Espaces euclidiens

Espaces euclidiens

Table des mati` eres

1 D´efinitions et exemples 1

2 Orthogonalit´e, norme euclidienne 2

3 Espaces euclidiens, bases orthonorm´ees 2

4 Orthogonalisation de Schmidt 3

5 Sous-espaces orthogonaux 3

6 Orthogonal d’un sous-espace 3

7 Matrice du produit scalaire dans une base quelconque 3

8 Endomorphismes orthogonaux 4

9 Matrices orthogonales 4

10 Projections et sym´etries orthogonales 5

11 Distance d’un vecteur `a un s.e.v 5

1 D´ efinitions et exemples

D´efinition: soit E un K-e.v. ; une forme lin´eaire sur E est une application lin´eaire de E dans K. Une forme bilin´eaire sur E est une fonction ϕ de E×E dans K, v´erifiant ϕ(u, v +λw) = ϕ(u, v) +λϕ(u, w) et ϕ(u+λv, w) = ϕ(u, w) +λϕ(v, w) quels que soient les vecteurs u, v, w et le scalaire λ. Une telle forme est sym´etrique siϕ(v, u) =ϕ(u, v) quels que soient les vecteursuetv.

D´efinition: soit E un R-e.v. Un produit scalaire sur E est une forme bilin´eaire sym´etrique ϕ v´erifiant : (i)∀u∈E:ϕ(u)>0 ; et (ii) ϕ(u) = 0⇒u=~0.

Nous noterons fr´equemmenthu, viouhu|viouu·v le produit scalaireϕ(u, v).

Exemple: Rⁿ, muni de sa structure naturelle de R-e.v. peut ˆetre muni du produit scalaire ^≪naturel^≫ d´efini parhu, vi=

n

X

i=1

uivi.

Exemple: soient n∈N et (xi)06i6n des r´eels deux `a deux distincts. Nous d´efinissons surR_n[X] un produit scalaire parhP, Qi=

n

X

i=0

P(xi).Q(xi). La propri´et´e (ii) s’´etablit en notant que, si hP, Pi= 0, alors P² (donc aussiP) poss`ede au moins n+ 1 racines distinctes, donc, ´etant de degr´enau plus, doit ˆetre le polynˆome nul.

Exemple: surC¡

[0,1],R¢

nous d´efinissons un produit scalaire parhf, gi= Z 1

0

f(t)g(t)dt. La propri´et´e (ii) est un r´esultat du cours de calcul int´egral.

2 Orthogonalit´ e, norme euclidienne

E est unR-e.v. muni d’un produit scalaireϕ.

D´efinition: deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux lorsque ϕ(u, v) = 0. Si E est muni de plusieurs produits scalaires, il faudra pr´eciser celui vis-`a-vis duqueluet vsont orthogonaux.

Proposition: toute famille (ui)16i6n de vecteurs non nuls et deux `a deux orthogonaux deE est libre.

Preuve: soit (λi)16i6n une famille de scalaires telle que X

λiui = ~0. Alors la somme µ

Xλiui

¶2

= X

16i6n

λi2

kuik²est nulle, donc lesλi2 sont tous nuls.

D´efinition: lanorme euclidienneassoci´ee au produit scalaireϕest la fonctionx∈E7→p

ϕ(u, u). La norme du vecteuruest not´ee N(u),kuk² ou mˆemekuk si aucune confusion n’est `a craindre. Les propri´et´es suivantes d’une norme euclidienne sont imm´ediates :

kuk>0 kuk= 0⇒u= 0 kλuk=|λ| · kuk

D´efinition: un vecteurud’unR-e.v. muni d’un produit scalaire estnorm´e (ouunitaire) sikuk= 1.

Proposition: (identit´e du parall´elogramme)ku+vk²+ku−vk²= 2¡

kuk²+||vk²¢ . Remarque: ϕ(u, v) = ku+vk²− kuk²− kvk²

2 = ku+vk²− ku−vk²

4 (identit´es de polarisation).

Th´eor`eme (in´egalit´e de Schwarz): pour tous vecteursxet y deE, on aϕ(u, v)6kxk × kvk. L’´egalit´e a lieu ssiuetv sont li´es.

Preuve: examiner le discriminant du trinˆomeλ7→ ku+λvk². Proposition: les dexin´egalit´es triangulairesku+vk6kuk+kvket¯

¯kuk−kvk¯

¯6ku−vksont des cons´equences imm´edates du r´esultat pr´ec´edent. Le cas d’´egalit´e est obtenu lorsqueu=λv ouv=λu, avecλ >0.

Th´eor`eme (de Pythagore): deux vecteurs uet v deEsont orthogonaux ssikuk<sup>2</sup>+kvk<sup>2</sup>=ku+vk<sup>2</sup>. G´en´eralisation : si (xi)16i6n est une famille de vecteurs deux `a deux orthogonaux deE, alors

n

X

i=1

kuik²=

¯

¯

¯

¯

n

X

i=1

ui

¯

¯

¯

¯

2

Bien noter que la r´eciproque est fausse, pour n > 3 ; un contre-exemple simple est la famille a = (1,0), b= (1,√

3) etc= (1,−√ 3).

3 Espaces euclidiens, bases orthonorm´ ees

D´efinition: unespace euclidien est un couple (E, ϕ) o`u E est un R-e.v. de dimension finie et ϕun produit scalaire surE.

D´efinition: une baseU = (ui)16i6n d’une espace euclidien de dimensionnestorthogonalesi ses vecteurs sont deux `a deux orthogonaux ; elle estorthonorm´ee (ouorthonormale) si de plus tous ses vecteurs sont norm´es.

Remarque: les vecteurs d’une base orthonorm´ee v´erifientui·uj=δi,j.

Proposition: soient (E, ϕ) un espace euclidien et B = (ei)16i6n une base orthonorm´ee de E. Soient u =

n

X

i=1

λiei et v=

n

X

i=1

µiei deux vecteurs deE; notonsX etY les ´el´ements deM^n,1(R) associ´es `axet y. Alors

ϕ(x, y) =

n

X

i=1

λiµi=X^T·Y etkxk= v u u t

n

X

i=1

λ²_i =√

X^T ·X.

Remarque: unR-e.v. de dimension infinie, muni d’un produit scalaire, est unespace pr´ehilbertien.

4 Orthogonalisation de Schmidt

Le proc´ed´e deSchmidtpermet de construire, `a partir d’une base quelconque (ui)16i6n d’un espace euclidien (E, ϕ), une base orthonorm´ee (vi)16i6nv´erifiant de plus Vect(u1, . . . , uk) = Vect(v1, . . . , vk) pour toutk∈[[1, n]].

Nous ne d´ecrirons que l’orthogonalisation.

Notonsv1=u1. Si dim(E) = 1 c’est fini. Sinon, notonsλ1,2=ϕ(u2, v1)

ϕ(v1, v1) puisv2=u2−λ1,2v1: v2est orthogonal

`av1. Supposons obtenue la famille orthogonale (vi)16i6k, v´erifiant Vect(u1, . . . , uk) = Vect(v1, . . . , vk). Notons λi,k= ϕ(uk+1, vi)

ϕ(vi, vi) pour touti∈[[1, k]], puisvk+1=uk+1−

k

X

i=1

λi,kvi. Alorsϕ(vk+1, vi) = 0 pour touti∈[[1, n]].

On v´erifie ais´ement que Vect(u1, . . . , uk+1) = Vect(v1, . . . , vk+1). En r´ep´etantn fois l’op´eration nous obtenons bien une base (vi)16i6n orthogonale deE.

Th´eor`eme: tout espace euclidien poss`ede des bases orthonorm´ees.

Preuve: nous venons de donner une preuve constructivede ce r´esultat.

5 Sous-espaces orthogonaux

D´efinition: soientF etGdeux s.e.v. d’un mˆeme espace euclidienE. Nous dirons queF etGsontorthogonaux si tout vecteur deF est orthogonal `a tout vecteur de G.

Proposition: deux s.e.v. orthogonaux sont en somme directe.

Preuve: six∈F∩G, alorsϕ(x, x) = 0.

6 Orthogonal d’un sous-espace

D´efinition: soitF une partie non vide deE. Un vecteurxdeE est orthogonal `aF s’il est orthogonal `a tout vecteur deF. L’ensemble des vecteurs deE orthogonaux `aF, not´eF^⊥, est l’orthogonal deF.

Proposition: F^⊥ est un s.e.v. deE; siF ⊂G, alorsG^⊥⊂F^⊥.

Preuve: ~0 est dansF^⊥. Soientu, v∈F^⊥,λ∈Retx∈F: (u+λv)·x=u·x+λv·x= 0, doncu+λv∈F^⊥. Soitu∈G^⊥: uest orthogonal `a tout vecteur deG, donc `a tout vecteur deF, et par suiteu∈F^⊥.

D´efinition: deux s.e.f.F etGdeEsontsuppl´ementaires orthogonaux s’ils sont suppl´ementaires l’un de l’autre et si de plus tout vecteur deF est orthogonal `a tout vecteur de G.

Proposition: siF est un s.e.v. deE, alorsF etF^⊥ sont suppl´ementaires orthogonaux.

Preuve: siF ={~0}ouF =E, la question est r´egl´ee. Sinon, notonsp= dim(F) : 16p < n, o`un= dim(E).

Soit (e1, . . . , ep) une base orthonorm´ee de F; compl´etons-la par des vecteurs ep+1, . . . , en pour obtenir une base orthonorm´ee B deE. NotonsG= Vect(ep+1, . . . , en) et montrons que G=F^⊥. L’inclusionG⊂F^⊥ est imm´ediate : les vecteursep+1, . . . , en sont orthogonaux `a tout vecteur de F, donc sont dansF^⊥; donc toute combinaison lin´eaire de ces vecteurs est dansF^⊥. Prouvons l’inclusion inverse : soit x∈F^⊥, de coordonn´ees (x1, . . . , xn) dans B; pour i ∈ [[1, p]], nous aurons x·ei = X

16j6n

xjej ·ei = X

p+16j6n

xjej·ei puisque les ei

d’indice au pluspsont dansF. Doncx∈G.

Remarque: FetF^⊥sont suppl´ementaires orthogonaux. Par raison de sym´etrie, nous en d´eduisons (F^⊥)^⊥=F.

Proposition: l’orthogonal d’un vecteurunon nul est un hyperplan.

Preuve: l’orthogonal de u est le noyau de la forme lin´eaire fu : x 7→ ϕ(u, x), laquelle est non nulle car fu(u) =ϕ(u, u)6= 0.

7 Matrice du produit scalaire dans une base quelconque

D´efinition: soientEun espace euclidien de dimensionnetB= (ei)16i6nune base deE. La matriceA, carr´ee d’ordren, d´efinie parAi,j =ϕ(ei, ej) est lamatrice deϕdans la baseB. Elle est sym´etrique et ses coefficients diagonaux sont strictement positifs.

Exemple: la matrice du produit scalaire canonique deRⁿ dans la base canonique deRⁿ est In.

Exemple: dans leR-e.v. des fonctions polynˆomes de degr´e au plusn, la matrice du produit scalaire d´efini par ϕ(f, g) =

Z

[0,1]

f g est la matrice deHilbertd’ordren+ 1, d´efinie parHi,j= 1 i+j−1.

Proposition: soientuet v deux vecteurs deE, repr´esent´es respectivement dans Bpar les matrices-colonnes U etV ; on aϕ(u, v) =U^T ·A·V.

Preuve: ϕ(u, v) = µ

X

16i6n

uiei

¶

× µ

X

16j6n

vjej

¶

= X

16i6n 16j6n

uivjϕ(ei, ej) = X

16i6n 16j6n

uivjAi,j. Par ailleurs :

U^T·A·V = X

16i6n

(U^T)i(A·V)i = X

16i6n

ui

X

16j6n

Ai,jvj= X

16i6n 16j6n

uivjAi,j

8 Endomorphismes orthogonaux

D´efinition: un endomorphisme g d’un espace euclidien (E, ϕ) est orthogonal lorsqu’il conserve le produit scalaire, c’est-`adire lorsqueϕ(g(u), g(v)) =ϕ(u, v) quels que soient les vecteursuetv deE.

Th´eor`eme: soitgun endomorphisme d’un espace euclidien (E, ϕ). Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

1. g conserve le produit scalaire

2. g conserve la norme euclidienne, c’est-`a-direkg(u)k=kukpour toutu∈E

3. il existe une base orthonorm´ee deE dont l’image pargest une base orthonorm´ee deE

4. l’image parg de n’importe quelle base orthonorm´ee deE est ´egalement une base orthonorm´ee deE Preuve: (1)⇒(4)⇒(3) est imm´ediat ; (3)⇒(2) : utiliser l’expression dekxkdans une base orthonorm´ee ; utiliser l’identit´e de polarisation pour (2)⇒(1).

Proposition: tout endomorphisme orthogonalg d’un espace euclidienE est bijectif.

Preuve: g(u) =~0 ⇒N¡ g(u)¢

= 0 ⇒N(u) = 0⇒u=~0 ; donc f est injectif. Comme E est de dimension finie,gest bijectif.

Proposition: l’ensembleO(E) des automorphismes orthogonaux d’un espace euclidienEest un groupe pour la composition des applications.

Preuve: idE est un automorphisme orthogonal deE, donc O(E) n’est pas vide. Il est clair O(E) est stable par composition. Enfin, soitf ∈O(E) ; f est bijectif et orthogonal, doncf⁻¹est un automorphisme ; de plus

°°f⁻¹(x)°

°=°

°f¡

f⁻¹(x)¢°

°=kxkdoncf⁻¹ est orthogonal.

D´efinition: O(E) est legroupe orthogonal deE.

9 Matrices orthogonales

D´efinition: une matriceA ∈ Mⁿ(R) est dite orthogonale si c’est la matrice dans une base orthonorm´ee de Rⁿ d’un endomorphisme orthogonal deRⁿ, muni de sa structure euclidienne naturelle. Il est imm´ediat qu’une telle matrice est inversible, et que l’ensemble de ces matrices est un groupe multiplicatif, not´eO(n).

Th´eor`eme: une matriceA∈ Mn(R) est orthogonale ssi A⁻¹=A^T.

Preuve: soient B = (ei)16i6n la base canonique de Rⁿ et g un endomorphisme de Rⁿ repr´esent´e par A dans B. Comme g est orthogonal, les colonnes de A forment elles aussi une base orthogonale de Rⁿ, soit :

n

X

k=1

Ak,iAk,j = δi,j pour tous i et j; donc

n

X

k=1

(A^T)i,kAk,j = δi,j, donc A^T ×A = In, puis A^T = A⁻¹. La r´eciproque est imm´ediate.

Proposition: soientEun espace euclidien de dimensionnetBune base orthonorm´ee deE. Un endomorphisme g deEest orthogonal ssi MatB(g) est orthogonale.

Proposition: soientB etC deux bases orthonorm´ees d’un mˆeme espace euclidien E, et P =P^B,C la matrice de passage deB`a C. Six∈E est repr´esent´e dansB(resp.C) parX (resp.Y), alorsX =P^T ·Y ·P.

Preuve: P est orthogonale.

10 Projections et sym´ etries orthogonales

D´efinition: un projecteur p d’un espace euclidien est orthogonal si ker(p) et im(p) sont suppl´ementaires orthogonaux. Labase depest im(p), sa direction est ker(p).

Remarque: `a l’exception du projecteur identit´e, un projecteur orthogonal n’estjamais un automorphisme orthogonal.

D´efinition: une sym´etriesd’un espace euclidien estorthogonalesi ker(s−id) et ker(s+id) sont suppl´ementaires orthogonaux. Labase desest ker(s−id), sadirection est ker(s+ id).

D´efinition: uner´eflexion deE est une sym´etrie orthogonale dont la base est un hyperplan.

D´efinition: la normale `a un hyperplan H d’un espace euclidien E est la droite (s.e.v. de dimension 1) suppl´ementaire orthogonal deH. Soituun vecteur directeur de cette droite (donc un vecteur normal `aH), et fu comme ci-dessus ; fu(v) = 0 est une´equation normale deH.

Remarque: siuest unitaire et normal `a l’hyperplanH, alors la r´eflexion de baseH estx7→x−2(x·u)u.

11 Distance d’un vecteur ` a un s.e.v

D´efinition: soient F un s.e.v. d’un espace euclidien E et u un vecteur de E. La distance de u`a F, not´ee d(u, F) est inf

v∈Fku−vk.

Proposition: d(u, F) est atteint en prenant pourv le projet´e orthogonal deusurF. Preuve: c’est une cons´equence du th´eor`eme dePythagore.

FIN

[Euclidiens] Version du 30 janvier 2010