Chap 38 : Intégrales multiples
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 38 : Intégrales multiples
I. Fubini
( , ), | |
| ( , ) | | ( , ) |
supp toutes les int. partielles relatives à et existent,
Si , alors et égalité pour
I J J I
f I J f f
f x y dx dy f x y dy dx f
C
II. Changement de variables
compact de n K
1
1 1 1 1
: : ( ) ( ) ( )
( ... ) ... ( ... )| ( ) | ...
, difféo ,
Alors n n n n
K L
f K U L V K L K
f x x dx dx f y y J y dy dy
C V V
( ) 2
( , ) | | | det | | | sin
Polaires : affine : Sphériques :
I J r
drd
rdrd
J
J r
III. Généralisation de Fubini
, ([ , ], )a b avec , D {( , )x y 2 /a x b, ( )x y ( )}x
C
( )
( , ) : ( , ) b ( )x ( , )
D a x
f D f x y dxdy f x y dydx
C
{( , ) / [ , ] ( ) ( )} {( , ) / [ , ] ( ) ( )}
, , ,
Un domaine élémentaire s'écrit , ,
avec continus, et
D x y x a b x y x x y y c d y x y
1 1
Green-Riemann : Soit domaine élémentaire, son bord orienté.
où est , est une forme diff., et et ont des DP continues sur le domaine
D
pm
P Q
D Pdx Qdy dxdy
y x
Pdx Qdy P Q
C
2 2
0 2
2 0
(0, )
( , ) ( 0) ( ) ( cos , sin ) 2 (
'( ) (...) cos (...) sin , sin
0,0)
Dériv. :
harmonique , est cte de valeur
,
C r
f f r f r r d
f f f f
r r r r r d P Q dx r
x y y x
P Q
Pdx Qdy dx
x
f
y
C
2 ( ,
(0, )
)
(0, ) 0
( ) 1 propriété de la moyenne Electromagnétisme
D A
D R D r
R f R
d f
f A
y
