des vecteurs de S une combinaison linéaire des autres vecteurs de ce système.

4) On suppose que S est libre et on note F le sous espace engendré par S.

Montrer que pour tout x de E, la distance d(x,F) de x au sous espace F est déterminée par la formule :

[ ]

) ,...

(

) , ,...., ) (

F , (

1 2 1

p p

u u G

x u u x G

d =

(15)

Solutions des exercices sur les espaces Euclidiens.

1. La symétrie de ϕ ainsi que la bilinéarité se vérifient de manière évidente.

Pour la positivité, remarquons que si u=(x, y) , on aura ϕ(u, u)=x²+5y²+4xy=(x+2y)²+y² Ainsi ϕ(u, u) est bien toujours un réel positif et ne s’annule que si x+2y et y sont simultanément nuls, c’est à dire si u=(x, y)=(0, 0)=0_E.

ϕ est donc bien un produit scalaire sur E.

Notons alors e1=(1, 0) et e2=(0, 1) les vecteurs de la base canonique de R×R.

En utilisant la notation simplifiée ϕ(u, v)=u.v on obtient par définition de cette forme les valeurs : e₁.e₁=1 ; e₁.e₂=2 ; e₂.e₂=5.

On peut donc choisir u1=e1 comme premier vecteur d’une base orthonormée de E.

On construit ensuite suivant le procédé classique d’orthogonalisation le projeté orthogonal de e₂ sur la droite dirigée par e₁, soit p(e₂)=(e₂.e₁)e₁=2e₁.

On en déduit le vecteur w=e2-2e1 orthogonal à e1 et qu’il suffit de normer pour achever la construction.

Or d’après Pythagore : e₂ ² =4e₁ ²+ w². On en tire w ² =5−4=1.

On prendra donc simplement u₂=w. La base (e₁, e₂-2e₁) est orthonormée pour ϕ.

2. La symétrie de ϕ est évidente. Montrons la linéarité par rapport à la première variable.

Elle s’obtient en faisant jouer successivement la linéarité de la dérivation, la distributivité du produit par rapport à la somme, la linéarité de l’intégrale sur un segment, et les propriétés classiques de l’Anneau des réels.

ϕ(αP1+P2, Q)=

= =αϕ(P

) 0 ( ) 0 )(

( ) ( ) )(

( ₁ ₂

1

2

1 P x Q x dx P P Q

P′+ ′ ′ + α +

∫

α

−

) 0 ( ) 0 ( )

( ) ( )

0 ( ) 0 ( )

( )

( ₂

1

1 2 1

1

1 x Q x dx P Q P x Q x dx P Q

P ⎥+ ′ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ′ +

α

∫ ∫

−

1, Q)+ϕ(P2, Q)

Remarquons maintenant que ϕ(P, P)= est un réel toujours positif et qui

ne s’annule que si simultanément et P(0) sont égaux à 0.

Or l’intégrale sur un segment d’une fonction continue positive n’est nulle que si celle-ci est identiquement nulle sur l’intervalle en question. Il s’ensuit que le polynôme P doit être constant sur [-1, 1] et donc nul sur cet intervalle vu la condition P(0)=0.

Un tel polynôme a donc une infinité de racines et ne peut être que le polynôme nul.

La stricte positivité de ϕ est donc bien assurée.

( ) (

²

1

2 (0)

)

(x dx P

P′ +

−

∫

)

( )

−

∫

′

1

) 2

(x dx P

(16)

On obtient facilement la matrice de Gram de la base canonique B =(1, X, X²) pour ce produit

scalaire :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

3 0 8 0

0 2 0

0 0 1

. On en déduit immédiatement une base orthonormée de E en normant

les vecteurs X et X², ce qui nous donne : B ’=(1, ²) 8 , 3 2 X X

3. a) S’il existe un tel produit scalaire ϕ, la matrice de Gram de B pour celui ci doit être égale à A= et le produit de u=xe

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

6 3 2

3 2 1

2 1 1

1+ye2+ze3 par v=x’e1+y’e2+z’e3 ne peut être

défini que par : ϕ(u,v)=

En regroupant : ϕ(u,v)=xx’+2yy’+6zz’-(xy’+x’y)+2(xz’+x’z)-3(yz’+y’z)

La symétrie et la bilinéarité de ϕ évaluée par la formule ci dessus sont évidentes.

Pour la stricte positivité étudions ϕ(u, u)=x²+2y²+6z²-2xy+4xz-6yz

) 6 3 2 ( ' ) 3 2 ( ' ) 2 (

' '

'

t '

z y x z z y x y z y x x z y x A z y x

+

− +

− + +

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

Ecrivons d’abord : x²-2xy+4xz=(x-y+2z)²-y²-4z²+4yz

Il vient donc : ϕ(u, u)=(x-y+2z)²+y²+2z²-2yz=(x-y+2z)²+(y-z)²+z²

On a donc bien ϕ(u, u ) ≥ 0 et ϕ(u, u)=0 ⇔ z=0 et y-z=0 et x-y+2z=0 ⇔ u=0E

On a bien aussi la stricte positivité de la forme ϕ.

b) Suivant le procédé de Schmidt et vu la matrice de Gram de B nous prendrons pour premier vecteur u₁=e₁.

On construit ensuite u’2=e2+e1 orthogonal à e1 et dont la norme s'évalue d'après le théorème de Pythagore suivant : e₂ ² =2= u'₂ ²+ e₁ ² = u'₂ ²+1.

Le vecteur u’₂ est donc aussi de norme 1 et sera pris comme deuxième vecteur u₂ de la base orthonormée en gestation.

On poursuit en considérant u’₃=e₃-(e₃.u₁)u₁-(e₃.u₂)u₂=e₃-2u₁+u₂=-e₁+e₂+e₃, orthogonal à u₂ et u3 et de norme telle que, d’après Pythagore : 6= e₃ ² = u'₃ ²+4+1

u’3 est lui aussi normé. On prendra donc u3=u’3=-e1+e2+e3. Ainsi B =(e1, e1+e2, -e1+e2+e3) est orthonormée pour ϕ.

(17)

4. Si un tel produit scalaire ϕ existe, les trois contraintes d’orthogonalité peuvent se traduire en faisant jouer la bilinéarité et la symétrie de ϕ et en utilisant la notation simplifiée : u.w+v.w=0 ; u.v+u.w=0 ; v.w+u.v=0.

La soustraction des deux premières égalités donne la relation u.v=v.w , qui par confrontation avec la troisième conduit à : u.v=v.w=0. Par suite, le produit u.w sera aussi nul.

Il est donc nécessaire que B soit orthogonale pour ϕ.

Les conditions sur les normes se traduiront alors d’après Pythagore par les égalités : 1= u ² + v ²; 1= w²+ v²; 1= u ²+ w²;

On en déduit immédiatement

2

= 1

=

= v w u

Ainsi le produit scalaire de a=xu+yv+zw par b=x’u+y’v+z’w ne peut être défini que par : ϕ(a, b)= ( ' ' ')

2

1 xx+yy+zz . On vérifie très facilement que cette correspondance est bien un produit scalaire et satisfait aux 6 conditions imposées.

5. On montre sans problèmes que la matrice donnée A coïncide avec son carré.

L’endomorphisme f de E représenté par A dans la base B est donc une projection.

_ Le support de f est l’ensemble des vecteurs v de E invariants par cette projection.

Si (x, y, z) désigne le triplet des composantes de v dans B =(u, v, w), les composantes de

l'image w= f(v) dans cette même base sont données par les formules

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+ +

=

+ +

−

=

+

−

=

) 2 3(

' 1

) 2 3(

' 1

) 2

3( ' 1

z y x z

z y x y

z y x x

L’égalité f(v)=v équivaut alors à la seule équation x+y-z=0 , traduisant l’appartenance à un plan vectoriel P dont une base est par exemple : (u+w, v+w).

_ La direction de la projection f n’est autre que son noyau.

.

Ker(f) est donc la droite dirigée par u+v-w. Comme ce vecteur est orthogonal à u+w et v+w, on en déduit que f est bien une projection orthogonale, plus précisément la projection

orthogonale sur le plan P.

⎩⎨

⎧

=

−

⇔ =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= + +

⎪ ⇔

⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= +

−

y x

y z z

y z y

z y x

0 3 3 ...

0 2

(18)

6. Le vecteur n de E dont la colonne des composantes dans B est N=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

+ b

b a a

1

²

² 1

1 est

normal au plan P d’équation x+ay+bz=0 dans B et de norme 1.

On sait alors que la matrice dans la base orthonormée B de la projection orthogonale q sur la droite dirigée par n est égale à A=N.^tN.

La matrice de la projection orthogonale p=I_E-q sur le plan P est donc égale à B=I₃-A et celle de la symétrie orthogonale s=2p-IE par rapport à P sera C=2B-I3.

On obtient donc les tableaux respectifs :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

− +

−

− +

+

= +

² 1

²

² 1

1

a ab

b

ab b

a

b a

b a b B a

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− +

−

− +

−

− + +

= +

²

² 1 2

2

²

² 1 2

2 2

1

²

² 1

1

b a ab

b

ab a

b a

b a b C a

7. Soit n un vecteur de norme 1 orthogonal au plan P de projection cherché.

Si p désigne la projection orthogonale sur P, on a facilement, par définition même d’une telle projection, l’équivalence : p(a)=b ⇔ ∃λ∈R tel que a=λn+b. et n⊥b

Il est donc nécessaire et suffisant que b soit orthogonal à la différence a-b, ce qui se traduit par l’égalité a.b=b.b . D'où la condition α -3=3 qui conduit à la seule valeur possible α=6.

Le vecteur a-b=5e₁+2e₂-3e₃ dirige alors l’orthogonal du plan P cherché.

La matrice de la projection orthogonale q sur la droite dirigée par a-b est donnée par A=N.^tN avec pour N la colonne des composantes dans B de (5 2 3 )

38 1

3 2

1 e e

b e a

b

a = + −

−

Après calculs on obtient : A=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

9 6 15

6 4 10

15 10 25 38

1

On en déduit la matrice B=I3-A de la projection orthogonale p=IE-q sur le plan P soit :

B=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

29 6 15

6 34 10

15 10 13

38 1

8. Notons A le support de la projection p et B sa direction.

On sait que E=A⊕B et que tout vecteur x décomposé en x=a+b avec a∈A et b∈B a pour image p(x)=a.

Considérons de même un autre vecteur y de E décomposé en y=a’+b’ avec a’∈A et b’∈B.

(19)

On aura donc : p(x).y=a.a’+a.b’ et x.p(y)=a.a’+b.a’.

Ces deux produits scalaires coïncideront pour tout (x, y) dans E×E si et seulement si a.b’=a’.b quels que soient les éléments a et a’ choisis dans A et les éléments b et b’ de B.

En particulier cette égalité doit être vraie pour a’=0_E et entraîne donc la nullité du produit scalaire d’un vecteur quelconque a de A avec un vecteur quelconque b’ de B.

L’orthogonalité des sous espaces A et B est donc une condition nécessaire pour la contrainte imposée à p. On vérifie immédiatement qu’elle est suffisante, car sous cette condition on a évidemment toujours a.b’=a’.b=0.

b) Soient p et q deux projections orthogonales de E.

D’après ce qui précède on peut donc écrire que pour tout couple (x, y) de vecteurs de E : x.[p_oq(y)]=x.p(q(y))=p(x).q(y)=q(p(x)).y=[q_op(x)].y

Ainsi, si la composée p_oq est nulle, on en déduit que pour tout x de E l’image de x par q p est orthogonale à tout vecteur y de E, donc ne peut être que le vecteur nul.

On a donc bien établi : p q=0 ⇒ q_op=0.

L’implication réciproque s’obtient en inversant le rôle de p et q.

o o

9. Notons B =(e1, e2, e3, e4). Un vecteur v=xe1+ye2+ze3+te4 sera élément de F∩G si et

seulement si .

Ce système est de rang 2 et admet les quadruplets solutions du type (x, y, z, t)=(x, y, -x, -y) avec (x,y) couple quelconque de réels.

Le plan P=F∩G a donc pour base le couple (e

⎩⎨

⎧

=

− +

−

= + + +

0 0 t z y x

t z y x

1-e3, e2-e4).

Or ces deux vecteurs sont de manière évidente orthogonaux et de norme 2

On en déduit immédiatement une base orthonormée de P : ) , 2

( 2 ) ,

( ₁ ₂ e¹ e³ e² e⁴ u

u − −

= et

l’expression du projeté orthogonal p(v) sur P d’un vecteur quelconque suivant la formule

classique :

[

( )( ) ( )( )

]

2 ) 1 . ( ) . ( )

(v vu₁ u₁ vu₂ u₂ x z e₁ e₃ y t e₂ e₄

p = + = − − + − −

La matrice de p dans B est donc égale à :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1 2 1

On voit facilement que la direction de p, noyau de cet endomorphisme, est le plan Q de base (e1+e3, e2+e4).

(20)

10. On rappelle que le vecteur d’un sous espace F d’un espace Euclidien le plus proche d’un vecteur donné v de E (au sens de la norme induite par le produit scalaire en question) est le projeté orthogonal p(v) de v sur ce sous-espace F.

Appliquons ce résultat avec pour F la droite dirigée par a et pour v le vecteur b. On peut donc écrire : d = b−p(b) =inf

{

b-αa ;α décrivant R

}

=inf

{

b+ta ;tdécrivant R

}

Or a

a a b b

p . .

)

( ₂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛ . On en déduit ₂

2 2 2 2

2 2

2 2 ( . ) ( . )

) 2 .

² (

a a b a b a

a b a

a b b

d × −

=

− +

=

En posant a.b=cos(θ) avec θ∈]0, π[, on obtient l’expression simplifiée : d = b sin(θ) b) Posons ϕ(t)= b+ta ² = a ²t²+2(a.b)t+ b²

On a de manière évidente ϕ’(t) ≥ 0 ⇔ t ≥ - .₂ a

b

a . Le trinôme en t ci dessus atteint donc un

minimum pour la valeur t0=- .₂ a

b

a , égal à ϕ(t0)= ( . )² ²

)² 2 .

( 2

2

2 b d

a b a a

b

a − + =

On retrouve bien l’expression précédente de la distance minimum, soit d = b sin(θ)

11. Sur le R espace E des fonctions continues de [0, π] dans R il est facile de vérifier que la correspondance (f, g) a définit un produit scalaire.

Le carré de la norme d’une fonction f pour cette structure Euclidienne est

Le minimum de h(x, y)= lorsque (x, y) décrit R×R représente donc le carré de la distance minimum de la fonction f : t a f(t)=t au plan P de E dont une base est le couple (e

∫

0^πf(t)g(t)dt

dt t f ²

0[ ( )]

∫

^π

∫

0^π

(

⁺ ⁻

) 2

cos(

)

sin(t y t t dt

x

)

1, e2) des restrictions respectives de sinus et cosinus à l’intervalle [0, π].

On sait que ce minimum est défini par d²= f − p(f)² avec p(f) projection orthogonale de f sur le plan P.

Pour évaluer ce projeté on peut construire suivant le procédé de Schmidt une base orthonormée de P à partir du système (e1, e2). Evaluons la matrice de Gram de celui ci.

2 2

) 2 cos(

) 1

²(

sin .

0 0

1 1

= π

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

=

∫

^π ^t ^dt

∫

^π ^t ^dt

e e

0 ) 2 2 sin(

) 1 cos(

) sin(

.

0 0

2

1^e =

∫

^π ^t ^t ^dt =

∫

^π ^t ^dt =

e

2 2

) 2 cos(

) 1

²(

cos .

0 0

2 1

= π

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛ +

=

∫

^π ^t ^dt

∫

^π ^t ^dt

e e

(u₁, u₂)= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

π π ¹ ²

, 2

2e e est donc une base orthonormée de P.

On en déduit p(f)=(f.u1)u1+(f.u2)u2.